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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.52.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()A.2 B. C. D.3.已知复数,则的虚部是()A. B. C. D.14.函数f(x)=2x-3A.[32C.[325.若集合,则=()A. B. C. D.6.点在所在的平面内,,,,,且,则()A. B. C. D.7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A. B. C. D.28.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.9.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.10.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.10011.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦至少有2个阳爻的概率是()A. B. C. D.12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.14.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)15.某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛,则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________.16.连续掷两次骰子,分别得到的点数作为点的坐标,则点落在圆内的概率为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.18.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【详解】利用表格中数据,可得又,.解得故选:D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.2.D【解析】
以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系,可得,设,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹,进而得到关于a的二次函数,可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得,设,由,可得,即,则,当时,的最小值为.故选D.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查转化思想和二次函数的值域解法,考查运算能力,属于中档题.3.C【解析】
化简复数,分子分母同时乘以,进而求得复数,再求出,由此得到虚部.【详解】,,所以的虚部为.故选:C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算,考查共轭复数的虚部,属于基础题.4.A【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数fx的定义域为a,b,则函数fgx5.C【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.6.D【解析】
确定点为外心,代入化简得到,,再根据计算得到答案.【详解】由可知,点为外心,则,,又,所以①因为,②联立方程①②可得,,,因为,所以,即.故选:【点睛】本题考查了向量模长的计算,意在考查学生的计算能力.7.B【解析】
首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.8.D【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.9.C【解析】
由题意,可根据向量运算法则得到(1﹣m),从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程,求出t的值.【详解】由题意及图,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题.10.D【解析】
由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.11.C【解析】
利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种;“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻(即6个全部是阴爻)的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选:C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.12.B【解析】
设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.14.【解析】
要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.15.【解析】
从7人中选出2人则总数有,符合条件数有,后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有,则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件,∴故答案为:【点睛】组合数与概率的基本运用,熟悉组合数公式16.【解析】
连续掷两次骰子共有种结果,列出满足条件的结果有11种,利用古典概型即得解【详解】由题意知,连续掷两次骰子共有种结果,而满足条件的结果为:共有11种结果,根据古典概型概率公式,可得所求概率.故答案为:【点睛】本题考查了古典概型的应用,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)见解析【解析】
(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列的前项和.18.(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2).【解析】
(1)对a分三种情况讨论求出函数的单调性;(2)对a分三种情况,先求出每一种情况下函数f(x)的最小值,再解不等式得解.【详解】(1),当时,,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增.综上:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知:当时,,∴成立.当时,,,∴.当时,,,∴,即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.(1)见详解;(2).【解析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形,和菱形内部的夹角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得证.因为是平面垂线,所以易证.(2)在图中找到对应的平面角,再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线,发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.【详解】(1)证:,,又因为和粘在一起.,A,C,G,D四点共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得证.(2)过B作延长线于H,连结AH,因为AB平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因为所以是二面角的平面角,而在中,又因为故,所以.而在中,,即二面角的度数为.【点睛】很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题,考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是直棱柱,建系的向量解法在本题中略显麻烦,突出考查几何方法.最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力.20.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.21.(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到,故得.详解:(1)由题意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由题意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,当且仅当时
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