第三章 GIS的地理数学基础

第三章GIS的地理数学基础北京林业大学王秀兰2004年9月1、地理基础是地理信息数据表示格式与规范的重要组成部分。2、主要包括：

（1）统一的地图投影系统

（2）统一的地理网格坐标系统

（3）统一的地理编码系统，第三章GIS的地理数学基础第一节地理空间坐标系1、GIS的研究对象是具有空间内涵的地理数据。地理数据与其位置的识别联系在一起，它是通过公共的地理基础——统一的空间参考系统来实现。2、空间参照系统是指确定空间目标平面位置和高程的平面坐标和高程系，这两个系统均与地球椭球面有关。3、理论和实践证明，大地水准面与具有微小扁率的旋转椭球面非常接近，可用来代表地球形状，故又名地球椭球面。

4、坐标系：(1)地理坐标系：纬度，经度，(2)平面坐标系：平面极坐标系，平面直角坐标系

第二节我国的大地坐标系1、1949年以后，我国采用了两种不同的大地坐 标系：（1）1954年北京坐标系

（2）80国家大地坐标系，它们均属参心大地坐标系。2、不同的参考椭球确定不同的参心坐标系。3、相同的地球椭球元素，但定位和定向不同， 也将构成不同的参心坐标系。54坐标系我国1954年完成了北京天文原点的测定工作，建立了1954年北京坐标系。1954年北京坐标系是原苏联1942年普尔科沃坐标系在我国的延伸，但略有不同，其要点是：采用克拉索夫斯基椭球参数（6878245m，f=1：298.3）；多点定位；εx=εy=εz；；大地原点是原苏联的普尔科沃；大地点高程是以1954年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准；80坐标系由于1954年北京坐标系（简称54坐标系）存在许多缺点和问题，1980年我国建立了新的大地坐标系（简称80坐标系），其要点是：采用既含几何参数又含物理参数的四个椭球基本参数。数值采用1975年国际大地测量学联合会（IUG）第16届大会上的推荐值，其结果是：地球长半轴=6378140m地心引力常数fM=3.986005×1014m3/s2地球重力场二阶带谐数Ｊ２＝1.08263×10–8地球自转角速度ω＝7.292115×10–5rad/s。80坐标系（续）多点定位。在我国按10×10间隔，均匀选取922个点组成弧度测量方程，定向明确。地球椭球的短轴平行于地球质心指向1968.0地极原点(JYD)的方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面，ωx＝ωy＝ωz

＝0；大地原点定在我国中部地区的陕西省泾阳县永乐镇，简称西安原点；大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准。第三节地图投影1、投影：建立两个点集之间的一一对应的映射关系。2、将椭球面上各点的大地坐标按照一定的数学法则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，通常称为地图投影。

x=F1(L,B)、y=F2(L,B)

式中（L，B）是椭球面上某一点的大地坐标，而（x,y）是该点投影平面上的直角坐标。

3、地图投影的分类1）根据投影面极其与球面相关位置的分类正轴圆柱方位圆锥斜轴横轴2）根据投影变形性质的分类等角投影:保证投影后的由任意两条微分线段构成的角度 不产生变形，使得投影前后的形状保持不变。等面积投影：保证投影前后的面积保持不变。任意投影：它既不保持角度不变，又不保持面积不变, 同时存在长度、角度、面积的变形。4、地图投影与GIS的关系

数据获取（数据源地图的投影）

数据标准化预处理（按照某一参照系数字化）

数据存储（统一的坐标存储）

数据处理（投影转换）

数据应用（检索查询、覆盖分析等）

数据输出（具有相应投影的地图）

地理基础（地图投影）5、GIS中地图投影的选择各国家的GIS所采用的投影系统与该国的基本地形图系列所采用的投影系统一致。各比例尺的GIS中的投影系统与其相应比例尺的主要信息源地图所用的投影一致。各地区的GIS中的投影系统与其所在区域使用的投影系统一致。各种GIS一般以一种或两种（至多三种）投影系统为其投影系统，以保证地理定位框架的统一。（1）各种GIS中投影坐标系统的配置具有以下的一般特征：（2）地理信息系统中地图投影配置的一般原则：所配置的投影系统与相应比例尺的国家基本图（基本比例尺地图、基本省区图、国家大地图集）投影系统一致。系统一般只考虑至多采用两种投影系统，一种服务于大比例尺的数据处理与输入输出，另一种服务于中小比例尺。所用投影以等角投影为宜。所用投影应能与网格坐标系统相适应，即所采用的网格系统（特别是一级网格）在投影带中应保持完整。（3）我国地理信息系统中常用的地图投影的配置我国基本比例尺地形图（1：100万、1：50万、1：25万、1：10万、1：5万、1：2.5万、1：1万、1：5000）除1：100万以外均采用高斯-克吕格投影为地理基础；1：100万地形图采用Lambert投影，其分幅原则与国际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影保持一致。我国大部份省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影（正轴等面积割圆锥投影）；Lambert投影中，地球表面上两点间的最短距离（即大圆航线）表现为近于直线，这有利于GIS中的空间分析和信息量度的正确实施。高斯——克吕格投影1、它是一种横轴等角切圆柱投影。2、高斯投影的条件：

中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴；

等角投影；

中央经线上没有投影变形；3、高斯投影变形具有以下的特点：中央经线上没有变形同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大同一条经线上，纬度越低，变形越大

4、高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带的方法，每隔3°或6°的经差划分为互不重叠的投影带。1：2.5万至1：50万的地形图采用6°分带方案。从格林尼治0°经线开始，全球共分为60个投影带。我国位于东经72°到136°之间，共11个投影带（13-22带）。1：1万以及更大比例尺地图采用3°分带方案。自1952年起，我国将其作为国家大地测量和地形图的基本投影，亦称为主投影。

5、国家坐标系和独立坐标系的变换

由于地球半径很大，在较小区域内进行测量工作可将地球椭球面作为平面看待，而不失其严密性。既然把投影基准面作为平面，就可采用平面直角坐标系表示地面点的投影面上的位置。（a）测量平面直角坐标系（b）数学平面直角坐标系

为不使坐标系出现负值，它通常将某测区的坐标原点设在测区西南角某点，以真北方向或主要建筑物主轴线为纵轴方向，而以垂直于纵坐标轴的直线定为横坐标轴，构成平面直角坐标系；也可假设测区中某点的坐标值，以该点到另一点方位角作为推算其它各点的起算数据，实际上也构成了一个平面直角坐标系。上述平面直角坐标系的原点和纵轴方向选定了的值常用于小型测区的测量，它不与国家统一坐标系相连，因此称为任意坐标系或独立坐标系。我国大部分城市均采用独立坐标系，如广州市采用珠江高程和平面坐标系等。按高斯投影统一分带（60带，30带）建立的直角坐标系，称为国家平面直角坐标系。在建立地理信息系统时，往往需要将独立坐标系转换成国家平面直角坐标系。在进行转换时，先将独立坐标系的原点或独立坐标系的某一固定点与国家大地点连测，并按计算出的方位角进行改正，求出该点的国家统一坐标，然后对所有数据进行平移和旋转，以便把按独立坐标系所采集的数据转换到国家平面直角坐标系中。在城市和工程测量中，也可采用1.50带或任意带的高斯平面坐标系，以提高投影的精度。

第四节地理格网1、按一定的数学规则对地球表面进行划分形成地理格网，可以用于表示呈面状分布、以格网作为统计单元的地理信息。2、通过对地理格网划分及编码规则的深入分析研究，规定我国城市地理信息系统采用三种地理格网系统：40×

60格网系统直角坐标格网系统自行设计

40×

60格网系统

以纬度40和经度60进行划分而构成的多级地理格网系统，主要适用于表示陆地与近海地区全国或省（区）范围内各种地理信息等。它的分级如下：格网等级1234567899格网单元边长30″15″7..5″3″1.5″0.75″0.3″0.15″5″比例尺1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千1:20万

将地球表面按数学法则投影到平面上，再按一定的纵横坐标间距和统一的坐标原点对其进行划分而构成的多级地理格网系统。主要适用于表示陆地和近海地区为工作规划、设计、施工等应用需要的地理信息。它的分级如下：

直角坐标格网系统*直角坐标格网的比例尺与格网等级不是唯一对应的，一种比例尺对应两种格网等级，用户可根据需要选择一种。

格网等级12345678999格网边长(m)100050025010050251052.5200100比例尺1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千1:20万

在地理信息系统中，还需要用到1:2000、1:1000和1:500的地形图，在国家标准中未规定它们的格网等级和格网单元边长，可根据实际需要自行设计（一般为2.5m、2m、1m或0.5m的格网）。自行设计的格网系统

6、上述三种地理格网均按地球象限、经纬度或直角坐标进行划分，具有严格的数学基础，因此它们之间可以相互转换。三种格网的分级各呈一定的层次关系，构成完整的系列，便于组成地区的、国家的或全球的格网体系。在建立城市地理信息系统时，通常采用直角坐标格网系统。它具有实地格网大小相等，便于将大比例尺解析测图仪生产作业的数据作为信息系统的数据源和便于同卫星图像、DTM数据重叠匹配等优点。但采用高斯投影时，在分带边缘会产生许多不完整的网格，难以将分带计算产生的网格拚接在一个坐标系中。因此，若一个城市区域跨带时需先进行换带计算，使整个城市纳入一个投影带，然后再建立地理格网。

空间点的高程是以大地水准面为基准来建立的。我国曾规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面，作为我国统一的高程基准。凡由该基准面起算的高程在工程和地形测量中均属于1956年黄海高程系。从1985年起，我国开始改用“1985年国家高程基准”，凡由该基准起算的高程在工程和地形测量中均属于1985年黄海高程系统。1985年国家高程基准与1956年国家高程基准之水准点间的转换关系为：H85=H56–0.029m式中H85，H56分别表示新旧高程基准水准原点的正常高。第五节高程系统在建立地理信息系统时，若需采用不同高程基准的地形图或工程图作为基准数据时，应将高程系统全部统一到1985年国家高程基准上。在缺少基本高程控制网的地区，不仅可建立独立平面直角坐标系，也可建立局部高程系统。凡不按1956年黄海平均海水面或1985年国家高程基准作为高程起算数据的高程系统均称为局部高程系统。设局部高程系统的高程原点起算数据为H局，与国家高程控制网联测的高程原点高程为H联，高程原点的高程改正值为ΔH，则：ΔH=H局

－

H联

原点在地球质心；

Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极（CTP）方向；

X轴指向BIH1984.0的零子午面和CTP 赤道交点；

Y轴与Z轴，X轴构成右手坐标系。第八节WGS-84地心坐标系统及其与国家坐标系的转换1、WGS-84是美国国防部研制确定的，其几何定义为：