【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第十节 导数在研究函数中的应用课件 文 苏教

第十节导数在研究函数中的应用

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第十节导数在研究函数中的应用双基研习•面对高考1．函数的单调性与导数基础梳理双基研习·面对高考思考感悟1．若函数f(x)在区间[a，b]内单调递增，则f′(x)>0，这种说法是否正确？提示：不正确，函数f(x)在区间[a，b]内单调递增，则f′(x)≥0，此处f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]内处处有f′(x)＝0，可能只在某些具体的点处f′(x)＝0，即f′(x)不恒等于0.2．函数的极值(1)函数的极值的概念：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_______，则点a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的______f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧_________，则点b叫做函数y＝f(x)的__________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________极小值点、极大值点统称为_________，极大值和极小值统称为_______(2)求函数极值的步骤：①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取_______，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取________f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值．极值点极值．极大值极小值．思考感悟2．方程f′(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的极值点是否正确？提示：不正确，方程f′(x)＝0的根未必都是极值点．3．函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：(1)__________________________

；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_______，最小的一个是________求f(x)在(a，b)内的极值最大值最小值．4．生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．1．函数f(x)＝x－lnx的单调区间是________答案：(0,1)2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是________．答案：5，－15课前热身3．f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点点的个数数是________．答案：04．函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，，则a的取值范围是是________．答案：(－∞考点探究·挑战高考考点突跛考点一导数与函数的单调性利用导数判断断函数单调性性的步骤(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定定函数f(x)的单调区间间．例1【思路分析】(1)求f′(x)及f′(2)，(2)求f′(x)，转化为研研究二次函函数的问题题，对a分类讨论．．【名师点评】常见的分类类讨论原因因有函数的的类型不确确定及求的的根大小不不确定等，，与求导后后所得的函函数类型有有关，讨论论的关键是是要理清线线索，做到到不重不漏漏．变式训练1设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小小的切线与与直线12x＋y＝6平行，求：：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间间．例2【名师师点点评变式式训训练练2已知知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若若f(x)在区区间间(0,1]上恒恒为为单单调调函函数数，，则则实实数数a的取取值值范范围围为为________．∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区区间间(0,1]上恒恒成成立立，，即即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函函数数y＝－－2x2－2x在区区间间(0,1]的值值域域为为[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案案：：a≥0或a≤－4考点二导数与函数的极(最)值利用用导导数数求求函函数数极极(最)值的的步步骤骤(1)确定定函函数数的的定定义义域域；；(2)求导导数数f′(x)；(3)解方方程程f′(x)＝0，求求出出函函数数定定义义域域内内的的所所有有根根；；(4)列表表检检验验f′(x)在f′(x)＝0的根根x0左右两侧侧值的符符号，如如果左正正右负，，那么f(x)在x0处取极大大值，如如果左负负右正，，那么f(x)在x0处取极小小值．例3【思路分析析】先求出函函数f(x)的导函数数f′(x)，再令导导函数f′(x)＝0，并求出出其根，，然后对对a分a>0、a<0两种情况况，列表表讨论f′(x)与f(x)的变化情情况，最最后由f′(x)与f(x)的变化情情况确定定出函数数的极值值．【名师点评评】本题是三三次函数数的极值值点问题题，三次次函数求求导后，，导函数数为二次次函数，，因而讨讨论时可可结合二二次函数数的知识识，尤其其是二次次函数的的图象来来研究．．变式训练练3(2010年高考重重庆卷)已知函数数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数数．(1)求f(x)的表达式式；(2)讨论g(x)的单调性性，并求求g(x)在区间[1,2]上的最大大值与最最小值．．考点三导数在实际生活中的应用(1)分析实实际问问题中中各变变量之之间的的关系系，建建立实实际问问题的的数学学模型型，写写出相相应的的函数数关系系式y＝f(x)；(2)求导数数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)(2011年泰州高三三联考)甲、乙两水水池某时段段的蓄水量量随时间变变化而变化化，甲水池池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：：f(t)＝2＋sint，t∈[0,12]，乙水池蓄蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：：g(t)＝5－|t－6|，t∈[0,12]．问：何时时甲、乙两两水池蓄水水量之和达达到最大值值？最大值值为多少？？(参考数据：：sin6≈≈－0.279)．例4【思路分析】建立甲、乙乙两水池蓄蓄水量之和和与关于t的函数关系系，利用导导数求解模模型．【解】设甲、乙两两水池蓄水水量之和为为H(t)＝f(t)＋g(t)，当t∈[0,6]时，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(6－t)＝sint＋t＋1，H′(t)＝cost＋1≥0，所以H(t)在t∈[0,6]上单调递增增，所以[H(t)]max＝H(6)＝7＋sin6≈≈6.721；当t∈(6,12]时，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(t－6)＝sint－t＋13，H′(t)＝cost－1≤0，所以H(t)在t∈(6,12]上单调递减减，所以H(t)＜6.721；故当t＝6h时，甲、乙乙两水池蓄蓄水量之和和H(t)达到最大值值，最大值值约为6.721百吨．【名师点评】实际应用问问题中的导导数模型，，主要是利利用导数求求最值，一一旦在题中中建立了函函数关系，，就转化成成了函数求求导问题，，因而准确确建立函数数关系是解解题的关键键．变式训练4如图，某地地有三家工工厂，分别别位于矩形形ABCD的两个顶顶点A、B及CD的中点P处，AB＝20km，BC＝10km.为了处理理三家工工厂的污污水，现现要在该该矩形区区域上(含边界)，且与A、B等距离的的一点O处，建造造一个污污水处理理厂，并并铺设三三条排污污管道AO、BO、PO.设排污管管道的总总长度为为ykm.(1)按下列要求建建立函数关系系：(ⅰ)设∠BAO＝θ(rad),将y表示为(ⅱ)设PO＝x(km)，将y表示成x的函数．(2)请你选用(1)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．方法技巧1．利用导数研研究函数的单单调性比用函函数单调性的的定义要方便便，但应注意意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上上为增函数(或减函数)的充分条件．．在(a，b)内可导的函数数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间间内都不恒等等于0，这就是说，，函数f(x)在区间上的增增减性并不排排斥在区间内内个别点处有有f′(x0)＝0，甚至可以在在无穷多个点点处f′(x0)＝0，只要这样的的点不能充方法感悟因此，在已知知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值值范围时，应应令f′(x2．证明不等式f(x)>g(x)，通常转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)>0，也就是证明F(x)min>0，因此可利用导数求F(x)min.3．函数的最大大值、最小值值是比较整个个定义区间的的函数值得出出来的，函数数的极值是比比较极值点附附近的函数值值得出来的．．函数的极值值可以有多有有少，但最值值只有一个；；极值只能在在区间内取得得，最值则可可以在端点处处取得；有极极值的未必有有最值，有最最值的未必有有极值；极值值可能成为最最值，最值只只要不在端点点必定是极值值．失误防范1．利用导数求求解函数的单单调区间时，，忽视定义域域常造成单调调区间错误．．2．在已知函数数的单调性求求某些字母的的取值范围时时，常转化为为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的问题题，此处易忘忘掉对“＝”的考虑，即问问题考虑不严严谨．3．有关函数f(x)与f′(x)的图象，在判判断时，f′(x)的符号反映f(x)的单调性，易易错认为f′(x)的图象的单调调趋向就是f(x)的单单调调趋趋向向．．本部部分分是是历历年年高高考考的的一一个个热热点点，，主主要要考考查查利利用用导导数数判考向瞭望·把脉高考考情分析另外外，，利利例规范解答【名师师点点评评】导数数的的有有关关问问题题的的解解法法基基本本上上是是固固定定不不变变的的