人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.1

第十八章

平行四边形18.1平行四边形第1课时

平行四边形的

边、角性质1课堂讲解平行四边形的定义平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行线之间的距离2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业1知识点平行四边形的定义知1－导两组对边分别平行四边形平行四边形∠A与∠C，∠B与∠D叫做对角.AB与CD，AD与BC叫做对边.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.ADCB例1

如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平

行于AB，BC，那么图中共有______

个平行四边形．知1－讲导引：根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由

已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边

形的定义可以判定四边形ABFE是平行四边形，同理

可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、

四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边

形PFCH都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD，

即共有9个平行四边形．9如图，▱ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(

)A．13B．14C．15D．18知1－练1D(中考·泰安)如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(

)A．2B．3C．4D．6知1－练2C【中考·广州】如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(

)A．6B．12C．18D．24知1－练3C2知识点平行四边形的对边相等知2－导

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明.探究知2－导如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴AD=CD，AB=CD.证明：归纳知2－导（来自《教材》）这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.知2－讲边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边

相等．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.知2－讲例2如图，在▱ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，

垂足分别为E，F.求证AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=CB.又∠AED=∠CFB=90。，∴△ADE≌△CBF.∴

AE=CF.（来自《教材》）证明：总

结知2－讲

在四边形中证明四边形的对边相等，经常证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质定理——对边相等来得到线段相等.1

在▱ABCD中，已知AB=5，BC=3，求它的周长.知2－练（来自《教材》）如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3，所以▱ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝5＋3＋5＋3＝16.解：2

如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一

起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸

条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？知2－练（来自《教材》）由已知，可得AD∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC.即线段AD和BC的长度相等．解：【中考·丽水】如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(

)A.B．2C．2D．4知2－练3C如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线把BC边分成长度是6和8的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(

)A．44B．40C．44或40D．36知2－练4C【中考·威海】如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是(

)A．BO＝OH

B．DF＝CEC．DH＝CG

D．AB＝AE知2－练5D3知识点平行四边形的对角相等知3－导

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明.探究知3－导如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴∠B=∠D.请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.证明：结论知3－导（来自《教材》）这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.知3－讲角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.知3－讲例3如图，在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平

行四边形各角的度数．

由平行四边形的对角相等，

得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；

再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．

在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：

导引：总

结知3－讲

平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．在▱ABCD中，已知∠A=38°，求其余各内

角的度数.知3－练（来自《教材》）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠C＝∠A＝38°，∠B＝∠D，所以∠A＋∠D＝180°，所以∠D＝180°－∠A＝180°－38°＝142°，所以∠B＝∠D＝142°.解：【中考·衢州】如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(

)A．45°B．55°C．65°D．75°知3－练2A【中考·黔西南州】已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°知3－练3C知4－导4知识点平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另

一条直线的距离，叫做这两条平行线之间

的距离．例4

如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列结论中错误的

是(

)A．AB＝CDB．CE＝FGC．A，B两点间的距离就是线段AB的长D．直线a，b间的距离就是线段CD的长

根据“两点间的距离”，“两平行线间的距离”的有

关概念和定理，可以作出判断．知4－讲D导引：总

结知4－讲

如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等；即：平行线间的距离处处相等．(1)“平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高

时，可根据需要灵活选择位置；(注：平行线的这一

性质常用来解决三角形同底等高问题)(2)平行线的位置确定后，它们间的距离是定值(是正值)，

不随垂线段位置的改变而改变．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离(

)A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于7知4－练1D如图，a∥b，若要使S△ABC＝S△DEF，需增加条件(

)A．AB＝DE

B．AC＝DF

C．BC＝EF

D．BE＝AD知4－练2C1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.2.平行四边形的对角相等.3.平行四边形的对角相等.4.平行线之间的距离：一条直线上任意一点到另一

条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线之间

的距离．1知识小结第十八章

平行四边形18.1平行四边形第2课时

平行四边形的

对角线性质1课堂讲解平行四边形的对角线互相平分平行四边形的面积2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质：对边相等；对角相等回顾旧知1知识点平行四边形的对角线互相平分探究

如图，在▱ABCD

中，连接AC，BD，并设它们相交于点O,OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？我们猜想，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD.知1－导归纳知1－导（来自《教材》）由此我们又得到平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线互相平分对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.知1－讲例1如图，已知▱ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周

长长8，求这个平行四边形各边的长．知1－讲由平行四边形对边相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30.又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．

导引：知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：知1－讲例2如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，C

在一条直线上，求证：AE＝CF.平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．导引：知1－讲如图，连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形EBFD是平行四边形，∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．证明：总

结知1－讲

本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．1如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.

△AOD

的周长是多少?△ABC与△DBC的周长

哪个长？长多少？知1－练（来自《教材》）在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD.因为AC＝8，BD＝14，所以OA＝OC＝

AC＝×8＝4，OB＝OD＝

BD＝×14＝7.解：知1－练（来自《教材》）所以△AOD的周长为OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21，△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB，△DBC的周长为BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14

＝24＋CD＝24＋AB，所以△DBC的周长>△ABC的周长，△DBC的周长－△ABC的周长＝24＋AB－(18＋AB)＝24＋AB－18－AB＝6，即△DBC的周长比△ABC的周长长，长6.2

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF

过点O且与AB，CD分

别相交于点E，F.

求证OE=OF.知1－练（来自《教材》）因为四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，AB∥CD，所以∠EAO＝∠FCO.又因为∠AOE＝∠COF，所以△OAE≌△OCF.所以OE＝OF.解：【中考·泸州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是(

)A．10B．14C．20D．22知1－练3B【中考·青岛】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(

)A.B.C.D.知1－练4D【中考·眉山】如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(

)A．14B．13C．12D．10知1－练5C如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(

)A．4B．3C．2D．1知1－练6B2知识点平行四边形的面积知2－导1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平

行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边

间的距离)．2．等底等高的平行四边形的面积相等．知2－讲例3如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.

求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积.（来自《教材》）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，CD=AB=10.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.

根据勾股定理，

又OA=OC，∴OA=AC=3，S▱ABCD=BC•AC=8×6=48.解：总

结知2－讲

求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，▱ABCD的面积为(

)cm2.A．40B．32C．36D．50知2－练1A【中考·包头】如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2C．S1＝S2

D．2S1＝S2知2－练2C如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(

)A．3B．6C．12D．24知2－练3C1.平行四边形的对角线互相平分．2.平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的

任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．1知识小结第十八章

平行四边形18.1平行四边形第3课时

平行四边形的判定1课堂讲解两组对边平行或相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分；1知识点两组对边平行或相等的四边形是平行四边形知1－导一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”从边看：

方法一：两组对边分别平行的四边形是

平行四边形；(定义法)

数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；

方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；知1－讲要证四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定义法证明DE∥FB即可．例1如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE

平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F.

求证：四边形BFDE是平行四

边形．知1－讲导引：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB.∴DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∵AD∥BC，∴∠1＝∠E.∴∠E＝∠3.∴DE∥FB.∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别

平行的四边形是平行四边形)知1－讲证明：总

结知1－讲

平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．知1－讲例2如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧

作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角

形ACF，连接DE，EF.

求证：四边形ADEF是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．导引：知1－讲∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可证：△ABC≌△FEC，∴AB＝FE，∴FE＝AD，∴四边形ADEF是平行四边形．证明：总

结知1－讲

根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF.图中有哪些互相平行的线段？知1－练（来自《教材》）1AB∥CD，AD∥BC，CD∥EF，DE∥CF，AB∥EF.解：知1－练2四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为

一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2

＝2ab＋2cd，则这个四边形是(

)A．任意四边形

B．平行四边形C．对角线相等的四边形

D．对角线垂直的四边形B2知识点两组对角分别相等的四边形是平行四边形知2－讲几何语言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形．(如图所示)知2－讲例3如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于

点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边

形BFDE是平行四边形吗？为什么？利用平行四边形对角相等的性质可得∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C，然后再依据角平分线的定义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组对角分别相等，于是可得出结论．导引：知2－讲四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．解：总

结知2－讲

当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定．1下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行

四边形的是(

)A．AB∥CD，AD＝BC

B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC

D．∠B＝∠C，∠A＝∠D知2－练C3知识点对角线互相平分的四边形是平行四边形知3－导

过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？

下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.思考知3－导

如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.

求证：四边形ABCD是平行四边形.∵OA=OC，OD=OB,∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB.

∴∠OAD=∠OCB.∴AD//BC.

同理AB//DC.∴四边形ABCD是平行四边形.

证明：知3－讲从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．知3－讲（来自《教材》）∵

四边形ABCD是平行四边形，∴

AO=CO，BO=DO.∵

AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.例4

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

E，F是AC上的两点，并且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：总

结知3－讲

从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证BE＝DF.知3－练（来自《教材》）1因为四边形ABCD是平行四边形，所以BO＝DO，OA＝OC.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OA＝OC＝OF.又因为∠BOE＝∠DOF，所以△BOE≌△DOF，所以BE＝DF.解：如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．知3－练144知识点一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知4－导我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？

我们猜想这个结论正确，下面进行证明.思考知4－导

如图，在四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD.

求证：四边形ABCD是平行四边形.连接AC，

∵AB//CD,

∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA.

∴△ABC≌△CDA.

∴BC=DA.∴四边形ABCD两组对边分别相等，它是平行四

边形.

证明：归纳知4－导

于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（来自《教材》）知4－讲一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图，∵AB

CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∥＝知4－讲（来自《教材》）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，EB//FD.又EB=AB，FD=CD，∴

EB=FD.∴四边形EBFD是平行四边形.例5如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.

求证：四边形EBFD是平行四边形.证明：总

结知4－讲

要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是证明平行的这组对边相等．而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？知4－练（来自《教材》）1因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的．解：如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE丄BD，CF丄BD，E，F为垂足.求证：四边形AFGE是平行四边形.知4－练（来自《教材》）2知4－练（来自《教材》）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.又因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，所以△ABE≌△CDF，所以AE＝CF.又因为AE∥CF，所以四边形AFCE是平行四边形．解：3(中考·湘西州)下列说法错误的是(

)A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是

平行四边形知4－练D4【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(

)A．AB＝CD

B．BC＝ADC．∠A＝∠C

D．BC∥AD知4－练B5如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是(

)①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③知4－练C6下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(

)

A．AB∥CD，AD∥BC

B．∠A＝∠C，∠B＝∠DC．AB＝CD，AD＝BC

D．AB∥CD，AD＝BC知4－练D

平行四边形的判定方法:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．1知识小结第十八章

平行四边形18.1平行四边形第4课时

三角形的中位线1课堂讲解三角形的中位线性质三角形中位线在四边形中的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业温故知新平行四边形的判定边角对角线两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形1知识点三角形中位线的性质知1－导探究思考请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．DE定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．知1－导观察猜想

在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系?DE和边BC关系数量关系：位置关系：ABCDEDE//BCDE＝BC知1－导如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点.求证：DE//BC，DE=BC.本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后，可以将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等.又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明.分析：知1－导如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，CFDA.∴CFBD.∴四边形DBCF是平行四边形，DF

BC.又DE=DF，∴

DE//BC，且DE=BC.∥＝∥＝∥＝证明：归纳知1－导（来自《教材》）

通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的

第三边，并且等于第三边的一半；

数学表达式：如图，∵AD＝BD，AE＝EC，∴DE∥BC，且DE＝

BC.知1－讲例1如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是

．知1－讲利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．11分析：知1－讲∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．解：总

结知1－讲

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．知1－讲例2如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线

上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD

于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线．导引：知1－讲∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，

且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点．又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.证明：总

结知1－讲

证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理．1如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？知1－练（来自《教材》）可画出3个平行四边形，根据三角形的中位线定理可得平行四边形有：▱BDFE，▱DFCE，▱ADEF.解：2如图，直线l1∥l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.

AB和CD有什么关系？为什么？知1－练（来自《教材》）AB＝CD且AB∥CD.因为l1∥l2，所以AD∥BC，又因为AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以AB＝CD，且AB∥CD.解：3如图，A，B两点被池