【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 6.3不等式的证明（第3课时）课件 理

第六章不等式不等式的证明第讲3（第三课时）1题型6用反证法证不等式1.已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于.证法1：假设三式同时大于，即有(1-a)b＞，(1-b)c＞，(1-c)a＞,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.2又(1-a)a≤()2=，同理，(1-b)b≤，(1-c)c≤，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤，因此与假设矛盾，故结论正确.

证法2：假设三式同时大于.

因为0＜a＜1，所以1-a＞0，3点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾(得出结论).所以同理，都大于.

三式相加得＞，矛盾.

故假设不成立，从而原命题成立.

4已知a,b,c∈R,求证：a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1.

证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c＜-1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加，

得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3，

所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0，

即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0，

这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0，矛盾.

故结论成立.5题型7用换元证不等式2.已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab-3b2|≤20.

证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4，所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=r2|5cos(2θ+arctan)|≤5r2≤20.

所以原不等式成立.6点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有：若x2+y2=a2，可设x=acosθ，y=asinθ；若可设x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).7已知1≤x2+y2≤2，求证：≤x2-xy+y2≤3.

证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,则

由-1≤sin2θ≤1，得≤1-sin2θ≤.

又1≤r2≤2，所以≤r2(1-sin2θ)≤3，即≤x2-xy+y2≤3.83.求证：

证明：令x∈R，则yx2+yx+y=x2-x+1.

于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①(1)若y=1，则x=0，符合题意；

(2)若y≠1,则①式是关于x的一元二次方程.题型8判别式法证不等式9由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0，解得≤y≤3且y≠1.

综合(1)(2)，得≤y≤3，即点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.10求证证：：证明明：：令则yx2-(y+1)x+y+1=0，①①(1)当y=0时，，得得x=1，符符合合题题意意；；(2)当y≠0时，，则则①①式式是是关关于于x的一一元元二二次次方方程程.由x∈R，得得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥≥0，解得得-1≤≤y≤,且y≠0.综合合(1)(2),得-1≤≤y≤,所以以11已知知函函数数f(x)=ln(x+1)-x，若若x＞-1，证证明明:≤ln(x+1)≤≤x.证明明：：令f′(x)=0，得得x=0.当x∈(-1，0)时，，f′(x)＞0;当x∈(0，+∞∞)时，，f′(x)＜0.题型型不不等等式式与与函函数数的的综综合合应应用用12所以以f(x)在区区间间(-1，0)上是是增增函函数数，，在区区间间(0，+∞∞)上是是减减函函数数.所以以当当x＞-1时，，f(x)≤≤f(0)=0，即ln(x+1)-x≤0，故故ln(x+1)≤≤x.令则令g′′(x)=0，得得x=0.当x∈(-1，0)时，，g′(x)＜0;当x∈(0，+∞∞)时，，g′′(x)＞0.13所以以g(x)在(-1，0)上是是减减函函数数，，在(0，+∞∞)上是是增增函函数数，，故当当x＞-1时，，g(x)≥≥g(0)=0，即故故综上上知知，，141.在已已知知中中如如果果出出现现两两数数相相加加等等于于一一个个正正常常数数，，可可联联想想到到公公式式sin2α+cos2α=1，进进行行三三角角换换元元.2.含有有字字母母的的不不等等式式证证明明