【全程复习方略】（广东专用）年高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教A

第七节数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取__________________时命题成立，这一步是归纳奠基.(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当______时命题也成立，这一步是归纳递推.完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.第一个值n0(n0∈N*)n=k+1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.()【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时，第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如，证明等式时，也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时项数不一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项，为1+2+22+23.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)时，第一步应验证当n取何值时成立()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.由已知条件n≥3,n∈N知，应验证当n=3时不等式成立.2.若则f(1)为()(A)1(B)(C)1+(D)【解析】选D.f(1)=3．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.4．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*)，由n=k到n=k+1时，等式左边的变化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)【解析析】选B.当n=k时，，左边边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时时，左左边=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),所以多多乘了了2(2k+1).5．在在数列列{an}中，a1＝且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，，其结果是是_______.【解析】由a1＝且Sn=n(2n-1)an得，a2＝，a3＝，a4＝，而可得答案:考向1用数学归纳纳法证明等等式【典例1】】(2012·天津高高考)已知知{an}是等差数数列，其前前n项和为为Sn，{bn}是等比数数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1)求求数列{an}与{bn}的通项公公式.(2)记记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn(n∈N*)，证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).【思路点拨拨】(1)第一一问可分别别求出公差差和公比即即得通项公公式.(2)第二问问可用数学学归纳法证证明等式成成立.【规范解答答】(1)设等等差数列{an}的公差为为d，等比比数列{bn}的公比为q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件得方程程组：an=3n-1,bn=2n(n∈N*).(2)下面用数学归归纳法证明等等式Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.①当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；；②假设当n=k(k≥≥1,且k∈N*)时等式成立，，即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1时等式也成立立.由①和②可知，，对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.【拓展提升】】用数学归纳法法证明等式的的注意点(1)明确等等式两边项的的构成规律，，弄清由n=k到n=k+1时左边边的项是如何何变化的，由由此明确变形形的目标.(2)注意合合理利用恒等等变形的常用用方法.例如如,因式分解解、添拆项、、配方等.【变式训练】】是否存在常数数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整整数n都成立？证明你的的结论．【解析】把n＝1，2，3代入等等式得方程组组解得猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)对一切n∈N*都成立．下面用数学归归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可可知等式成立立．(2)假设n＝k(k≥≥1,k∈N*)时等式成立立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，则当n＝k+1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k＋＋5)(k＋＋2)＋(k＋1)(k＋2)2∴当n＝k＋1时，，等式也成立立．综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．．考向2用数学归纳法法证明不等式式【典例2】由下列不等式式：你能得到一个个怎样的一般般不等式？并并加以证明.【思路点拨】】观察所给出的的不等式，其其左边是若干干个分式相加，分子都是是1，分母由由1开始，每每一项比前一一项大1，最最后一项是2n-1，因此左左边的式子为为不不等式式的右边是一个分数数，依次为由由此可可得到一般的的不等式.证明可采采用数学归纳纳法.【规范解答】】根据给出的几几个不等式可可以猜想第n个不等式，，即一般不等式式为用数学归纳法法证明如下：：(1)当n=1时，1>,猜想想成立.(2)假设当当n=k(k≥1,k∈∈N*)时，，猜想成立，，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想想也成立，所所以对任意的的n∈N*，不等式都成成立.【拓展提升】】用数学归纳法法证明不等式式的注意问题题(1)当遇到到与正整数n有关的不等等式证明时，，应用其他办办法不容易证证，则可考虑虑应用数学归归纳法.(2)用数学学归纳法证明明不等式的关关键是由n=k成立，推推证n=k+1时也成立立，证明时用用上归纳假设设后，可采用用分析法、综综合法、作差差(作商)比比较法、放缩缩法等证明.【变式训练】】求证：【证明】(1)当n＝＝2时，左边边不不等式成立立．(2)假设n＝k(k≥≥2，k∈N*)时命题成立立，即则当n＝k＋＋1时，∴当n＝k＋＋1时不等式式亦成立．∴原不等式对对一切n≥2，n∈N*均成立．【备选考向】】归纳、猜想、、证明【典例】在数列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想{an}的通项公式式，并加以证证明.【思路点拨】】利用递推公式式将n=1,2,3代入入即可求得a2，a3，a4，然后再用数数学归纳法证证明猜想成立立.【规范解答】】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数数列通项公式式为：an=(n-1)λn+2n.下面用数学归归纳法证明：：①当n＝1时时，a1＝2，等式成成立．②假设当n＝＝k(k≥1,k∈N*)时等式成立立，即ak=(k-1)λk+2k，那么当n=k+1时，ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λλk+1+2k+1,即当n＝k＋＋1时等式也也成立，根据据①和②可知知，等式对任任何n∈N*都成立．【拓展提升】】解“归纳———猜想——证证明”题的关关键环节(1)准确计计算出前若干干具体项，这这是归纳、猜猜想的基础.(2)通过观观察、分析、、比较、联想想，猜想出一一般结论.(3)对一般般结论用数学学归纳法进行行证明.【变式训练】】数列{an}中，求a3,a4,猜想an的表达式，并并用数学归纳纳法证明你的的猜想.【解析】因为a1=1，a2=，且所以同同理可求得得归纳猜想下面用数学归归纳法证明猜猜想正确.(1)当n=1时，易知知猜想正确.(2)假设当当n=k(k≥1,k∈∈N*)时，猜想正正确，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想想也正确.由(1)(2)可知，猜猜想对任意正正整数都正确确.【备选考向】】用数学归纳法法证明整除问问题【典例】用数学归纳法法证明：(3n+1)··7n-1(n∈N*)能被9整除除.【思路点拨】】在第二步证明明中，注意利利用归纳假设设，对n=k+1时的式式子进行合理理变形.【规范解答】】(1)当n=1时，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，命题题成立；(2)假设当当n=k(k∈N*,k≥1)时时命题成立，，即(3k+1)·7k-1能被9整整除，则当n=k+1时，[3(k+1)+1]··7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)··7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除除，所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，，即当n=k+1时，命题题也成立，故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【拓展提升】】证明整除问题题的关键———“凑项”证明整除问题题的关键是““凑项”，即即采用增项、、减项、拆项项和因式分解解等手段，将将n=k+1时的式子凑凑出n=k时时的情形，从从而利用归纳纳假设使问题题获证.【变式训练】】用数数学学归归纳纳法法证证明明42n+1+3n+2能被被13整整除除，，其其中中n为为正正整整数数.【证证明明】】(1)当当n=1时时，，42××1+1+31+2=91能能被被13整整除除.(2)假假设设当当n=k(k≥≥1,k∈∈N*)时时，，42k+1+3k+2能被被13整整除除，，则当当n=k+1时时，，方法法一一：：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3··(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能能被被13整整除除，，42k+1+3k+2能被被13整整除除,∴42(k+1)+1+3k+3能被被13整整除除.方法法二二：：［［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能能被被13整整除除，，∴［［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能能被被13整整除除，，即即42(k+1)+1+3k+3能被被13整整除除,∴当当n=k+1时时，，命命题题也也成成立立,由(1)、、(2)知知，，对对任任意意n∈∈N*，42n+1+3n+2都能能被被13整整除除.【易易错错误误区区】】未运运用用归归纳纳假假设设致致误误【典典例例】】用数数学学归归纳纳法法证证明明：：【误误区区警警示示】】本题题错错误误在在于于证证明明当当n=k+1等等式式也也成成立立这这一一步步骤骤时，，没没有有运运用用归归纳纳假假设设，，而而是是直直接接利利用用等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式求求得得这这是是错错误误的的.【规规范范解解答答】】①当当n=1时时，，左左边边=，，右右边边等等式式成成立立.②假假设设当当n=k(k≥≥1,k∈∈N*)时时，，等等式式成成立立，，即则当当n=k+1时时，，即当当n=k+1时时，，等等式式也也成成立立.由①①②②知知，，等等式式对对n∈∈N*成立立.【思思考考点点评评】】数学学归归纳纳法法证证题题的的关关注注点点在运运用用数数学学归归纳纳法法证证明明问问题题时时，，两两个个步步骤骤缺缺一一不不可可，，尤尤其其是是在在证证明明第第二二步步时时，，一一定定要要运运用用归归纳纳假假设设，，即即运运用用当当n=k时时得得到到的的结结论论，，去去证证明明当当n=k+1时时命命题题的的正正确确性性，，否否则则，，若若没没有有运运用用归归纳纳假假设设，，即即使使证证明明出出当当n=k+1时时结结论论成成立立，，也也不不是是利利用用数数学学归归纳纳法法证证明明问问题题，，这这种种证证法法是是错错误误的的.1.(2013··广广州州模模拟拟)用用数数学学归归纳纳法法证证明明1＋＋2＋＋3＋＋……＋＋n2＝则当当n＝＝k＋＋1时时左左端端应应在在n＝＝k的的基基础础上上加加上上式式子子()(A)k2＋1(B)(k＋＋1)2(C)(D)(k2＋1)＋＋(k2＋2)＋＋……＋＋(k＋＋1)2【解解析析】】选D.当当n=k时时，，左左端端=1+2+3+……+k2,当当n=k+1时时，，左左端端=1+2+……+k2+(k2+1)+(k2+2)+……+(k+1)2，因因此此应应在在n=k的的基基础础上上加加上上式式子子(k2+1)+(k2+2)+……+(k+1)2.2.(2013··九九江江模模拟拟)用用数数学学归归纳纳法法证证明明34n+1+52n+1(n∈∈N*)能能被被8整整除除时时，，当当n=k+1时时，，对对于于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变变形形为为()(A)56··34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解解析析】】选A.∵∵当当n=k时时，，34k+1+52k+1能被被8整整除除，，那那么么当当n=k+1时时，，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)··34k+1+52(34k+1+52k+1)=56··34k+1+25(34k+1+52k+1),故故选选A.3.(2013··江江门门模模拟拟)凸凸n边边形形有有f(n)条条对对角角线线，，凸凸(n+1)边边形形有有f(n+1)条条对对角角线线，，则则()(A)f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-2【解解析析】】选C.凸n边形形有