充分条件和必要条件教案（Word版）

《充分条件与必要条件》教学设计教学目标教学目标1．通过研究实例抽象出充分条件与必要条件的概念，能利用充分条件与必要条件对具体的例子进行分析和表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系，进一步理解充分条件、必要条件，能进行充分条件、必要条件的判断与应用，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．教学重难点教学重难点教学重点：充分条件、必要条件的意义；教学难点：必要条件的意义．课前准备课前准备PPT课件教学过程教学过程（一）整体概览问题1：阅读课本第17页第一段，回答下列问题：（1）本节将要研究哪些内容？（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法．师生活动：学生独立思考，回答问题，生生、师生之间互相订正和补充．预设的答案：对于问题1（1），学生应该能够完整地回答出：本节将要研究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件．对于问题1（2）和（3）估计学生会感到棘手．由教师讲解．（2）三个常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言．（3）新概念的学习过程：具体实例——定义——表示——辨析——应用猜想：具体实例——什么是充分条件、必要条件和充要条件？——如何表示？——如何判断？——如何应用？设计意图：通过阅读，首先让学生对本节的研究内容、研究过程有个概览，提高学生学习的系统性；明确三种常用逻辑用语学习的必要性；通过类比所学知识，猜想新知识的研究思路和过程，有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写成“若p，则q”的形式．师生活动：根据学生列举的例子，教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识：命题的概念、命题真假及其判断等，并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式是：“若p，则q”，通过改写列举的命题，认识条件和结论．设计意图：复习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念，认识命题的条件和结论，为后续学习做好铺垫．引语：本节我们主要讨论“若p，则q”这种形式的命题，并进一步考察命题中p和q的关系，学习数学中的一些常用的逻辑用语．（三）新知探究1．形成概念问题3：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则x=1；（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b．师生活动：学生判断命题（1）—（4）的真假，并得到命题（1）（4）为真命题，命题（2）（3）为假命题．教师追问，引导学生将具体结论一般化．追问1：关于命题（1）和命题（4），由条件p通过推理可以得到结论q，所以它们是真命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理可以得到q，那么这个命题为真命题吗？反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？追问2：关于命题（2）和命题（3），由条件p通过推理不能得到结论q，所以它们是假命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理不能得到q，那么这个命题为假命题吗？反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？教师引导学生梳理讨论的结果，由教师讲解或者学生阅读课本获得定义：一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件（sufficientcondition），q是p的必要条件（necessarycondition）．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．设计意图：从学生熟悉的命题出发，在判断“若p，则q”形式命题真假的基础上，明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系，从而形成充分条件和必要条件的定义．3．辨析概念问题4：根据定义，在上述命题（1）—（4）中，p是否为q的充分条件？q是否为p的必要条件？为什么？师生活动：学生可以解决这个问题．答案略．追问1：判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方法是什么？师生活动：学生独立思考，展示交流，给出总结及解释．预设的答案：判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义．具体方法是：命题法：判断命题“若p，则q”的真假．设计意图：利用定义解决问题，形成方法．追问2：对于命题（1）满足，那么若q不成立，p成立吗？请你解释．对于命题（4）呢？一般地，当时，那么若q不成立，p成立吗？你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件？师生活动：学生独立思考，展示交流．预设的答案：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．设计意图：通过对具体例子的辨析，学会判断充分条件和必要条件的方法；借助具体例子，明确充分条件和必要条件的含义，突破理解必要条件这一难点．例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则为无理数．追问1：判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？（答案略．）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．预设的答案：解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件．（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件．（3）这是一条菱形的判定定理，，所以p是q的充分条件．（4）由于，但，pq，所以p不是q的充分条件．（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件．（6）为无理数，但为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．（4）除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件．对于命题“若p，则q”，集合，集合，若，则p是q的充分条件．解：方程的解集为，而，所以p不是q的充分条件．追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件．预设的答案：①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．……追问3：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？（答案：数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．）设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假来判定充分条件的方法，同时了解利用集合关系判断充分条件的方法，比如（4）；二是通过典型的数学命题，理解数学中的判定定理和充分条件的关系，进一步深化对充分条件的理解．例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则为无理数．追问1：类比例1如何完成例2？（答案略．）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．预设的答案：解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以q是p的必要条件．（2）这是相似三角形的一条性质定理，，所以q是p的必要条件．（3）对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以q不是p的必要条件．（4）显然，，所以q是p的必要条件．（5）当c=0，结论不成立，pq，所以q不是p的必要条件．（6）为无理数，但不全是有理数，pq，所以q不是p的必要条件．追问：类比例1，你能用集合法解答（4）吗？用集合关系来判断必要条件．对于命题“若p，则q”，集合，集合，若，则q是p的必要条件．解：方程的解集为，而，所以q是p的必要条件．追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的必要条件．预设的答案：①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分；③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行．……追问3：根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？（答案：数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．）设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假判定必要条件的方法，同时了解利用集合关系判断必要条件的方法，比如（4）；二是通过典型的数学命题，理解数学中的性质定理和必要条件的关系，进一步深化对必要条件的理解．3．应用概念例3已知，p：，q：．围；（2）围．追问：对于（1），根据充分条件的定义，两个条件与对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？师生活动：学生独立思考，然后讨论交流，形成（1）的解题思路．然后学生独立写出（1）的解答过程，并类比（1）完成（2）的解答，展示交流，教师帮助学生规范过程．预设的答案：因为是的充分条件，所以条件对应的数集中的每个元素都应该在条件对应的数集中，所以，从而将问题转化为已知集合关系求参数范围．解：（1）因为pq因为pq（四）归纳小结布置作业问题5：本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必要条件的含义分别是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些？充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？对照问题1中给出的研究内容和思路，你有没有需要补充的内容？师生活动：师生一起总结．预设的答案：充分条件和必要条件的含义：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或必要条件的方法：命题法和集合法．（1）命题法：判断命题“若p，则q”的真假，若其为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若其为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．（2）集合法：集合，集合，若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．研究内容及思路：在大量实例感知的基础上，抽象出充分条件、必要条件的概念；然后依据定义寻找判断充分条件、必要条件的方法；并利用新知重新认识以前的一些知识（判定定理、性质定理）．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充分条件、必要条件的含义以及它们在数学中的地位，同时进一步梳理它们的研究思路．作业布置：教科书第20页练习第1，2，3题．（五）目标检测设计1．下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？哪些命题中的是的必要条件？（1）若，则；（2）若，则；（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（4）若，则集合中至少有一个为空集．设计意图：考查充分条件与必要条件的判断方法．2．（1）设，则的一个必要条件是（）A．