初中数学人教版九年级上册第二十四章圆单元复习 公开课奖

4-9切线的性质和判定人教九上一.学习目标1．判断一条直线是否是圆的切线；2．会过圆上一点画圆的切线；3．能运用圆的切线的判定和性质解决问题．二.知识回顾1．直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．用图表表示如下：直线与圆的位置关系相交相切相离图形rdABO·rdABO·AlrdO·AlrdO·dlO·rdlO·r公共点的个数210公共点的名称交点切点无圆心到直线距离d与半径d＜rd＝rd＞r三.新知讲解1．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判断一条直线是圆的切线，你知道有多少种方法？（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．（2）当d=r时直线是圆的切线．（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直径经过圆心．四.典例探究1．证明某直线是圆的切线【例1】（2008年黄冈市）如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线．DDECAOB总结：切线判定的情况有：（1）如果可以证明直线与圆有唯一德尔公共点，则该直线与圆相切。（2）如果图形中没有给出直线和圆的公共点，那么需先过圆心作该直线的垂线，然后证明垂足到圆心的距离等于这个圆的半径.（3）如果图形中给出了直线和圆的公共点，那么可先作过这个点的半径，再证明此半径与这条直线垂直．综上所述，证明切线的一般方法可简单表述为：=1\*GB3①确定唯一公共点，证切线；=2\*GB3②无交点，作垂直，证半径；=3\*GB3③有交点，连半径，证垂直。练1（2009年黔东南州）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切与点D，求证：AC与⊙Ｏ相切．2．已知圆的切线求线段长【例2】（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=cm时，BC与⊙A相切．总结：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直，即“连半径，得垂直”。由切线的性质可构造一个直角，再结合勾股定理或全等三角形等可求得线段长。练2（2015•通州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．3．切线的性质和判定的综合应用【例3】（2015•杭州模拟）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠AMN=60°，则下列结论不正确的是（）A．l1和l2的距离为2B．当MN与⊙O相切时，AM=C．MN=D．当∠MON=90°时，MN与⊙O相切练3（2015•湖北模拟）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个五.课后小测一.选择题（共9小题）1．（2007•上海校级模拟）下列命题中，假命题是（）A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2．（2015•黔西南州）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）A．150°B．130°C．155°D．135°3．（2015•内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°4．（2015•枣庄）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（）A．4cmB．3cmC．2cmD．5．（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°6．（2015•台湾）如图，AB切圆O1于B点，AC切圆O2于C点，BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点．若∠BO1D=40°，∠CO2E=60°，则∠A的度数为何？（）A．100B．120C．130D．1407．（2015•滦平县二模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或88．（2012秋•汉阳区期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC相切；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．以上判断正确的个数有（）A．1B．2C．3D．49．（2015•河北模拟）如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA=AP．甲、乙两人想作一条通过点P与⊙O相切的直线，其作法如下．甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．乙：过点A作直线MN⊥OP：以点O为圆心，OP为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．两人都正确D．两人都错误二.填空题（共4小题）10．（2014秋•东台市月考）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．11．（2013•沈阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是．（不添加其他字母和线条）12．（2012•湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．13．（2015•苏州校级二模）如图，直角坐标系中，点A（3，0）、B（0，4）分别位于x轴和y轴上，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB=60°，在y轴正半轴上有一点M，以M为圆心，MO为半径作⊙M与BA相切，若保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移个单位，⊙M与BC相切．三.解答题（共3小题）14．（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．15．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③．（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．16．（2015•梅州）如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

典例探究答案：例1．【分析】由点D在⊙O上，连接OD,因此OD是⊙O的半径，要证明DE是⊙O的切线，只需证明OD⊥DE.【证明】连接OD.可知OD＝OB，∴∠Ｂ＝∠BDO．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠BDO＝∠Ｃ.∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE是⊙Ｏ的切线．练1．【分析】此题没说明AC与⊙O是否有交点，所以过圆心作直线的垂线段OE，然后再说明OE的长度等于半径长即可.【证明】连接OD，过点O作OE⊥AC于点E．∵AB切⊙Ｏ于点Ｄ，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝∠OEC＝９０°又∵点O是BC的中点，∴OB＝OC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．【点评】在判别一条直线是圆的切线时，可能遇到两种情形，一种是已知直线过圆上一点，另一种不知直线与圆是否有交点.针对不同的情形，要作恰当的辅助线进行证明．例2．【考点】切线的判定．【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案是：6．【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．练2．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．例3．【考点】切线的判定与性质．【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．【解答】解：连结OA、OB，如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、O、B共线，∴AB为⊙O的直径，∴l1和l2的距离为2；作NH⊥AM于H，如图1，则MN=AB=2，∵∠AMN=60°，∴sin60°=，∴MN==；当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，当MN在AB右侧时，AM=，∴AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，∵OA=OB，∴Rt△OAF≌Rt△OBN，∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN为⊙O的切线．故选B．【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．练3．【考点】切线的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，即可得到∠ABC=∠ABD，弧AC=弧AD．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选C．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．课后小测答案：一.选择题（共9小题）1．【考点】切线的判定与性质；命题与定理．【专题】推理填空题．【分析】根据切线的定义和性质进行解答（要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线）．【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；故选A．【点评】本题考查了切线的判定与性质、命题与定理．注意，切线与圆有且只有一个公共点，所以经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=50°，∴∠AOB=130°．故选B．【点评】此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．3．【考点】切线的性质．【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．【解答】解：连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．4．【考点】切线的性质；等边三角形的性质．【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，∴△ABC的高为2cm，∴OC=cm，又∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=cm，即CE=2FC=3cm．故选B．【点评】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题目不是太难，属于基础性题目．5．【考点】切线的性质；正多边形和圆．【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．【解答】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．6．【考点】切线的性质．【分析】由AB切圆O1于B点，AC切圆O2于C点，得到∠ABO1=∠ACO2=90°，由等腰三角形的性质得到∴∠O1BD=70°，∠O2CE=60°，根据三角形的内角和求得．【解答】解：∵AB切圆O1于B点，AC切圆O2于C点，∴∠ABO1=∠ACO2=90°，∵O1D=O1B，O2E=O2C，∴∠O1BD=∠O1DB==70°，∠O2CE=∠O2EC=（180°﹣60°）=60°，∴∠ABC=20°，∠ACB=30°，∴∠A=130°，故选C．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．7．【考点】切线的判定与性质．【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．【解答】解：①由题意CD与圆P1相切于点E，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2=6+2=8cm，∴圆P到达圆P2需要时间为：8÷1=8（秒），综上可知：⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒钟，故选：D．【点评】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得．8．【考点】切线的判定与性质；梯形．【分析】①作AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行线EF，则EF是梯形ABCD的中位线，然后证明△DCE≌△GCE，根据切线的判定定理即可判断；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E是AD的中点，设圆与BC相切与点G，则连接EG，可以利用全等三角形的性质证得AB+CD=BC，然后取BC的中点F，中位线EF就是以BC为直径的圆的圆心到AD的垂线段，根据切线的判定定理即可证得；③需要条件∠A=90°．④由面积法，可得以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．【解答】解：①作AD的中点E，作EG⊥BC于点G，过E作AB的平行线EF，则EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AB+CD）=BC=CF，∴∠CEF=∠ECF，∵EF∥CD，∴∠DCE=∠CEF，∵在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（AAS），∴EG=DE=AD，则以AD为直径的圆与BC相切．故命题正确；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，设以AD为直径的圆的圆心是E，则E是AD的中点，设圆与BC相切与点G，则连接EG，则EG⊥BC，且EG=ED．∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，，∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），∴CG=CD，同理，BG=AB，∴AB+CD=BC，取BC的中点，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AB+CD）=BC，又∵若∠A=90°，则EF⊥AD，∴以BC为直径的圆也与AD相切．故②正确；③需要∠A=90°，故错误．④由面积法，可得以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．正确．故正确的是：①②④．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，梯形的中位线的性质，正确作出辅助线是关键．9．【考点】切线的判定；作图—复杂作图．【专题】证明题．【分析】对于甲的作法，连结OB，如图1，先判断OP为⊙A的直径，再根据圆周角定理得到∠OBP=90°，于是根据切线的判定定理得到PB为⊙O的切线；对于乙的作法：如图2，通过证明△OAB≌△OCP得到∠OAB=∠OCP=90°，于是根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线．【解答】解：对于甲的作法：连结OB，如图1，∵OA=AP，∴OP为⊙A的直径，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线，所以甲的说法正确；对于乙的作法：如图2，∵MN⊥OP，∴∠OAB=90°，∵OA=AP，OB=OP，∴OB=OP，在△OAB和OCP中，∴△OAB≌△OCP，∴∠OAB=∠OCP=90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线，所以乙的说法正确．故选C．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了作图﹣复杂作图．二.填空题（共4小题）10．【考点】切线的判定．【专题】证明题．【分析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．【解答】证明：∵PC=BC，∴∠CPB=∠CBP，而∠APO=∠CPB，∴∠CBP=∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，而OA=OB，∴∠A=∠ABO，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．11．【考点】切线的判定．【专题】开放型．【分析】根据切线的判定方法知，能使BD成为切线的条件就是能使OD垂直于DE的条件，从所有的条件中找到一个即可．【解答】解：连接OD，当DE与圆相切时，ED⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∵AO=BO，∴D是BC的中点．故答案为：D是BC的中点．【点评】本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．12．【考点】切线的判定．【专题】开放型．【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切，∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：∠ABC=90°．【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．13．【考点】切线的判定；坐标与图形性质；坐标与图形变化-平移．【专题】计算题．【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，作MD⊥AB于D，设⊙M的半径为R，则OM=r，BM=4﹣r，根据切线的性质得MD=r，通过证明△BMD∽△BAO得到=，可求出解得r=，即OM=，接着在Rt△BOC中，利用∠BCO的正切可求出OC=，将⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′与BC相切，如图，作M′E⊥x轴于E，M′F⊥BC于F，连结CM′，易得四边形OMM′E为矩形，则MM′=OE，M′E=OM=，根据切线长定理得到∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，利用∠ECM′得正切可计算出CE=，则OE=CE﹣OC=，所以MM′=，即保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移个单位，⊙M与BC相切．【解答】解：在Rt△OAB中，∵OA=3，OB=4，∴AB==5，作MD⊥AB于D，设⊙M的半径为R，则OM=r，BM=4﹣r∵以M为圆心，MO为半径作⊙M与BA相切，∴MD=r，∵∠MBD=∠ABO，∴△BMD∽△BAO，∴=，即=，解得r=，即OM=，在Rt△BOC中，∵tan∠BCO=，∴OC==，将⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′与BC相切，如图，作M′E⊥x轴于E，M′F⊥BC于F，连结CM′，则四边形OMM′E为矩形，MM′=OE，M′E=OM=，∵CA和CB都与⊙M′相切，∴M′C平分∠ECF，∴∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，∵tan∠ECM′=，∴CE==，∴OE=CE﹣OC=﹣=，∴MM′=，即保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移个单位，⊙M与BC相切．故答案为．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．三.解答题（共3小题）14．【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【解答】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角