空间直线平面的垂直

人教A版（2019）数学必修第二册空间直线、平面的垂直一、单选题1.已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（

）A.

平面ABC⊥平面ADC

B.

平面ADC⊥平面BCD

C.

平面ABC⊥平面BDC

D.

平面ABC⊥平面ADB2.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为

A.

B.

C.

D.

3.已知三棱锥中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作面ABC,垂足为O，则点O是的（

）A.

外心

B.

内心

C.

重心

D.

垂心4.下列命题中错误的是（

）A.

如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.

如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C.

如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ

D.

如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5.如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

46.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是(

)A.

∥

B.

∥平面

C.

D.

平面7.如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（

）A.

B.

C.

D.

8.如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（

）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个9.在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(

)A.

2

B.

C.

4

D.

410.如图所示，在正方形中，分别是的中点，现在沿把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.给出下列关系：①平面；②平面；③；④上平面.其中关系成立的有（

）A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

③④11.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（

）

A.

锐角三角形

B.

直角三角形

C.

钝角三角形

D.

不能确定12.如图，已知是顶角为的等腰三角形，且，点是的中点.将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为（

）A.

B.

C.

D.

二、填空题13.如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为________．

14.在直三棱柱中，.有下列条件：①；②；③.其中能成为的充要条件的是________．（填上序号）15.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于________

16.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围________

三、解答题17.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：BC⊥面CDE;（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.18.如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小.19.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．20.如图，在多面体中，是平行四边形，，，两两垂直.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.21.在三棱柱

中，

平面

，其垂足

落在直线

上.（1）求证：

；（2）若

为

的中点，求三棱锥

的体积.

22.如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.（1）求证：；（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

答案解析部分一、单选题1.B2.A3.D4.D5.C6.C7.D9.B10.B12.A二、填空题14.①③16.[,1]三、解答题17.答案：（1）解：由已知得：，,面．，又，面；（2）解：分析可知，点满足时，面面．理由如下：取中点，连接、、、、容易计算，在中，由平行四边形性质得,所以可知，在中，，．又在中，，为中点，因为面，因为,面面．18.答案：（1）证明：∵，，∴，∴，取的中点，连结，则，∵

平面平面，∴平面，∴从而平面，∴（2）解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，，从而=（4,0,0），，.设为平面的法向量，则可以取设为平面的法向量，则可以取因此，，有，即平面平面，故二面角的大小为.19.答案：解：（Ⅰ）连结，．

在矩形中，,

,．

在中，∵,

，

∵，

，即．

又在中，

，

∴在中，,

,

又,

∴平面．

∴．

（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于.沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，

以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则

,

平面,为平面的一个法向量．

设平面的法向量为

，,

由得

取则

,．

即,．

当时，二面角的大小是20.答案：（1）证明：∵，，，∴平面，∵是平行四边形，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解:连接．∵，，两两互相垂直，，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴．又由（Ⅰ）知平面，∴，∴．设到平面的距离为，所以由，得，所以，即到平面的距离为．21.答案：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，=

，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，AA=AB

tan60=2

由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，=AB

BC=

22=