2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）如图，点o为RtAABC斜边AB上的一点，ZC=90。，以0A为半径的00与BC交于点D,与AC交于点E,连接AD且AD平分ZBAC.（1）求证：BC是00的切线；⑵若ZBAC=60。，0A=2，求阴影部分的面积（结果保留n）CD匸迟OCD匸迟O1）证明：连接0D，■/AD平分ZBAC,/.ZBAD=ZDAC,•.•A0=D0,/.ZBAD=ZAD0,/.ZCAD=ZAD0,.■.AC〃0D,■/ZACD=90°,/.0D丄BC,/.BC与Q0相切；解：连接0E,EDTZBAC=60°,OE=OA,•••△OAE为等边三角形,/.ZA0E=60°,.■.ZADE=30°,又TZ0AD=*ZBAC=30°,/.ZADE=ZOAD,.■.ED〃AO,四边形OAED是菱形，.•.OE丄AD,且AM=DM,EM=OM,Cn-TTvQ2•••阴影部分的面积^扇形ODE==〒n.dbUs如图，已知AB是00的直径，AC是00的弦，点E在00外，连接CE,zACB的平分线交。0于点D.若ZBCE=ZBAC,求证：CE是00的切线；若；AD=4,BC=3，求弦AC的长.(1)证明：连接0CVAB是00的直径，/.ZACB=90°,.■.ZACO+ZBC0=90°,•.•OA=OC,/.ZOAC=ZOCA,■/ZBAC=ZBCE,二/.ZACO=ZBCE,/.ZBCE+ZBC0=90°,/.Z0CE=90°,.".CE是。O的切线；(2)解：连接BD,VZACB的平分线交00于点D,/.ZACD=ZBCD,.Afi=ED,.•.AD=BD,VAB是00的直径，.■.ZADB=；90°,•••△adb是等腰直角三角形，.•.AB=.：%D=4.迈，VBC=3,如图，AB是00的直径，AE平分ZBAF,交00于点E,过点E作直线ED丄AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.求证：CD是00的切线；ZC=45°,00的半径为2,求阴影部分面积.(1)证明：连接OE.•.•OA=OE,/.ZOAE=ZOEA,又'/ZDAE=ZOAE,/.ZOEA=ZDAE,.■.OE〃AD,/.ZADC=ZOEC,■/AD丄CD,.■.ZADC=90°,故ZOEC=9O°./.OE丄CD,.".CD是。O的切线；(2)解:VZC=45°,•••△OCE是等腰直角三角形,/CE=OE=2,ZCOE=45°,•••阴影部分面积Poce-S=2•••阴影部分面积Poce-S=2扇形OBE£X2X2-=2-兀4.如图①，BC是00的直径，点A在00上,AD丄BC垂足为D,弧AE=弧AB,BE分别交AD、AC于点F、G.DC3DOEGDC3DOEG图①判断△FAG的形状，并说明理由；如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G,AD的延长线交BE于点F,其余条件不变(1)中的结论还成立吗？请说明理由.在(2)的条件下，若BG=26,DF=5，求00的直径BC.解：(1)AFAG等腰三角形；理由：TBC为直径，/.ZBAC=90°,/.ZABE+ZAGB=90°,■/AD丄BC,/.ZADC=90°,/.ZACD+ZDAC=90°,/•弧AETgAB,/.ZABE=ZACD,/.ZDAC=ZAGB,.•.FA=FG,•••△FAG是等腰三角形；(2)成立；/BC为直径，/.ZBAC=90°/.ZABE+ZAGB=90°■/AD丄BC,.■.ZADC=90°,/.ZACD+ZDAC=90°,•/弧AB,/.ZABE=ZACD,

/.ZDAC=ZAGB,.•.FA=FG,•••△FAG是等腰三角形；由(2)知ZDAC=ZAGB,且ZBAD+ZDAC=90°,ZABG+ZAGB=90°/.ZBAD=ZABG,.•.AF=BF,又•.•AF=FG,•F为BG的中点•••△BAG为直角三角形，•AF=BF=*BG=13,•••DF=5,.■.AD=AF-DF=13-5=8,.■.在RtABDF中，BD=丄12,.•.在RtABDA中，AB=丄4.玉,■/ZABC=ZDBA,ZBAC=ZADB=90°•△ABCsADBA,BCAB…E虑DE'•^13=12,EC4-/I3•^13=12,•00的直径bc=E*.如图，已知矩形ABCD的边AB=6,BC=4,点P、Q分别是AB、BC边上的动点.连接AQ、PQ,以PQ为直径的00交AQ于点E.若点E恰好是AQ的中点，则ZQPB与ZAQP的数量关系是ZQPB=2ZAQP:若BE=BQ=3，求BP的长；已知AP=3,BQ=1,00是以PQ为弦的圆.若圆心0恰好在CB边的延长线上，求00的半径；若00与矩形ABCD的一边相切，求00的半径.解：⑴①•••点E恰好是AQ的中点，ZABQ=90°,.•.BE=AE=EQ,/.ZEAB=ZEBA,/.ZQEB=2ZEBP,■/以PQ为直径的00交AQ于点E,/.ZQPB=ZQEB,ZPBE=ZPQA,/.ZQPB=2ZAQP,故答案为：ZQPB=2ZAQP；②•.•BE=BQ,/.ZBEQ=ZBQE,且ZBPQ=ZBEQ,/.ZBPQ=ZBQE,.".tanZBPQ=tanZBPQ,ABBQ■…EQ一胡，.卫旦…m_E0，(2)①如图1,过点0作0E丄PQ,

TAP=3,AB=6,.■.BP=3,TOE丄PQ,QE=PE=TAP=3,AB=6,.■.BP=3,TOE丄PQ,QE=PE=a/ToBQPQQETcosZPQB=/.OQ=5,•••0O的半径为5；②如图2,若0O与BC相切于点Q,连接OQ,过点O作OE丄PQ于E,•••BC是00切线,/.0Q丄BC,且AB丄BC,.•.OQ〃AB,/.ZOQP=ZBPQ,.".cosZOQP=cosZBPQ,QEPB…Vw.•；Ij_OQ10•••O吨；如图3,若00与AB相切于点P,连接0P,过点0作0E丄PQ于E,TAB是00切线，•OP丄AB,且AB丄BC,.■.OP〃BC,/.ZOPQ=ZPQB,Z.cosZ0PQ=cosZPQB,PEBQ■,"CP"PQ\-40"一亠OP10•0P=5；如图4,若00与AD相切于点M,连接0M,0Q,OP,延长M0交BC于F,作OH丄AB于H点,.「OM丄AD,且BC〃AD,.•.OF丄BC,■/ZA=ZB=ZAMO=ZOFB=ZOHB=90°,.四边形AHOM,OHBF是矩形，.•.OM=AH,OH=BF,■/OQ2=OF2+FQ2,OP2=OH2+PH2,/.OQ2=(6-OQ)2+(BF-1)2,OQ2=BF2+OQ-3)2,OQ,OP,延长NO交BC于E,作OH丄BC于H若图5,若0O与CD相切于点N,连接ON,点,同理可得：OP2=PE2+OE2,OQ2=OH2+QH2,.OQ2=(3-OH)2+(4-OQ)2,OQ2=OH2+(4-OQ-1)2.■.OQ=35-6一如如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE,将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF,在AF上取一点O,以点O为圆心，OF为半径作0O与AD相切于点P.AB=6,BC=<g,求证：F是DC的中点.求证:AE=4CE.求图中阴影部分的面积.在RtAADF中，DF='；AF^-AD红，昔-(W)2=3,.•.CF=DC-DF=3,•••DF=FC,即F是CD的中点；证明：在RtAADF中，DF=3,AF=6,.".ZDAF=30。，.".ZBAF=60。，由折叠的性质可知，ZEAF=ZEAB,ZAFE=ZB=90°,/.ZEAF=ZEAB=30°,.•.AE=2EF,ZEFC=180°-ZAFD-ZAFE=30。，.•.EF=2CE,/.AE=4CE；解：连接OP、OH、PH,••90与AD相切于点P,.•.OP丄AD,.•.OP〃DF,■/ZDAF=30°,/.ZA0P=90°-ZDAF=60°,OF=OP=^A,Z.Z0FH=ZA0P=60°,0P=0F=2,•■•AP=；0*-0卩上=2'",.•.DP=AD-AP=W,■ZZ0FH=60°,OH=OF,•••△OHF为等边三角形，.•.ZFOH=ZOHF=6O°,HF=0F=2,.•.DH=DF-HF=1,T0P〃DF,/.ZPOH=ZOHF=6O°,/.ZPOH=ZHOF,•••PUT,•••阴影部分的面积=^PDH的面积DHXDP=¥.如图，RtAABC中，ZABC=90°，以AB为直径作00交AC于点D,连接BD.求证：ZA=ZCBD.若AB=10,AD=6,M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与。0相切,并说明理由.证明:TAB为00直径,/.ZADB=90°,/.ZA+ZABD=90°.\'ZABC=90°,/.ZCBD+ZABD=90°,/.ZA=ZCBD；BM=理由如下：

如图，连接OD，DM，TZADB=90°,AB=10,AD=6,•■•BD=」-护=8,0A=5,■/ZA=ZCBD,•RtACBDsr弋\BAD,BCBD即睨S解得BC=f取BC的中点M,连接DM、OD,如图,•••DM为RtABCD斜边BC的中线,•Z2=Z4,•OB=OD，/.Z1=Z3,/.Z1+Z2=Z3+Z4=90°，即Z0DM=90°,.•.OD丄DM,•••DM为0O的切线，20此时BM=20此时BM=如图，AB是00的直径，直线MC与00相切于点C.过点A作MC的垂线，垂足为D,线段AD与00相交于点E.求证：AC是ZDAB的平分线；若AB=10,AC=4.运，求AE的长./.OF/.OF=OC-CF=3.•••直线MC与00相切于点C,.■.Z0CM=90°,■/AD丄CD,.■.ZADM=90°,/.ZOCM=ZADM,.■.0C〃AD,/.ZDAC=ZAC0,•/0A=0C,/.ZAC0=ZCA0,/.ZDAC=ZCAB,即AC是ZDAB的平分线；(2)解：连接BC,连接BE交OC于点F,/■AB是00的直径，/.ZACB=ZAEB=9O°,•/AB=10,AC=4.g.".BC=〔点站-AC!DJ-(45)'=215,/0C〃AD,/.ZBF0=ZAEB=90°,.•.ZCFB=90°,F为线段BE中点,■/ZCBE=ZEAC=ZCAB,ZCFB=ZACB,.•.△CFBsABCA.•巫=竺即狂=師…BC=AB，即師=M,解得CF=2•••0为直径AB中点，F为线段BE中点,.".AE=20F=6.如图，AB是00的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交0B于点E,点F是AB延长线上一点，CF=EF.求证：FC是00的切线；若CF=5,tanA=g"，求00半径的长.证明：如图，连接0D.••点D是半圆的中点，/.ZA0D=ZB0D=90°,/.ZODC+ZOED=90°,•0D=0C，/.ZODC=ZOCD.又VCF=EF,/.ZFCE=ZFEC.■/ZFEC=ZOED,/.ZFCE=ZOED./.ZFCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90°,即FC丄0C,•"•FC是00的切线；

(2)解：TtanA=*,(2)解：TtanA=*,亠…八EC1TZACB=ZOCF=9O°,/.ZACO=ZBCF=ZA,■."△ACFsACBF,BFCFBC1八=—=■=—'TFAFAC2'/.AF=10,.•.CF2=BFAF.如图，AB是00的直径，弦DE垂直半径0A,C为垂足，DE=6，连接DB,ZB=30°,过点E作EM〃BD，交BA的延长线于点M.(1)求的半径；求证：EM是00的切线；若弦DF与直径AB相交于点P,当ZAPD=45。时，求图中阴影部分的面积.解：⑴连结0E解：⑴连结0E,■/DE垂直0A,ZB=30°,•■•CE=gDE=3,.■.ZA0E=2ZB=60°,.■.ZCE0=30°,OC=*OE,由勾股定理得0E=2•迂；TEM〃BD,/.ZM=ZB=30°,ZM+ZA0E=90°,/.ZOEM=9O°，即OE丄ME,•••EM是00的切线；再连结OF,当ZAPD=45。时，ZEDF=45°,.■.ZE0F=90°,S阴影=*(2近)2-寺(2去)2=3n-6-如图，RtAABC中，zC=90°.BE平分ZABC交AC于点D,交厶ABC的外接圆于点E,过点E作EF丄BC交BC的延长线于点F.请补全图形后完成下面的问题：(1)求证：已卩是厶ABC外接圆的切线；(2)若BC=5,sinZABC=^，求EF的长.(1)证明：补全图形如图所示,•••△ABC是直角三角形，•△ABC的外接圆圆心0是斜边AB的中点.连接OE,.•.OE=OB.•Z2=Z3,•.•BE平分ZABC,/.Z1=Z2,/.Z1=Z3..•.OE〃BF.•EF丄BF,.•.EF丄OE,.讣卩是厶ABC外接圆的切线;12(2)解：在RtAABC中,BC=5,sinZABC=座=!!•AC2+BC2=AB2,.•.AC=12.■/ZACF=ZCFE=ZFEH=90°,.四边形C；FEH是矩形..•.EF=HC,ZEHC=90°..EF=HC=*AC=6.12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直,那么这两条弦互为“十字弦”,也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”如：如图，已知®)的两条弦AB丄CD,贝则AB、CD互为“十字弦”AB是CD的“十字弦”CD也是AB的“十字弦”⑴若00的半径为5,—条弦AB=8,则弦AB的“十字弦”CD的最大值为10，最小值为6.(2)如图1,若00的弦CD恰好是00的直径，弦AB与CD相交于H,连接AC,若AC=DH=7,CH=9,求证：AB、CD互为“十字弦”

如图2,若00的半径为5,—条弦AB=8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若ZADC=60。，求弦CD的长.ADZADC=60。，求弦CD的长.ADCDQB'Bmi解：(1)如图a,当」CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；A(D)FC0Q图3图A(D)FC0Q图3图0如图b,当点D与点A重合时，CD有最小值,过点0作0E丄CD于E,0F丄AB于F,.•.AF=BF=4,DE=CE,•■•0F=J*-止时=二22-16=3,■/0E丄CD,OF丄AB,ZCDB=90°,四边形CEOF是矩形，/.CE=0F=3,/.CD=6,•"•CD最小值为6,故答案为：10,6；(2)如图1,连接AD,

•.•DH=7,CH=9,.".CD=16,•••CD是直径，/.ZCAD=90°,•■仙=乂酹一吉严='_卫5&--144=4'订,虑_佔DC二电=4/7丽「「F，也一新=「FZADH=ZADC,ADDCZADH=ZADC,…•.■.•.△ADHs^CDA,/.ZAHD=ZCAD=90°,/.AB丄CD,•••AB、CD互为“十;字弦”；如图2,过点0作0E丄CD于E,过点0作OF丄AB于点F,连接AO,CO,过点0作ON丄AC于N,ZADC=60°,AB丄CD,/.AF=.希，OE丄CD,OF丄AB,AB丄CD,./四边形OEHF是矩形，AF=BF=4,CE=ED,•OF=EH,TOF=:曲-AF2^^-16=3,/.EH=3,.•.ED=CE=3+DH,.■.CF=3+2DH,■/ZAOC=2ZADC=120°，且A0=C0=5,ON丄AC,/.ZCAO=30°,AN=CN,■/AH2+CH2=AC2,.■.75=3DH2+(3+2DH)2,.■.DH=2=,.•.CD=2CE=2(3+2i乜-牙)=矢乜十&如图，AB是。0的弦，AB=4,点P在曲ilB上运动(点P不与点A、B重合)，且ZAPB=30°，设图中阴影部分的面积为y．0O的半径为4:若点P到直线AB的距离为x,求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．解：(1)VZAOB=2ZAPB=2X30°=60而OA=OB,•••△OAB为等边三角形,/.OA=AB=4,即OO的半径为4：故答案为4:(2)过点O作OH丄AB,垂足为H,如图,

则ZOHA=ZOHB=9O°TZAPB=30°.■.ZA0B=2ZAPB=60°,•.•OA=OB,OH丄AB,.•.AH=BH=*AB=2,在RtAAHO中，ZAHO=9O°,AO=4,AH=2,•兀・4a"y_—•兀・4a"y_—360—=2x^-n-4-/3(0VxW2_：P+4).如图，四边形ABCD内接于©O,AC为00的直径，D为就的中点，过点D作DE〃AC,交BC交BC的延长线于点E．判断DE与©0的位置关系，并说明理由;-IG若CE=,AB=6，求©0的半径.(1)解：结论:DE与©0相切证：连接OD在00中，TD为曲;的中点，.•.AD=DC,•.•AD=DC,点0是AC的中点，/.0D丄AC,/.ZD0A=ZD0C=90°,■•■.■DE〃AC,/.ZDOA=ZODE=90°,■/ZODE=90°,/.0D丄DE,TOD丄DE,DE经过半径OD的外端点D,/.DE与00相切.(2)解：连接BD.•.•四边形ABCD是00的内接四边形，/.ZDAB+ZDCB=180°,又TZDCE+ZDCB=180°,/.ZDAB=ZDCE,•••AC为00的直径，点D、B在00上,/.ZADC=ZABC=90°,/.ZABD=ZCBD=45°,TAD=DC,ZADC=90°,.■.ZDAC=ZDCA=45°,TDE〃AC,/.ZDCA=