【课件】6.2.3向量的数乘运算（PPT）(人教A版2019必修第二册)

第六章

平面向量及其应用6.2平面向量的运算教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：第二节平面向量的运算课时内容向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数量积所在位置教材第7页教材第11页教材第13页教材第17页新教材内容分析向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。核心素养培养通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.教学主线平面向量的运算学习目标

1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。重点、难点重点：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法难点：能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题（一）新知导入

1.创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880000v2.对于880000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．【想一想】向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？（一）新知导入2.探索交流，解决问题【问题1】实数运算,x+x+x=3x,思考

能否写成

呢?[提示]可以,即

=

.

（二）向量的数乘运算1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个

，这种运算叫做

，记作

.2．规定：①|λa|＝

，②当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

.3．运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝

；(2)(λ＋μ)a＝

；(3)λ(a＋b)＝

(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝

，λ(a－b)＝

.

1.向量的数乘运算向量向量的数乘λa|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λbλa－λbλ(－a)线性运算

（二）向量的数乘运算【做一做1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则()A．|a|＝|b|B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反【做一做2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6b D．a－8b解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．答案：CD（二）向量的数乘运算2.向量共线定理

向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，

有

实数λ，使得

.当且仅当唯一一个b＝λa（二）向量的数乘运算【辩一辩】正确的打“√”，错误的打“×”答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×（三）典型例题1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.（三）典型例题【类题通法】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.【巩固练习1】计算：（三）典型例题2.向量共线定理及其应用

（三）典型例题

【巩固练习2】已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．

（三）典型例题3.用已知向量表示其他向量例3.如图，ABCD是一个梯形，，M，N分别是DC，AB的中点，（三）典型例题【变式探究】（三）典型例题【类题通法】用已知向量表示其他向量的方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．（四）操作演练

素养提升1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2bB．－2bC．0D．b－a答案：1.B2.C3.D4.－2课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？作业布置完成教材——第15页练习第1，2