人教版数学中考一轮复习-三角形综合解答训练（二）

人教版数学中考一轮复习——三角形综合解答训练（二）1．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF．（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；（3）求△ADE的周长的最大值．2．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．3．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若DG＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AE+AF．5．（1）①如图1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，点E在线段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求证：△ACF≌△BCE；②如图2，当AE＝，BE＝3AE时，求线段CG的长；（2）如图3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的长．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒．（1）AC的长是．（2）用含t的代数式表示线段PR的长．（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．7．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，D，E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC＝120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD＝CE＝2，求△ADE的面积．（2）如图2，当∠BAC＝60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD＝CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH＝AG，求证：∠BGH＝60°．（3）如图3，当∠A＝90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值．8．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，CE＝3，连接AE．（1）求证：△ABE是直角三角形；（2）求△ACE的面积．9．如图，在△ABC中．（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；①猜想BE与CD的数量关系是；②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系10．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，过点A作AE的垂线交CE于点F．（1）如图1，求∠AEC的度数；（2）如图2，连接BF，且∠ABF﹣∠EAB＝15°，求证：BF＝2CF；（3）如图3，在（2）的条件下，G为DF上一点，连接AG，若∠AGD＝∠EBF，AG＝2，求CF的长．11．综合与实践问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD．取AB中点E，CD中点F，连接EF．猜想验证：（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；延伸探究：（2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AB＝2cm，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．12．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上（不与点A重合），作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转α后交直线AC于点E．（1）如图1，点D在射线AN上，α＝60°，求证：AB+AD＝AE；（2）如图2，点D在射线AN上，α＝45°，线段AB，AD，AE之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明．（3）若α＝30°，∠ABE＝15°，BC＝4，请直接写出线段AD的长13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是射线CA，射线BC上的动点，且满足AD＝CE．连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，CF交射线AB于点G．（1）如图1，当点D，E分别为线段AC，BC中点时，求证：DE＝CG；（2）如图2，当点D，E分别在线段AC与BC上运动时，用等式表示线段AG与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，已知AC＝2，当点D，E分别在线段CA与BC的延长线上运动时，若DF＝4EF，直接写出此时线段CG的长．14．如图，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝20，cos∠ABC＝，动点F在线段CD上，连接AF交线段BC于点P，在线段CD上取一点Q，使DQ＝BP，连接BQ，使直线BQ交直线AF于点E．（1）求点B到CD的距离；（2）求线段BP的最小值；（3）是否存在点P，使△BPE为直角三角形？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．15．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连接BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为