《走向清华北大》高考总复习 函数与方程课件

第十二讲函数与方程回归课本1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二分法(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.2)求区间(a,b)的中点x1.3)计算f(x1),a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;b.若f(a)f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1));c.若f(x1)f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)).4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复2)~4).考点陪练1.(2010·天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是

( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.答案:C2.(2010·江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是

( )A.(1,2) B.(3,4)C.(5,6) D.(6,7)解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log46-1>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,故选C.答案:C解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内f(x)无零点,A错误;又f(3)=ln3- 0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点.答案:B4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围围是()A.a<1 B.a>1C.a≤1 D.a≥1解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小小于0可得a>1.答案:B5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些些连续整数数之间没有有根( )A.-2与-1之间B.-1与0之间C.0与1之间D.1与2之间解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题题意.答案:C类型一函函数零点存存在性的判判断与方法法解题准备:函数零点个个数的判定定有下列几几种方法:(1)直接求零点点:令f(x)=0,如果能求出出解,则有几个解解就有几个个零点.(2)零点存在性性定理:利用该定理理不仅要求求函数在[a,b]上是连续的的曲线,且f(a)•f(b)<0,还必须结合合函数的图图象和性质质(如单调性)才能确定函函数有多少少个零点.(3)画两个函数数图象,看其交点的的个数有几几个,其中交点的的横坐标有有几个不同同的值,就有几个不不同的零点点.【典例1】判断下列函函数在给定定区间上是是否存在零零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈∈[1,8];(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];(4)f(x)=-x,x∈∈(0,1).[解](1)∵∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点点.(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(-1)·f(2)<0,∴f(x)=x3-x-1在区间[-1,2]上存在零点点.(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点点.(4)画出f(x)=-x的图象如图图所示.由图象可知知,f(x)=-x在(0,1)内的图象与与x轴没有交点,故f(x)=-x在区间(0,1)上不存在零零点.[反思感悟]判断函数在在某个区间间上是否存存在零点,要根据具体体题目灵活活处理.当能直接求求出零点时时,就直接求出出进行判断断;当不能直接接求出时,可根据零点点存在性定定理;当用零点存存在性定理理也无法判判断时可画画出图象判判断.类型二二二分法求方方程的近似似解解题准备:1.用二分法求求函数的零零点时,最好是利用用表格,将计算过程程所得到各各个区间､中点坐标､区间中点的的函数值等等置于表格格中,可清楚地表表示出逐步步缩小零点点所在区间间的过程,有时也可利利用数轴来来表示这一一过程;2.在确定方程程近似解所所在的区间间时,转化为求方方程对应函函数的零点点所在的区区间,找出的区间间[a,b]长度尽可能能小,且满足f(a)•f(b)<0.【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正正数的零点点(误差不超过过0.1).[分析]由于要求的的是函数的的一个正数数零点,因此可以考考虑确定一一个包含正正数的闭区区间[m,n],且f(m)·f(n)<0,如计算出f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取区区间[1,2]作为计算的的初始区间间(当然选取(0,2)也是可以的的).[解]∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,∴存在x∈(1,2),使f(x)=0.用二分法逐逐次计算,列表如下:∵最后一个区区间端点精精确到0.1的近似值都都是1.7,∴所求的正数数零点是1.7.[反思感悟]用二分法求求函数零点点的近似值值,首先要选好好计算的初初始区间,这个区间既既要包含所所求的根,又要使其长长度尽量小小;其次要依据据给定的精精确度,及时检验所所得区间的的端点的近近似值(精确到给定定的精确度度)是否相等,以决定是停停止计算还还是继续计计算.类型三函函数零点的的应用解题准备:由于函数的的零点与函函数的图象象以及相应应方程的根根都有密切切的关系,因此我们通通过研究函函数的零点点问题,可讨论方程程根的分布布问题,解不等式,也可以作出出相应的函函数的图象象,讨论函数的的性质.我们在解决决有关问题题时,一定要充分分利用这三三者的关系系,观察､分析函数的的图象,找函数的零零点,判断各区间间上函数值值的符号,使问题得以以解决.【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围围;(2)确定m的取值范围围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异异实根.[分析](1)g(x)=m有零点,可以分离参参数转化为为求函数最最值.(2)利用图象求求解.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.∴其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两两个交点.必须有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1.即g(x)-f(x)=0有两个相异异实根.∴m的取值范围围是(-e2+2e+1,+∞).[反思感悟]在解答有关关函数零点点的综合问问题时,常利用方程程思想或利利用函数构构造法,并结合数形形结合的思思想来解决决此类问题题.错源一函函数零点定定理使用不不当致误【典例1】函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一一个正实数数的零点,则实数m的取值范围围是()A.(-∞∞,1]B.(-∞,0]∪{1}C.(-∞∞,0)∪∪{1}D.(-∞,1)[剖析]解本题易出出现的错误误是分类讨讨论片面､函数零点定定理使用不不当.如忽视了对对m=0的讨论,这样就会出出现误选C的错误.[正解]当m=0时,x=为函数的零零点;当m≠0时,若Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一一的零点,若Δ≠0,显然x=0不是函数的的零点,这样函数有有且仅有一一个正实数数零点等价价于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一个正根根一个负根根,即mf(0)<0,即m<0.故选B.[答案]B[评析]函数的零点点定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是是一条连续续的曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根,我们称这个个结论为函函数的零点点定理.函数的零点点有“变号零点”和“不变号零点点”,如本题中的的x=1就是函数的的“不变号零点点”,对于“不变号零点点”,函数的零点点定理是“无能为力”的,在解决函数数的零点问问题时要注注意这个问问题.错源二“极值点”与“零点”关联不清【典例2】若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点点,则实数a的取值范围是是()A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-1)D.(1,+∞)[错解]由题意知方程程x3-3x+a=0有3个根,∴a的取值范围为为(1,+∞),故选D.[剖析]本题的错误在在于不能将函函数零点问题题与导数的应应用联系起来来求解,不能从极值的的角度分析函函数的图象,因此找不到解解题的突破口口.[正解]函数f(x)有3个不同的零点点,即其图象与x轴有3个不同的交点点,因此只需f(x)的极大值与极极小值异号即即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±1,故极值为f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2,所以应有(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2),选A.[答案]A技法 确定方方程根的个数数的三种方法法一､利用函数的周周期性【典例1】设函数f(x)在(-∞,+∞∞)上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数数,并证明你的结结论.[解题切入点]对于(1)可用特殊化策策略求解,对于(2)可据条件首先先求出函数的的周期,利用其周期适适当分段结合合题设条件确确定.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两根,从而可知y=f(x)在[0,2000]上有400个根,在[2000,2005]上有两根,在[-2000,0]上有400个根,在[-2005,-2000]上没有根,所以函数y=f(x)在[-2005,2005]上有802个根.[答案]C[方法与技巧]如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间间断,并且有f(a)•f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点