【讲座】高考试题中直观想象的考查趋势分析及教学建议高中数学

高考试题中直观想象的

考查趋势分析及教学建议高考试题中直观想象的考查趋势分析及教学建议一、直观想象核心素养的基本内涵及概念理解二、高中数学哪些内容隐含或渗透该素养三、高考如何考查直观想象核心素养四、对今后教学的建议一、直观想象核心素养的基本内涵及概念理解数学核心素养的含义直观想象核心素养的基本内涵直观想象核心素养概念的理解对直观想象核心素养的反思数学核心素养的含义数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，是数学课程目标的集中体现，它是数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.直观想象核心素养的基本内涵高中数学课程标准修订组的专家将直观想象定义为：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。价值：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。主要表现为：(1)利用图形描述数学问题，建立形与数的联系;(2)利用图形理解数学问题;(3)利用图形探索和解决数学问题;(4)构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。目标：通过高中数学的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象的能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力；形成数学直观感觉，在具体的情境中感悟事物的本质。直观想象核心素养概念的理解直观想象与数学抽象的关系：和抽象一样，直观想象是认识事物的基本方式.和抽象不同，直观想象简单、直接、付诸感官，容易掌握和使用.而且，直观想象是进一步抽象的必要基础，作为直观与想象的重要结果，图形是数学研究的基本对象之一，图形表示则是数学研究的一个重要方法，在数学教学中，利用图形可以更简单、直接地刻画和描述问题，探索和形成思路，寻找和发现结论，记忆和理解知识以及建立良好直觉，把握本质规律.因此《义务教育数学课程标准（2011年版）》将几何直观和空间观念作为十大核心概念之二，而高中数学课程标准修订组的专家也将直观想象视为六大数学核心素养之一.直观想象是数学抽象的基础，数学抽象是直观想象的升华，直观想象与数学抽象一样，都体现了数学的一般性。从直观想象的4个表现，我们可以做这样的解读首先，从数学学科角度那就是直观、想象的载体是“图形”.数、形是数学研究和学习的基本对象，相对而言，形直观，数抽象，正如华罗庚名言：数缺形难达直观，形缺数难以入微.其次，相对以往，对“图形”概念扩大了范围，由几何图形，拓展包括各种函数图像及其变换、向量的几何意义与运算等.还应考虑现代技术手段的介入，特别是一些强大软件的作图功能，将原先难以做到的变为直观，为想象提供更高平台和起点.再次，直观想象还是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础，是培养创新思维的基本要素.简单地说，直观想象就是看图想事，看图说理，看题想图，看题想构直观模型探思路.对直观想象核心素养的反思反思1：高中对空间观念的要求比初中的要求高，为什么反而不提空间观念了？

为什么不与2011年修订的义务教育数学课程标准接轨？空间观念主要是指：根据物体抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.“普通高中数学课程标准（实验）”将“直观感知”和“空间想象”是作为学习数学和运用数学解决问题需经历的思维过程、具体体现提出来的6条具体课程目标中的第2条，将空间想象要求为五大基本能力之一.从这一比较，我们也可将“直观想象”这一数学核心素养视为“几何直观”、“空间想象”观念的发展和融合，但直观想象不单是空间想象能力，也不单是数形结合思想，它是一些数学思想、数学能力的融合.反思2：把“想象”去掉，这一指标的内容实际上就是“数形结合”，为什么不把问题解决中更普遍、更重要的化归“数学结合”作为数学核心素养？请问这是不是“捡了芝麻丢了西瓜”？数形结合只是化归的一种手段，仅仅把数学思想的内容之一“数形结合”作为核心素养是不够的，直观想象高于几何直观、空间想象、数形结合.二、高中数学哪些内容隐含或渗透直观想象核心内容函数与基本初等函数（指数函数、

对数函数、幂函数）平面解析几何初步数列立体几何初步算法初步集合平面向量统计与概率参数方程与极坐标三角函数与解三角形导数微积分及其应用数系的扩充与复数的引入空间向量与立体几何圆锥曲线与方程不等式与线性规划排列与组合三、高考如何考查直观想象核心素养1.运用“直观想象”，精准作图，化抽象为形象。2.运用“直观想象”，从变换的视角，将复杂化简单3.运用“直观想象”，从极端特殊位置出发，预测相关量的变化规律4.运用“直观想象”，引入变量，构建问题的求解模型，引领通法的实施5.运用“直观想象”，以形助数，引领数形关系的转换

6.运用“直观想象”，以数解形，引领形数关系的转换

7.运用“直观想象”，数形结合，转化为位置关系问题

8.运用“直观想象”，从几何意义出发，构造新函数

9.运用“直观想象”，抓住对称性，将图式化数式极

值

点

偏

移

问

题

10.运用“直观想象”，探几何解释，寻命题背后的故事

极值点

偏移

问题

VS

拐点

偏移

问题

三、高考如何考查直观想象核心素养1.运用“直观想象”，精准作图，将抽象化形象2.运用“直观想象”，变换视角，将复杂化简单3.运用“直观想象”，从极端或特殊位置出发，预测相关量的变化规律4.运用“直观想象”，引入变量，构建问题的求解模型，引领通法的实施5.运用“直观想象”，以形助数，引领数形关系的转化6.运用“直观想象”，以数解形，引领形数关系的转化7.运用“直观想象”，数形结合，转化为位置关系问题8.运用“直观想象”，从几何意义出发，构造新函数9.运用“直观想象”，抓住对称性，将图式化数式10.运用“直观想象”，探几何解释，寻命题背后的故事四、对今后教学的建议

1.精准复习，靶向考点“考什么、教什么、学什么”是高考备考的最大命题，高考复习成效的高低，取决于教师能否精准复习，靶向考点，科学备考.当前，高考格局和教学态势不断变革，课程精神、考试要求、命题思路均被注入了新的思维、新的气息，若教师不了解新课程改革的“一体四层四翼”（一体：立德树人、服务选拔、导向教学的核心立场；四层：考查考生必备知识、关键能力、学科素养和核心价值四个圈层、四翼：基础性、综合性、应用性、创新性）的评价体系，教学便难以立于高处；了解新课程改革“一体四层四翼”的评价体系，将教学立于高处若教师不仔细阅读考试大纲、样题的微小变化，便难以精准定位复习要求.2017年的高考考试大纲主要修订内容：在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求.同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体.在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不变.考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个模块中任选1个作答.1（专家对这一变化的解读：北京大学数科院教授刘和平：考查内容删去“几何证明选讲”模块的直接理由是因为这部分内容考查的是初中平面几何的知识，几何的主要知识内容在立体几何和解析几何中均有体现，不需要再单独列为专题考查.同时在过去的教学大纲和2017年修订后的课程标准中，都不包含这部分内容.）

仔细阅读考试大纲、样题的微小变化，精准定位复习要求知晓考试说明、考试大纲、课程标准三者之间的关系考试说明、考试大纲、课程标准三者之间的关系：高考命题的依据是<<考试说明>>.但最根本的依据是教材，教材是课程的具体化,因此,高考命题最根本的依据是教材，试题考什么?依据<<考试说明>>制定，试题内容怎么呈现?依据教材.

坚持阅读学术刊物，了解高考难度的定位，仔细研究近年全国卷，感知细微变化若教师不坚持阅读学术刊物，便不会了解高考难度的定位，如教育部考试中心任子朝的文章《高考试卷难度与区分性能分析研究》（数学通报2017.1）指出，“单就现有统计数据，难度在0.4左右标准差和变异系数能达到比较好的平衡”；若教师没有仔细研究近年的全国1卷，便难以感知其弱化求深求难的取向而转向“考宽考活”、“学宽学活”的变化，难以知晓其对阅读能力、应用能力和创新能力考查有新的视角，难以发现解析几何部分更重视考查几何作图和几何知识应用能力，更重视圆在研究直线与圆锥曲线位置关系中的作用……精准复习，道阻且长，行则将至精准复习言之容易，行之路长，理解数学、理解教学、理解高考、理解学生是一道道值得深究的学问，教师就要宏观着眼更要精细落实，既要抓准考纲要求，又要针对学情校情，算好明细账.2．成败关键在基础，无基础不素养

数学全国卷最大的特色规律就是“稳定”，全国Ⅰ卷每年80%的试题内容都是稳定的，只有20%的内容是创新的..2017年全国Ⅰ卷总体评价：遵循考试大纲，整体保持平稳；

稳中有变，立意创新,平凡中见功底；突出了对数学核心素养和数学文化与应用的考查；命题更加科学.虽然每年高考数学的主基调基本稳定，不少考题的类型都是学生见过也做过，但考试结果却不尽如意，花了功夫却收效甚微.以解析几何为例，复习教学成效长期徘徊在低水平，成为考生丢分的重灾区，其中的是非曲直、酸甜苦辣，非亲历者无法体会.解析几何涉及的基础面大，技巧多、运算繁、交汇多，问题的理解与解决，往往发于简单、纷繁于变化、作图、设点、列式、求值、检验、作答，每一步看似都是“规定动作”，演变却各有巧妙，不同的考生得分也是千差万别.试题叙述简明清晰，题意通透顺畅，没有复杂的文字包装，没有纷繁的情境设置，但不少考生解答起来举步维艰、频频失分：（1）问只有结果，没有缘由，以图代征，思维粗糙，对而不全；（2）问看似掌握了直线与圆锥曲线的必杀技“坐标法”，但一路下来却“伤痕累累”，有的解方程组不过关，留下满纸的遗憾，有的忘了k和判别式的讨论，思维缺漏导致无谓失分；有的遇见了字母计算便底气不足，逃之夭夭；有的将K1+K2=-1坐标化后，不知整体消元，半途而废；有的对直线过定点的代数意义本质领悟不到便止步，离成功只有一步之遥……当下，“基础问题”成为教学之痒，数学之痛“基础”关乎教学、关乎能力、关乎过程、关乎记忆、关乎经验……无基础何来素养.当下，“基础问题”成为教学之痒，数学之痛.基础的落实与强化，有赖于教学示范、学生演练、示范矫正、错题订正、分层作业、分层教学等等措施，有赖于长期坚持不懈、科学合理的推进.数学日作业、周练习、月考、错题订正、及时讲评、课后辅导等每一步看似简单朴素，其实最难落实，夯实基础需要工匠精神、钉子精神和知行合一精神的坚持，谁能持之以恒，谁便能笑傲高考.3．穿插“微专题”，对传统复习进行补充和完善

“微专题”是指一个相关联的、可以单独研究的知识体系，或者某种数学思想方法、一个研究主题等，根据学生不同学习阶段具有一定弹性，又称“小专题”.“微专题”教学是指针对某一具体知识点，从该知识的基本概念、基本原理、基本规律入手，内化知识，构建结构进行知识迁移，整合并运用概念和原理解决实际问题的一种“小切口”教学方法.其涵盖的内容适量，知识间联系紧密，可以在学习基础知识的同时，帮助学生形成良好的认识结构，活化知识的运用，提升解决问题的能力.有机地在传统复习模式中穿插“微专题”，可以弥补传统的复习教学中的一些不足与缺陷，可以通过“考点”的细化、“知识点”的延伸、“易错易混点”的辨析、“思维角度”的转换等方式构建“微专题”.案例：“阿波罗尼斯圆”定理及其运用

例如：源于“知识点”的延伸构建“微专题”，这类知识点往往是命题的热点，具有深远的背景，教师通过教学积累或阅读杂志文章，根据学情控制拓展的深度、广度和难度，有效提升学生对此类问题的处理能力.例如，近几年活跃在各类考试中的“阿波罗尼斯圆”，根据课本题的延伸拓展，可以设置一节“微专题”.环节一：教材入手，奠定基础环节二：特殊到一般，完善定理

环节三：数学运用，链接高考环节四：延伸拓展，深化思维“微专题”切口小、主题强、形式多、角度新由于“微专题”切口小、主题强、形式多、角度新，抓住问题内隐的思维线索，从低结构到高结构，从知识层面到核心价值层面，让学生在知识的碰撞中、在问题的辨别中找关系、寻规律、抓本质，达到“纲举目张”的效果