第09章梁的应力

第九章梁的应力9-1平面弯曲的概念及实例9-2梁的正应力9-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式9-4梁的切应力（可删去）9-5梁的强度条件9-6提高梁弯曲强度的主要途径9-1平面弯曲的概念及实例1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线由直线变成曲线的变形。纵向对称平面、平面弯曲

工程上常见的梁，其横截面都具有一根对称轴y。纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成的平面。平面弯曲：梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯曲。9-2梁的正应力纯弯曲梁段：CD段横力弯曲梁段：AC、BD段9-2-1纯弯曲时的变形现象与假设梁横截面上的变形规律：（2）在变形前，与梁轴线垂直的横向直线m-m和n-n变形后仍保持为直线，且仍与弯曲后的梁轴线保持垂直。

（1）纵向线a-a和b-b，由直线弯曲为曲线。-内凹一侧的纵向线bb缩短，-外凸一侧的纵向线aa伸长。中性层既不伸长也不缩短。

纯弯曲直梁的受力变形的两个假设：（1）平面假设：认为梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线保持垂直。（2）单向受力假设(纤维互不挤压假设)：认为梁的各纵向纤维之间没有因纯弯曲而引起相互挤压作用，则横截面上各点处的纵向线段均处于单向应力状态。9-2-2正应力公式推导综合考虑：几何关系

物理关系静力学&几何方面r——中性层处曲率半径微段梁dx上a-a处沿轴线x方向应变为（1）式表明，梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤维距中性层的距离y成正比。

——曲率

&物理方面该式表明，梁横截面上任一点的正应力与该点距中性轴的距离y成正比，而且距中性轴等远处的各点正应力相等。

若纯弯曲梁内的应力不超过材料的比例极限，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同时,由胡克定律，即得&静力学方面因为即得到中性轴(Z轴)，过形心。结合物理方程：等直梁在纯弯曲条件下横截面上任一点正应力公式为:

—为梁的横截面对中性轴的惯性矩；

—为梁的抗弯刚度。

sx的符号确定方法：

(1)将弯矩M和坐标y的正负号同时代入；(2)以中性层为界，变形后梁凸出边的应力必为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。

（2）对于细长梁即

，横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在5％以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力,下式亦适用（1）上式虽由矩形截面梁导出，但也适用于所有截面形状对称于y轴的梁，如工字形、T字形、圆形截面梁等例如图（a）所示的简支梁为56a号工字型钢，截面简化尺寸如图（b）所示。若梁上作用有集中力P＝125kN，试求：

（1）不计自重，该梁危险截面上的最大正应力；

（2）不计自重，该梁危险截面上翼缘与腹板交界处a点正应力。解（1）首先不考虑梁自重，作出梁的弯矩（c）

危险截面应在梁段CD中任一截面。利用型钢表，可查得56a号工字钢的截面几何性质：

危险截面上的最大正应力（2）危险截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力9-3常用截面的惯性矩、平行移轴公式▲矩形截面的惯性矩Iz

b/2b/2Cydyzyh/2h/2根据惯性矩定义有：

a)惯性矩▲圆形截面的惯性矩Iz

dzyρyzc同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为D为空心圆截面的外径，α为内、外径的比值。&形心和静矩形心(Centroids)坐标公式：

静矩又称面积矩则有&组合截面的惯性矩计算将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、……An。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：惯性矩的组合公式

&平行移轴定理zyz0yy0dCdA（1）截面对任一轴（不通过形心）的惯性矩，等于截面对平行于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等于截面面积与两轴距离平方之积。（2）该附加项恒为正，则截面对形心轴的惯性矩最小。例计算图示T形截面的形心和过它的

形心z轴的惯性矩。解：选参考坐标系oz´y´

（2）计算截面惯性矩9-4梁的切应力（要求）一般在横力弯曲时，梁截面上既有弯矩，又有剪力。当梁的跨度很小（长高比：l/h<5)或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。就有必要考虑梁截面上的剪应力影响。

&矩形截面梁的弯曲剪应力Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距；而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距。对于矩形截面矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布；在截面的上、下边缘处(y=h/2)剪应力τ=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，是平均剪应力力的1.5倍。&工字形截面梁的弯曲剪应力腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2)，剪应力最小。剪力主要由腹板承受，弯矩主要由翼缘承受。&圆形截面梁的弯曲剪应力在中性轴上，剪应力为最大值τmax

一般公式：（b为AB弦长度）例梁截面如图所示，横截面上剪力FQ=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩Iz=8.84×10‑6m4。最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为：解：1.最大弯曲剪应力。最大弯曲剪应力：

(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力交接处的弯曲剪应力9-5梁的强度条件为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。(1)弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在单向受力时的许用应力[σ]利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。Wz：弯曲截面系数。（2）弯曲剪应力强度条件最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]例图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1=45mm和y2=95mm，惯性矩Iz=8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=140Mpa。解：（1）危险截面与危险点判断。梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。

即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max,究竟发生在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,因此|σa|>|σd|（2）强度校核。梁的弯曲强度符合要求

例悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F的最大许可值。(2)若集中荷载为45kN，确定工字钢的型号。解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：Mmax=Fl=1.2FN·mF的最大许可值为：由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为Wz=185×103mm3公式：1.2F≤(185×10-6)(170×106)(2)最大弯矩值Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N·m按强度条件计算所需抗弯截面系数为：查附录可知，22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3，所以可选用22b号工字钢。9-6提高梁弯曲强度的主要途径在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件最大正应力与M成正比，与Wz成反比。所以提高弯曲强度要从提高Wz和降低M值入手。（1）合理安排梁的受力情况(支座、荷载)(2)选用合理的截面形状如：设正方形边长为a，矩形的宽度为b，高度为h,且b/h=1/3。若两截面面积相等，即A1=A2,a2=bh.正方形截面的抗弯截面模量为矩形截面的抗弯截面模量为两者之比为：

一般地把梁的抗弯截面模量W与其横截面面积A之比作为选定合理截面形状的一个指标。在A不变的条件下，W愈大愈好。即WZ/A越大越合理。对同样矩形，有平放时：竖放时：因为h>b

，所以竖放比平放有较高的抗弯能力，更为合理。

常见截面的WZ/A值截面形状

0.167h0.125d