【课件】6.2.2向量的减法运算高一下学期人教A版2019必修第二册课件

6.2.2

向量的减法运算

必备知识·自主学习1.相反向量导思1.相反向量的含义是什么?2.平面向量减法运算的定义是什么?其几何意义是什么?定义与向量a长度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,记作___规定零向量的相反向量仍是零向量结论a和-a互为相反向量,于是-(-a)=__a+(-a)=(-a)+a=__如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=__相等相反-aa002.向量的减法(1)定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=_______.求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)本质:向量加法的逆运算,运算结果仍是一个向量.(3)应用:①求两个向量的差;②为向量的综合运算奠定基础.a+(-b)3.向量减法的几何意义作法已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=____图示

a-b【思考】(1)已知a,b是不共线的向量,如何在同一个平行四边形中作出a-b和a+b?提示:如图所示,作平行四边形OACB,设=a,=b,

根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,有=a+b,=a-b.(2)在代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立?提示:成立.在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,因此移项法则对向量等式也是适用的.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.(

)(3)与是相反向量,且-=. (

)提示:(1)×.相反向量是长度相等,方向相反的向量.(2)×.由平行向量与相反向量的定义可知,相反向量必为平行向量,平行向量不一定是相反向量.(3)√.根据相反向量的定义可知其正确.√××2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 (

)C【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以=0,A正确;=+,由向量加法的平行四边形法则可知,+=,B正确;=,C错误;因为四边形ABCD是平行四边形,所以与互为相反向量,所以=0,D正确.3.(例题改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=

,=

.(用a,b表示)

【解析】如图,

答案:b-a

-a-b关键能力·合作学习类型一向量减法的几何意义(直观想象)【例1】1.对于非零向量a,b,当且仅当

时,有|a-b|=||a|-|b||.

2.如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.【思路导引】1.根据向量减法的几何意义分析a,b之间的关系.2.先作a+b,再作a+b-c.作向量的差时,可以依据定义也可以依据向量减法的三角形法则.【解析】1.当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有两向量同向时,才有|a-b|=||a|-|b||.答案:a与b同向2.方法一:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.方法二:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,

则=a+b-c.【变式探究】在本例2的条件下,作出向量:a-b+c.【解析】如图所示:【解题策略】作两个向量的差的两种方法(1)用向量减法的三角形法则①步骤②口诀:共起点,连终点,指向被减.(2)用向量减法的定义根据a-b=a+(-b)转化为向量加法运算,再作图.【跟踪训练】如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作:b+c-a.【解析】方法一:以,为邻边作平行四边形OBDC,连接OD,AD,

则方法二:作=b,

连接AD,则=c-a,=c-a+b=b+c-a.【变式训练】如图,已知向量a,b,c,求作a-b-c.【解析】如图,以A为起点分别作向量和,使=a,=b.连接CB,得向量,再以C为起点作向量,使=c.连接DB,得向量.则向量即为所求作的向量a-b-c.类型二向量的加减法运算(数学运算)【例2】1.(2020·运城高一检测)化简:=

.

2.化简:(1)【思路导引】首先用向量加法的运算律或向量减法的定义进行恰当转化,然后用向量加法(或减法)的三角形法则化简.【解析】1.答案:

2.(1)(6)方法一:方法二:【解题策略】向量减法运算的常用方法【跟踪训练】1.下列四式中不能化简为的是 (

)D【解析】选D.A中,B中,C中,D中,显然不能化简为.2.化简下列各式:(1)(2)【解析】(1)(2)【变式训练】下列各式中不能化简为的是 (

)D【解析】选D.选项A中,选项B中,选项C中,

选项D中,类型三向量加减法运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)

角度1利用已知向量表示未知向量

【例3】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,点B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量【思路导引】利用向量加减法运算的三角形法则及相等向量的定义进行解答.【解析】由平行四边形的性质可知=c,由向量的减法可知:=b-a,由向量的加法可知=b-a+c.【变式探究】本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】如图,因为四边形ACDE是平行四边形,所以=c,=b-a,=b-a+c.角度2向量加减法与平面几何知识的综合应用

【例4】若O是△ABC所在平面内一点,且满足试判断△ABC的形状.【思路导引】先进行向量加减法运算,化简后分析以AB、AC为邻边的平行四边形的形状.【解析】因为所以以AB、AC为邻边的平行四边形对角线相等,所以以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形,所以∠BAC=90°,得△ABC的形状是直角三角形.【解题策略】1.用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题.(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.例如,在四边形ABCD中,=0.2.平行四边形中有关向量的结论平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用:(1)对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).(2)若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形.【跟踪训练】1.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则||=

.

【解析】因为∠DAB=60°,AB=AD,所以△ABD为等边三角形.又因为||=2,所以OB=1.在Rt△AOB中,所以答案:22.如图所示,在正八边形ABCDEFGH中,=a,=b,=c,=d,=e,

(1)试用已知向量表示;(2)试用已知向量表示.【解析】(1)由题图可知=-(b+c+d+e);(2)由题图可知,=c+d+e+=c+d+e-=c+d+e-b.【补偿训练】1.已知菱形ABCD边长都是2,求向量的模.【解析】因为所以2.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【解析】在△OBE中,有=e-c,在△ABO中,=e-c-a,在△ABD中,=a+b,所以在△OAD中,=e-c-a+a+b=e-c+b.核心知识方法总结易错提醒核心素养1.相反向量.2.向量减法的概念.3.向量减法的几何意义.（1）起点必须相同；（2）指向被减向量的终点.用三角形法则作向量减法时相反向量:

从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．1.数学抽象：向量减法的定义.2.逻辑推理：向量减法的法则.3.数学运算：求两个向量的差.4.直观想象：向量减法的几何意义.课堂检测·素养达标1.设b是a的相反向量,则下列说法一定错误的是 (

)

A.a与b的长度相等 B.a∥bC.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量【解析】选C.由相反向量的定