2022年甘南市重点中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（）A． B． C．2 D．2．设函数，则，的大致图象大致是的()A． B．C． D．3．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A． B．C． D．4．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．635．已知集合，则()A． B．C． D．6．（）A． B． C． D．7．函数fxA． B．C． D．8．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．19．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．10．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A． B． C．或 D．或12．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，，则______.14．用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.15．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.16．满足约束条件的目标函数的最小值是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．18．（12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为为椭圆上任意一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，且满足（分别为直线的斜率），求的面积为时直线的方程.19．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．20．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足.（1）求；（2）若，，求的最大值.21．（12分）已知函数，其中．（1）①求函数的单调区间；②若满足，且．求证：．（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．22．（10分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．(Ⅰ)求证：平面平面．(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由题意，可得，，消去得,可得，继而得到，代入即得解【详解】由，，成等差数列，所以，又，，成等比数列，所以，消去得，所以，解得或，因为，，是不相等的非零实数，所以，此时，所以．故选：A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．B【解析】

采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．B【解析】

执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．B【解析】

先由得或，再计算即可.【详解】由得或，，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.6．A【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.7．A【解析】

由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0，可排除选项D，f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→08．C【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．9．C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．【详解】，，，．故选：C．【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．10．C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.11．C【解析】

将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.【详解】已知，，，代入，得，即，解得，当时，由余弦弦定理得：，.当时，由余弦弦定理得：，.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.12．C【解析】

判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】，，，，，，，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.14．【解析】

对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，此时，符号条件的位自然数个数为个；②若首位数为偶数，则首位数不能为，可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，此时，符合条件的位自然数个数为个.综上所述，符合条件的位自然数个数为个.故答案为：.【点睛】本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.15．【解析】

根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数取得最小值.【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点此时，目标函数取得最小值，最小值为故答案为：-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.16．-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）特征值为或．【解析】

（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．【详解】解：（1）设矩阵由题意,因为,所以,即所以,（2）矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或．【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.18．（1）（2）或【解析】

（1）根据椭圆定义求得，得椭圆方程；（2）设，由得，应用韦达定理得，代入已知条件可得，再由椭圆中弦长公式求得弦长，原点到直线的距离，得三角形面积，从而可求得，得直线方程．【详解】解：（1）据题意设椭圆的方程为则椭圆的标准方程为.（2）据得设，则又原点到直线的距离解得或所求直线的方程为或【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题．19．【解析】

先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2，令所以有，解得，所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.20．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.（2）设，由此求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设，，，由，根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.（2）设，，由（1）的结论知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以当，即时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.21．（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.【解析】

(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.【详解】解：,由可得或,由可得,故函数的单调递增区间,,单调递减区间；,或,若,因为,故,,由知在上单调递增,,若由可得x1,因为,所以,由在上单调递增,综上．时,,在上单调递减,不妨设由(1)在上单调递减,由,可得,所以,令,,可得单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值．【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.22．(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【