人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.2

第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第1课时

矩形及其性质1课堂讲解矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1.什么叫平行四边形？3.平行四边形有哪些性质？①平行四边形的对角相等.②平行四边形的对边相等.③平行四边形的对角线互相平分.2.平行四边形与四边形

有什么关系？ABCD两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.特殊一般

平行四边形具有四边形的一切性质1知识点矩形的定义知1－讲平行四边形长方形有一个角是直角

矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.★矩形具有平行四边形的一切性质！知1－讲有一个内角是直角的平行四边形叫矩形.矩形定义：ABCD∵在ABCD中，∠A=90°∴ABCD是矩形.例1如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分

别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四

边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．知1－讲很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．

四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，∴AD∥BC．∵l1∥l2，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．分析：解：总

结知1－讲

利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.1矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？知1－练是，它有2条对称轴．解：2下列说法不正确的是(

)A．矩形是平行四边形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．平行四边形具有的性质矩形都具有知1－练B3【中考·菏泽】在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(

)①AC＝5;②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD;④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④知1－练B2知识点矩形的边角性质知2－导首先研究角的性质BADC矩形的四个角都是直角.为什么?※

矩形的性质定理1知2－讲例2如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度数．由∠DAE与∠BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度数，从而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．导引：知2－讲∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：总

结知2－讲

矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．1如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC知2－练A2【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(

)A．5B．4C.D.知2－练D3【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O.若AO＝5cm，则AB的长为(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm知2－练C4【中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°知2－练C3知识点矩形的对角线性质知3－导BADC两条对角线有何关系?矩形的对角线相等.※矩形的性质定理2知3－导

任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?

已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．

求证：AC=DB．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．

∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．

于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：知3－讲例3如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.

又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴OA=AB=4.∴

AC=BD=2OA=8.（来自《教材》）解：1求证：矩形的对角线相等.知3－练已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O.求证：AC＝BD.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，又BC＝CB，所以Rt△ABC≌Rt△DCB，所以AC＝DB，即AC＝BD.解：证明：2一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一

个交角为120°.求这个矩形的边长(结果保留小数点后两位).知3－练（来自《教材》）如图所示，在矩形ABCD中，∠AOD＝∠BOC＝120°，所以∠AOB＝∠COD＝60°.因为AC＝BD＝8，所以OA＝OB＝OC＝OD＝4，所以△AOB为等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝4.在Rt△ABD中，AD＝≈6.93.即这个矩形的边长分别为4，6.93，4，6.93.解：3【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是(

)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm知3－练A4【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝DE＝2，则四边形OCED的面积为(

)A．2B．4C．4D．8知3－练A5【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2知3－练A知4－导4知识点直角三角形斜边上中线的性质ABCOD在左图的Rt△ABC中，OB与AC有何关系？D直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.※

推论OB=AC例4如图(1)，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别

是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.知4－讲如图(2)，连接EM，DM，由CE与BD为△ABC的两条高，可得△BEC与△CDB均为直角三角形，根据M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EM为BC的一半，DM也为BC的一半，通过等量代换可得EM＝DM，又N为DE的中点，所以MN⊥DE.(1)(2)导引：知4－讲连接EM，DM，如图(2).∵BD，CE为△ABC的两条高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在Rt△BEC中，∵M为斜边BC的中点，∴EM＝

BC.在Rt△CDB中，∵M为斜边BC的中点，∴DM＝

BC.∴EM＝DM.又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.证明：(2)总

结知4－讲

若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．1(中考·鄂尔多斯)如图，P是矩形ABCD的对角线AC

的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四

边形ABPE的周长为(

)A．14B．16C．17D．18知4－练D2【中考·葫芦岛】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为(

)A．4B．8C．2D．4知4－练D1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩

形，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：1知识小结矩形的四个角都是直角.※

矩形的性质定理1矩形的对角线相等.※

矩形的性质定理2※

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第2课时

矩形的判定1课堂讲解由对角线的关系判定矩形由直角的个数判定矩形2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业矩形的

两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等边对角线角矩形的性质1知识点由对角线的关系判定矩形

我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？知1－导思考归纳知1－导

可以发现并证明矩形的一个判定定理：

对角线相等的平行四边形是矩形.警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个

四边形必须是平行四边形才可以.例1如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，∴

AC=BD.∴四边形ABCD是矩形.∴

∠DAB=90°.又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.（来自《教材》）解：总

结知1－讲

用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形．1如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

△OAB是等边三角形，且AB=4.

求▱ABCD的面积.知1－练（来自《教材》）知1－练（来自《教材》）因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.又因为△OAB是等边三角形，所以OA＝OB＝AB.所以OA＝OB＝OC＝OD.所以AC＝BD，所以▱ABCD是矩形．又因为AB＝4，所以AC＝8，所以BC＝所以S矩形ABCD＝AB·BC＝4×解：2如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(

)A．AB＝BC

B．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD知1－练B3【中考·黑龙江】如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件______________________，使四边形DBCE是矩形．知1－练EB＝DC(答案不唯一)2知识点有直角的个数判定矩形知2－导

前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？思考知2－导(1)根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形

是矩形．如果不通过平行四边形，能根据四边形

中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗?

有几个角是直角的四边形是矩形呢?矩形的四个角都是直角.反过来，四个角都是直角

的四边形是矩形.知2－导已知：如图所示，在四边形ABCD中，

∠A=∠B=∠C=90°．

求证：四边形ABCD是矩形．ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°，

∠A+∠B=180°，

∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠A=90°.∴▱ABCD是矩形.证明：归纳知2－导有三个角是直角的四边形是矩形.知2－讲例2如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于

点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.要证明四边形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．导引：知2－讲∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠BCD

＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°.同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四边形EFGH是矩形．证明：总

结知2－讲

本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形．1下列命题中，真命题有(

)(1)对角线互相平分的四边形是矩形(2)三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形(3)对角互补的平行四边形是矩形(4)三边之比为1：：2的三角形是直角三角形A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练C2如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DC知2－练C3【中考·上海】已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(

)A．∠BAC＝∠DCA

B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD

D．∠BAC＝∠ADB知2－练C1知识小结1.有一个角是直角的平行四边形2.对角线相等的平行四边形3.有三个角是直角的四边形矩形.

矩形的判定方法：矩形.

矩形.

第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时

菱形及其性质1课堂讲解菱形的定义菱形边的性质菱形对角线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线平行四边形的对角线互相平分；温故知新1知识点菱形的定义知1－导在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？

平行四边形有一组邻边相等的平行四边形菱形邻边相等知1－讲有一组的叫做邻边相等平行四边形ADCB∵四边形ABCD是平

行四边形

AB=BC∴四边形ABCD是菱形菱形.

知1－讲感受生活你能举出生活中你看到的菱形吗？知1－讲生活感受例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于

点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？知1－讲因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．导引：知1－讲四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平

行四边形是菱形)．解：总

结知1－讲

本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．1如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BD知1－练B2知识点菱形的边的性质知2－导

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问

题菱形的四条边都相等.知2－讲例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周长为

，故选B.B分析：总

结知2－讲

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.1边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm知2－练C2【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.知2－练B3【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3π知2－练A4【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为(

)A．5B．7C．8D.知2－练B3知识点菱形的对角线的性质知3－导

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?归纳知3－导

对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（来自《教材》）知3－导问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．导引：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB知3－讲解：总

结知3－讲

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．（来自《教材》）知3－讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).（来自《教材》）知3－讲解：总

结知3－讲菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应

用(3)这种方法时不要忽视“一半”．1四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.知3－练（来自《教材》）如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因为AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：2已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.知3－练（来自《教材》）如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面积为

AC·BD＝×8×6＝24.解：3【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(

)A．2B.C．3D．4知3－练D4【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②知3－练B5【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm知3－练D我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.拓展延伸归纳

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．例5如图①，在菱形ABCD中，E，F分

别是CB，CD上的点，且BE＝DF.(1)求证：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，点E，F分

别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如图②，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵E为BC的中点，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．证明：总

结

菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起．1菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为(

)A．2条B．4条C．6条D．8条A2【中考·益阳】下列性质中菱形不一定具有的性质是(

)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形C1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做

菱形

2．菱形的性质：(1)它具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且一条对角线平分

一组对角.1知识小结第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时

菱形的判定1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业ABCDO(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角

线平分一组对角；菱形的性质1知识点由对角线的位置关系判定菱形知1－导同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.知1－导平行四边形菱形一组邻边相等还有其它的方法吗？知1－导

用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形知1－导证明：判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在ABCD中有对角线AC⊥BD，且相交于点O求证：ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形.∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD≌△AOB.∴AD=AB∴ABCD是菱形O归纳知1－导

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□

ABCD

是菱形.知1－讲∵AB=5，AO=4，BO=3，∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.∴□ABCD是菱形.（来自《教材》）证明：总结知1－讲证明一个四边形是菱形的方法：

若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．1如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？知1－练（来自《教材》）四边形ABCD是一个菱形．理由：由题意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD是菱形．解：2【2016·海南】如图，四边形ABCD

是轴对称图形，且直线AC

是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD

是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).知1－练①②③④3【2017·泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为(

)A．1B．2C．3D．4知1－练D2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导

我们知道，菱形的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形是菱形吗?思考知2－讲例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，

点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中

点．试说明：四边形EFGH是菱形．由于点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，可知EH，HG，GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH是菱形．

导引：知2－讲∵点E，H分别为AD，AC的中点，∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝

CD.同理可证：EF＝

AB，FG＝

CD，HG＝

AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四边形EFGH是菱形．解：总

结知2－讲

有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．要证明一个四边形是菱形，一般先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直．知2－讲例3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC

交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的

理由．导引：四边形CDEF是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF

DE.∴四边形CDEF是平行四边形．又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．知2－讲∥＝解：总

结知2－讲判定菱形的方法：①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，

再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角

线互相垂直平分；②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再

证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都

相等．知2－练一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.（来自《教材》）1这是一个特殊的平行四边形，是菱形．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以OB＝OD＝6，OA＝OC＝解：知2－练（来自《教材》）因为62＋()2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，所以△AOB是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝

AC·BD＝×6×12＝36.2如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分C．AC＝BD

D．AB∥CD知2－练B3【2017·河南】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(

)A．AC⊥BD

B．AB＝BC

C．AC＝BD

D．∠1＝∠2知2－练C4【2016·雅安】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC

＝24cm，则四边形ABCD的周长为(

)A．52cm

B．40cmC．39cmD．26cm知2－练A5如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.如果AE＝4cm，那么四边形AEDF的周长为(

)A．12cmB．16cmC．20cmD．22cm知2－练B6如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG;④FH＝

BD.其中正确的结论是(

)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④知2－练C1知识小结一组邻边相等对角线互相垂直四条边相等五种判定方法四边形平行四边形菱形菱形的判定方法：第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时

正方形及其性质1课堂讲解正方形的定义正方形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形角:四个角是直角对角线:对角线相等且互相平分边：对边平行且相等具有平行四边形所有性质回顾旧知菱形的性质菱形的性质边:四条边相等对角线:互相垂直平分分别平分两组对角对角相等,邻角互补具有平行四边形一切性质角：1知识点正方形的定义知1－导正方形菱形正方形有一个角是直角正方形是特殊的菱形知1－讲正方形的概念：__________________________________的平行四边形是正方形._______________的菱形是正方形._________________的矩形是正方形.定义有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一组邻边相等例1如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE

=BE.知1－讲本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方法有很多，根据题中所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．分析：知1－讲∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，

∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.证明：总

结知1－讲

知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的

平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练1B【中考·兰州】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．知1－练2AC＝BD2知识点正方形的性质知2－讲正方形边的性质：

具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；知2－讲例2已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交

点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．导引：知2－讲∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.证明：总

结知2－讲通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可

以裁出正方形纸片.为什么？(2)如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正

方形木板呢？知2－练（来自《教材》）1略.解：正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等B．四条边相等C．对角线相等D．对角线互相平分知2－练2B【中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是(

)A．3B．4C．5D．6知2－练3A【中考·广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(

)

A.B．2C.＋1D．2＋1知2－练4B【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．6知2－练5B知2－讲正方形角的性质：

四个角相等，且都是直角；知2－讲例3

如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.知2－讲解：总

结知2－讲

解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？知2－练（来自《教材》）1AD知2－练（来自《教材》）连接AC，BD相交于点O.在Rt△BCE中，BC因为AB＝BC＝CD＝AD，所以S正方形ABCD＝BC2＝(20)2＝800(m2)．因为AC又BD＝AC，所以BD＝40m．所以这块场地的面积是800m2，对角线长是40m.解：【中考·河北】如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(

)知2－练2A【中考·河南】我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(

)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)知2－练3D1.正方形是中心对称图形，轴对称图形.2.正方形的四条边都相等.3.正方形的四个角都相等.4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条

对角线平分一组对角.有一组邻边相等并且有一个角是直角平行四边形是

正方形的1知识小结第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形第3课时

正方形的判定1课堂讲解正方形的对称性正方形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形菱形的判别方法：矩形的判别方法：1知识点正方形的对称性知1－讲OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的对称性：正方形是中心对称图形，对称中心为点O；又是轴对称图形，有四条对称轴.例1

如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC

＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别

交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，

则重叠部分四边形EMCN的面积为(

)A.a2

B.a2

C.a2

D.a2知1－讲D作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，知1－讲导引：在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝

a，∵EC＝2AE，∴EC＝

a，∴EP＝PC＝

a，∴正方形PCQE的面积＝

a×a＝

a2，∴四边形EMCN的面积＝

a2.知1－讲总

结知1－讲

本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．1【2016·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次知1－练B2将五个边长都为2cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(

)A．2cm2

B．4cm2C．6cm2

D．8cm2知1－练B2知识点正方形的判定知2－导正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形的性质=菱形性质矩形性质知2－导正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相