均值不等式及其应用同步练习

均值不等式及其应用一、选择题1．已知，都为正实数，，则的最大值是()A． B． C． D．2．已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A．1 B． C．2 D．43．若，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．4．若正数满足，则的最小值为（）A． B．C． D．35．若两个正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．9 B．7 C．5 D．36．若正实数满足，则（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值7．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A． B． C． D．8．若正数，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．9．设，，均为正实数，则三个数，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2二、填空题10．若，，，则的最大值为__________．11．若，则的最小值为______．12．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.13．若，且，则的最小值为_______．三、解答题14．已知正实数a，b满足，求的最小值.设都是正数，且，求的最小值．16.已知，求证：..某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？18．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．．19．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．答案与解析一、选择题1．已知，都为正实数，，则的最大值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选B2．已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D．3．若，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】 ,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.4．若正数满足，则的最小值为（）A． B．C． D．3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.5．若两个正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】A【解析】两个正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.故选A．6．若正实数满足，则（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.7．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B8．若正数，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即：，当且仅当，即时取等号本题正确选项：9．设，，均为正实数，则三个数，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾，故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D．二、填空题10．若，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为，，，所以，当且仅当时，取等号；故答案为11．若，则的最小值为______．【答案】8【解析】因为，所以,当且仅当时取等号,即的最小值为8.12．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为.13．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为．三、解答题14．已知正实数a，b满足，求的最小值.【答案】【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.15．设都是正数，且，求的最小值．【答案】.【解析】∵，∴.∴.当且仅当，即时，取“＝”．又∵，∴.∴的最小值为.16．已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：，，，上面三式相加，得：，所以，.17．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.【解析】令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，则，，∵，∴，当且仅当即时取等号，答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.18．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在.【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．19．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等