【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.7立体几何中的向量方法精品课件 理 北师大

§8.7立体几何中的向量方法

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.7立体几何中的向量方法双基研习•面对高考1．直线间的夹角(1)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作_________________________．(2)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90°的角叫作_________________．(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.双基研习•面对高考基础梳理异面直线l1与l2的夹角两直线的夹角〈s1，s2〉2．平面间的夹角(1)两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这__________________．(2)如图，平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两平面的夹角，它由_________确定．两个平面的夹角〈n1，n2〉θ＝____________或θ＝______________．〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉直线的方向向量平面的法向量夹角思考感悟如何求线面距离与面面距离？提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离．课前热身1．(原创题)已知两平面的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0，－1，－1)，则两平面的夹角为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°D．90°答案：A答案：A答案：B4．已知知点M(－1,1，－2)，平面面π的法向向量n＝(1，－2,2)，点Q(0,0,0)在平面面π内，则则点M到平面面π的距离离为________．考点探究•挑战高考考点突破考点一求异面直线所成的角例1(2010年高考考天津津卷)如图，，在长长方体体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是是棱BC，CC1上的点点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面面直线线EF与A1D所成角角的余余弦值值；(2)证明：：AF⊥平面面A1ED；(3)求二面面角A1-ED-F的正弦弦值．．【思路点点拨】建立适适当的的坐标标系，利利用向向量运运算求求解．．【名师点评】利用向量的的夹角来求求异面直线线的夹角时时，注意区区别：当异异面直线的的向量的夹夹角为锐角角或直角时时，就是该该异面直线线的夹角；；当异面直直线的向量量的夹角为为钝角时，，其补角才才是异面直直线的夹角角．考点二直线和平面所成的角在利用空间间向量求线线面角时，，首先求出出直线的方方向向量与与平面的法法向量的夹夹角，再通通过互余关关系来得到到相应的线线面角，但但要注意：：若平面法法向量与直直线方向向向量的夹角角为α(α可为锐角或或钝角)，则直线与与平面所成成的角θ应满足sinθ＝|cosα|.例2【思路点拨】(1)以CD的中点O为坐标原点点，OC为x轴，BO为y轴，OM为z轴建立空间间直角坐标标系，利用用空间向量量的坐标运运算求解．．【解】取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为原点，直直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空空间直角坐坐标系，如如图所示．．【名师点评】求直线与平平面的夹角角一般有两两种方法，，一是作出出线面角，，其关键是是找到直线线在平面内内的射影，，可由面面面垂直的性性质确定；；二是由向向量法求解解，但要注注意两角的的关系．变式训练1(2009年高考湖南南卷)如图，在正正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点点E在A1C1上，且DE⊥AE.(1)证明：平面面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正正弦值．解：(1)由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.考点三求二面角利用空间向向量方法求求二面角，，可以有两两种办法：：一是分别别在二面角角的两个面面内找到一一个与棱垂垂直且从垂垂足出发的的两个向量量，则这两两个向量的的夹角的大大小就是二二面角的平平面角的大大小；二是是通过平面面的法向量量来求：设设二面角的的两个面的的法向量分分别为n1和n2，则二面角角的大小等等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．例3【思路点拨】给出的图形形便于建立立空间直角角坐标系，，建系后，，利用空间间向量的坐坐标运算求求解．【解】(1)如图所示，，以A为坐标原点点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴轴，建立空空间直角坐坐标系A-xyz.【规律小结】利用向量方方法来解决决二面角问问题，关键键是求出两两个半平面面的法向量量，再求这这两个法向向量所成的的角，此时时还应注意意所求的二二面角是锐锐二面角，，还是钝二二面角．考点四利用空间向量求距离用空间向量量求点到平平面的距离离的方法步步骤是：(1)求出平面的的单位法向向量n0；(2)任取一条过过该点的该该平面的一一条斜线段段，求出其其向量坐标标n1；(3)求出n0与n1的数量积的的绝对值，，即得点到到平面的距距离d＝|n0·n1|，其中单位位法向量由由法向量除除以它的模模得到，斜斜线段可以以任取，但但必须经过过该点．例4【思路点拨】【解】(1)如图，以S为坐标原点点，射线SD，SC分别为x轴，y轴正向，建建立空间直直角坐标系系，设A(xA，yA，zA)，【规律小结结】利用向量量法求点点面距，，其步骤骤如下：：①求出该平平面的一一个法向向量；②找出过该该点的平平面的任任一条斜斜线段对对应的向向量；③求出法向向量与斜斜线段所所对应向向量的数数量积的的绝对值值再除以以法向量量的模，，即可求求出点到到平面的的距离，，如图．．方法感悟方法技巧巧1．用向量量知识证证明立体体几何问问题有两两种基本本思路：：一种是是用向量量表示几几何量，，利用向向量的运运算进行行判断；；另一种种是用向向量的坐坐标表示示几何量量，共分分三步：：(1)建立立体体图形与与空间向向量的联联系，用用空间向向量(或坐标)表示问题题中所涉涉及的点点、线、、面，把把立体几几何问题题转化为为向量问问题；(2)通过向量量运算，，研究点点、线、、面之间间的位置置关系；；(3)根据运算算结果的的几何意意义来解解释相关关问题．．2．若利用用向量求求角，各各类角都都可以转转化为向向量的夹夹角来运运算．(1)求两异面面直线a、b的夹角θ，须求出出它们的的方向向向量a，b的夹角，，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(如例1)(2)求直线l与平面α的夹角θ，可先求求出平面面α的法向量量n与直线l的方向向向量a的夹角．．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(如例2)(3)求二面角角α-l-β的大小θ，可先求求出两个个平面的的法向量量n1，n2所成的角角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．(如例3)3．求点到平面面的距离，若若用向量知识识，则离不开开以该点为端端点的平面的的斜线段．(如例4)失误防范1．用向量知识识证明立体几几何问题，仍仍然离不开立立体几何中的的定理．如要要证明线面平平行，只需要要证明平面外外的一条直线线和平面内的的一条直线平平行，即化归归为证明线线线平行，用向向量方法证直直线a∥b，只需证明向向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直直线的方向向向量与平面的的法向量垂直直来证明线面面平行，仍需需强调直线在在平面外．2．利用向量求求角，一定要要注意将向量量夹角转化为为各空间角．．因为向量夹夹角与各空间间角的定义、、范围不同．．考情分析考向瞭望•把脉高考利用向量解决决立体几何问问题是高考中中每年必考的的知识点之一一，考查重点点是利用向量量讨论平行与与垂直，以及及利用向量求求空间的角和和距离，题型型主要为解答答题，难度中中等偏高，主主要考查向量量的坐标运算算，同时考查查学生的空间间想象能力和和运算能力．．预测2012年高考仍将以以用空间向量量证明平行与与垂直，以及及求空间角为为主要考点，，重点考查空空间想象能力力和运算能力力．真题透析例【解】(1)如图，以A为坐标原点，，AB，AD，AP所在直线分别别为x，y，z轴建立空间直直角坐标系．．【名师点评】(1)本题易出错的的地方是误以以为两个平面面的法向量所所成的角等于于所求二面角角的大小，在在计算时对两两个面的法向向量和二面角角的关系判