二次函数基础知识复习

二次函数定义1.整理后自变量的最高次数是2。2.二次项的系数a≠0。3.二次函数解析式必须是整式。注意一般地,形如的函数,叫做二次函数.

(a,b,c都是常数,且a≠0)y=ax2+bx+c以下函数中,哪些是二次函数？是二次函数，说出它的二次项系数、一次项系数和常数项是不是，因为不是整式1、函数〔其中a、b、c为常数〕当a、b、c满足什么条件时，〔1〕它是二次函数；〔2〕它是一次函数；〔3〕它是正比例函数；当时，是二次函数；当时，是一次函数；当时，是正比例函数；考考你2、函数，当m取何值时，〔1〕它是二次函数？〔2〕它是反比例函数？（1）若是二次函数，则且∴当时，是二次函数。（2）若是反比例函数，则且∴当时，是反比例函数。二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质1:(1)函数图像是一条(2)对称轴是:直线(3)顶点坐标是:(4)开口方向:

a>0时,开口

；

a<0时,开口

.2ab4a4ac-b22ab抛物线x=-向上向下

(-,)〔1〕a>0时，对称轴左侧，函数值y随x的增大；对称轴右侧，函数值y随x的增大。a<0时，对称轴左侧，函数值y随x的增大；对称轴右侧，函数值y随x的增大。〔2〕a>0时，y最小=a<0时，y最大=4a4ac-b24a4ac-b2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象特点和函数性质2：而减小而增大而增大而减小练习

〔1〕求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。〔2〕设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。〔3〕x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大〔小〕值，这个最大〔小〕值是多少？〔4〕x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？二次函数向上，直线x=-1，M〔-1，-2〕C(0，-

)

A(1,0)B(-3,0)23x<-1当x=-1时y有最小值-2-3<x<1x<-3或x>1

解析式

使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)类型一、求二次函数的解析式二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图求其解析式。二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图，求其解析式。顶点式设解析式为∵顶点C〔1，4〕∴又∵A(-1,0)在抛物线上，∴

∴a=-1即∴解法三：交点式

设解析式为

y=a(x-x1)(x-x2)∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0)、B〔3，0〕∴y=a(x+1)(x-3)又C〔1，4〕在抛物线上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图，求其解析式。练习∴y=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状一样,位置不同。类型二、抛物线的平移、对称平移：1、方法：〔1〕将一般式化为顶点式。〔2〕再根据平移原那么平移。2、平移原那么：左加右减，上加下减。将抛物线

向左平移4个单位，

再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。练习：抛物线的对称对称：关注抛物线变化前后开口方向〔确定a值〕以及前后顶点坐标，进而确定函数解析式。注意：无论是平移还是对称，抛物线形状不变。练习：抛物线与

关于y轴对称，求的解析式。

类型三、二次函数与一元二次方程的关系1、当y=0时，假设抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两个根为x1,x2,反之亦然。2、二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，当函数值y等于定值m时对应的x值，就是一元二次方程ax2+bx+c=m〔a≠0〕的根。1.函数的图象如下图，那么关于x的方程的根的情况是〔〕A．无实数根 B．有两个相等实根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根D-3练习：3、抛物线与X轴的交点个数由Δ决定：Δ=b2-4ac>0，函数图像与X轴有两个交点；Δ=b2-4ac=0，函数与X轴只有一个交点;Δ=b2-4ac<0，函数与X轴没有交点.练习；2.抛物线顶点在x轴上，那么m的值为．8

3.二次函数的图象如下图根据图象解答以下问题：〔1〕写出方程的两个根〔2〕写出不等式的解集．〔3〕写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围．〔4〕假设方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．223①a的符号：由开口方向确定。当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；②c的符号：由抛物线与Y轴的交点确定。假设交点在Y轴的正半轴，那么c＞0；假设交点在Y轴的负半轴，那么C＜0；假设交于原点，那么C=0.③b的符号：由对称轴及a的符号来确定。对称轴在y轴的左侧，那么a、b同号；假设对称轴在y轴的右侧，那么a、b异号；假设对称轴是y轴，那么b=0。类型四、二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中a、b、c符号的判别：练习：二次函数的图象如下图，那么在以下各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0