《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)

《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳aBdt知识点1知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：LH飞+J；（此为麦克斯V・B=0.韦方程组）；在没有电荷和电流分布（p=0,J=0的情形）的自由空间（或均匀aB~dt介质）的电磁场方程为：L介质）的电磁场方程为：LH冷；（齐次的麦克斯韦方程组）V•D=0；V•B=0.知识点2：位移电流及与传导电流的区别。答：我们知道恒定电流是闭合的：V・J=0.（恒定电流）在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有VJVJ=-ap丰0.现在我们考虑电流激发磁场的规律：VxB=卩J.（@）取两边散度，由于0V-VxB三0，因此上式只有当V-J=0时才能成立。在非恒定情形下，一般有V-J丰0，因而（@）式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改（@）式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把（@）式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量J，它和电流DJ合起来构成闭合的量V-J+J）=0,（*）并假设位移电流J与电流J一样产DD生磁效应，即把（@）修改为VxB=RJ+J）。此式两边的散度都等于零，因0D而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律

v-八乡=0.v-八乡=0.电荷密度P与电场散度有关系式V-E=E•两式合起来0(得：V-J+£3E、0dt丿二0•与（*）式比较可得JD的一个可能表示式T dEJ=£ •D0dt位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。JJ•dsJJ•ds¥V答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：VVJ+空=dt恒定电流的连续性方程为：V・J二0知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各的定义方法；P与p；M与j;E、D与p以及B、H与M的关系。P答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积AV内的-Yp 一总电偶极矩与AV之比，P= J.p为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示AVi对AV内所有分子求和。磁化强度矢量M：介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度J。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电M流i的小线圈，线圈面积为a,则与分子电流相应的磁矩为：m=ia.介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积AV内的总磁偶极矩与AV之比，

工工m

M=i.AVVxM,D=sE+P,H二知识点5：导体表面的边界条件。答：理想导体表面的边界条件为：nx答：理想导体表面的边界条件为：nxE=0,(n•D=cnxH=a.(n•B=0.丿。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。知识点6：在球坐标系中，若电势p不依赖于方位角©，这种情形下拉氏方程的通解。答知识点6：在球坐标系中，若电势p不依赖于方位角©，这种情形下拉氏方程的通解。答p(R,0,©)=工］a拉氏方bRn+nm-nm Rn+1丿n,m程在球坐标中的-Pm(cos0)cosm©+工nn,m般解为：(

cnmRn+人｝Rn+1丿Pm(cosG)sinm©n式中a,b,c和d为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pm(cos9)nmnmnmnm n为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势P不依赖于rb)

aRnrb)

aRn+——n—(n Rn+1丿a和b是任意常数，由nnP(co©)P(a和b是任意常数，由nnnn边界条件确定。知识点7：研究磁场时引入矢势A的根据；矢势A的意义。答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势A的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)值没有直接的物理意义。知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。平面时谐电磁波的性质：电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；(2)E和B同相，振幅比为v；(3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。

知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。B=VxA答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：\E=_V_5A知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。（ r、口v'4k8r0/r\-px'口v'4k8r0/r\答：推迟势为：Jx',t——―C^v'rA（―C^v'r4兀TOC\o"1-5"\h\z□人 1Q2A_ 丁V2A— =—|lxJ\o"CurrentDocument"c2 Qt2 0口 1Q2申 p达朗贝尔方程为：\2申一 =达朗贝尔方程为：\c2Qt2 &（ 1 Q申'V・A+——=0c2 Qt 丿知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关。知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。

答：坐标变换公式(洛伦兹变换式)：x-vtx'=x答：坐标变换公式(洛伦兹变换式)：x-vtx'=x'+vt'；1-上|C2洛伦兹反变换式：z=z'vt-x

c2vt'+x'c2■1-V!' C2u-v x vuTOC\o"1-5"\h\z1— xC2- V2u1—-速度变换公式：＜y c2速度变换公式：＜vu1— xC2打V2u'1--z■C2vu1— xC2知识点14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理(狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c作为基本假设，这就是光速不变原理)、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系S'(即物体)运动的速度V«C时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。知识点15：四维力学矢量及其形式。答：四维力学矢量为：(1)能量－动量四维矢量(或简称四维动量)：(i、、亠亠，= dxdx、一，、p=p,—W(2)速度矢量：U=——=丫——(3)动量矢量:p=mU(4)卩Ic丿 卩di dt m0m四维电流密度矢量：J=pU,J=J,icp)(5)四维空间矢量：x=(x,ict)(6)m0mmm

四维势矢量：A厂7四维势矢量：A厂7)反对称电磁场四维张量：4—亠dx dx8)四维波矢量：知识点16：事件的间隔：答：以第一事件P为空时原点(0，0，0，0);第二事件Q的空时坐标为：(x,y,z,t),这两事件的间隔为：S2二C212—X2—y2—Z2二C212—r2式中的r=fx2+y2+z2为两事件的空间距离。两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：若两事件可以用光波联系，有r=ct，因而s2=0(类光间隔)；若两事件可用低于光速的作用来联系，有r<ct，因而有s2>0(类时间隔)；(a)绝对未来；(b)绝对过去。若两事件的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离，有r>ct，因而有s2<0(类空间隔)。知识点17：导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。答：导体的静电平衡条件：(1)导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；(2)导体内部电场为零；(3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。导体静电平衡时导体表面的边界条件：”常量；<沁8——=Y.、dn知识点18：势方程的简化。答：采用两种应用最广的规范条件：(1)库仑规范：辅助条件为v.A=0.(2)洛伦兹规范：辅助条件为：v・A+丄竺=0.c2dt

了1a2av2A——例如：对于方程组： c2at2v2©了1a2av2A——例如：对于方程组： c2at2v2©+—v^A=-pat-v(v•A+丄譽）=-卩Jc2at 0（适用于般规范的方程组）。若采用库仑规范，可得：qc2dt2 c2dtv3©=-E8-0(v•A=0)v©=-yJ0v2A-1a2Ac2at2若采用洛伦兹规范，可得：v2申一c2at2此为达朗贝尔方程）。v・A+c2at答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：LXo知识点20：动钟变慢：S'系中同地异时的两事件的时间间隔，即S'系中同一地点x'二x'，先后21（t'丰t'）发生的两事件的时间间隔t'-1'在S系的观测:2121()V()(t'-1')+X'-x'丿—十 2 1 C2 2 1At—t—1-V!■c2=x1-V!■c2=x'1t'-t'•It—t=2 121•/x2AtIV21-C2(At=t'-1')V2 2 1:1-C2At称为固有时，它是最短的时间间隔，At>At.知识点21：长度收缩（动尺缩短）

尺相对于S'系静止，在S'系中观测l'=x'-x'在S系中观测t二t即两端位'2121J置同时测定•/X'-X'—"2"1_l=l1-^―(x'-x'=l,X-x=l)2 1 | V2 °\ C22 1 02 1Y1-云l称为固有长度，固有长度最长，即l>l。00知识点22：电磁场边值关系(也称边界上的场方程)nx(E-E)=0,21nx(H—H)=a,21n•(D-D)=c,21n•(B-B)=0.21知识点24：电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：w=8E2=丄B2_££平面电磁波的能流密度为：S=ExH=Ex(nxE)= E2n.能量密度和能流密度的平均值为：TOC\o"1-5"\h\z_ 1 1厂w=—sE2= B2,2 0 2H0-1 - - 1TS=Re(E*xH)= E2n.2 2\H0知识点25：波导中传播的波的特点：电场E和磁场H不同时为横波。通常选一种波模为E=o的波，称为横电波(TE)；z另一种波模为H=0的波，称为横磁波(TM)。z知识点26：截止频率①定义:能够在波导内传播的波的最低频率w称为该波模的截止频率。c②计算公式:(m,n)②计算公式:(m,n)型的截止频率为:wc,mn；若a>b,则TE1011波有最低截止频率一w= =.若管内为真空，此最低截止频率为c2a，2兀 c，10 2a.jHS

相应的截止波长为：九二2a.（在波导中能够通过的最大波长为2a）c,10•E=—;知识点28：静电场是有源无旋场： q0（此为微分表达式）xE=0.V•B=0;稳恒磁场是无源有旋场： ’（此为微分表达式）VxB=roj.I:1一知识点29:相对论速度变换式：q知识点29:相对论速度变换式：q■■•dt' 1-vuc2'xdx'u-vt= = x dt' vu1— c2lIV2'1—-,■C2其反变换式根据此式=dz_==dt' 1-vuc2xuxqu。yuz知识点30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。JE•dl=—JaB•dsat弋 a弋 aEj+8 ——oat•dsJB•dl=pJ答：麦克斯韦方程组积分式为：L 0•dsJE•ds=—JpdV8S oVJB•ds=0

麦克斯韦方程组微分式为：VxBa麦克斯韦方程组微分式为：VxBaBdtaE0atv・E=—&0v・B=0依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。三、典型试题分析1、证明题：1、试由毕奥一沙伐尔定律证明v・B=0证明由式=比JJ(x')xV丄dv证明由式=比JJ(x')xV丄dv'4兀 r又知：Vx[人')1]=fv1]_ r」ir丿xJ(x')因此uB=―Vx

4兀A=叮J人')dv'=vxA式中V・B=V・(VxA)=0所以原式得证。aA2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E=5飞.证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]—方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。B=VxB=VxA式代入VxE=—竺得：Vatxfe+aA]iat丿=0，该式表示矢量E+時是无旋场，因此它可以用标势。描述，E盲=6。因此，在一般情况下电场的表示式为：E=—“盲.。即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l二lJ-V2。0、C2答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿X轴方向运动，以固定于物体上的参考系为&。若物体后端经过P点（第1一事件）与前端经过P点（第二事件）相对于Y同时，则PP定义为S上测得的212物体长度。物体两端在&上的坐标设为x'和x'。在E上P点的坐标为x，P点12112的坐标为x，两端分别经过P和P的时刻为t二t。对这两事件分别应用洛伦兹21212变换式得x'=xi—叫,x'=匸匸2，两式相减，计及t=t，有TOC\o"1-5"\h\z1 1-上2 1_兰 1 2C2 C2x'-x'—*匚（*）式中x-x为E上测得的物体长度/（因为坐标x和x是在E21 v2 21 12■1—C2上同时测得的），x'-x'为&上测得的物体静止长度/。由于物体对y静止，210所以对测量时刻严没有任何限制。由（*）式得1=2-C2。4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E=-V申.答：由于静电场的无旋性，得：E•d1=0设C和C为由P点到P点的两条不1212同路径。C与一C合成闭合回路，因此fE•dl-fE•dl=012fE•fE•dl=fE•dl1因 此2 ，电荷由CCC1 C2P点移至P点 时电场与对路它径只和两端点有关。把单位正电12荷由P点移至P,电场E对它所作的功为：fE•dl,这功定义为P点和P点的电1212P1势差。若电场对电荷作了正功，则电势P下降。由此，（p（P）-^（P）=-fE•dl由21P1这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为 dp=-E•dl.由于d^=—dx+—dy+—dz=Vp•dl,因此，电场强度E等于电势申的负梯度dx dy dzE=-Vp.5、 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程V2A=-心。答：已知恒定磁场方程VxB=卩J(1)(在均匀线性介质内)，把0B=VxA(2)代入D得矢势A的微分方程Vx(VxA)=卩J.由矢量分析公式Vx(VxA)=V(V•A)-V2A.若取A满足规范条件V・A=0，得矢势A的微分方V2A=—卩J-程(V・A=0)6、试由电场的边值关系证明势的边值关系6dP2-6竺=-62dp1dn证：电场的边值关系为："X”2E (*)式可写为D-D=b(@)n•'D一D厶b.(*) 2n1n21式中n为由介质1指向介质2的法线。利用D=6E及E=-Vp，可用标势将(@)表为：dp dp6 2-6 1=-b.2dp 1dn1势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程V2p=-E。6答：已知静电场方程为：；VxE=0,⑴并知道E=-Vp.(3)在均匀各向同性线[V•D=P.(2)性介质中，D=6E，将(3)式代入(2)得V2p=-P，p为自由电荷密度。6于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。V•E(x)=丛卫8表明，变化的磁场可以激发dB(x)表明，变化的磁场可以激发答：麦克斯韦方程组＜VxE(x)=—答：麦克斯韦方程组＜V・B(x)=0” ()VxB(x)=卩j(x)+8卩dE—0 00dtdt导，得到d(VxB(x))=8dt卩竺理"，从上面两个方程消去d(VXB"》，得到00dt2dtdt导，得到d(VxB(x))=8dt卩竺理"，从上面两个方程消去d(VXB"》，得到00dt2dtV2E(x)V2E(x)-89、9、nx(E-E)=0；n•(D-DL；n•(B-B)=0.212121•.JD•ds=JpdVS V解：即：Asn-D-Asn-D=8as.解：・•・n-yd-D)=821fD-D=8TOC\o"1-5"\h\z2n 1n对于磁场B,把JB-ds=0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：b-b即:n-(b-B)=02n 1n 2 1作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为Al,短边边长为A'。因为JE-dl=0,作沿狭长矩形的E的路径积分。由于A'比A小得多，当A'T0时，E沿A'积分为二级小量，忽略沿Al'的路径积分，沿界面切线方向积分为：EAl-EAl=0即：2t 1t

E-E-0,(*)。(*)可以用矢量形式表示为：怎-E丿t=0(@)2t 1t 21式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为t'，它与界面相切，显然有t二nxt'(#)将(#)式代入(@)式，贝U(-E)(txt丄0,($)，利用混合积公式21A xC)=C.GxB),改写(#)式为：t' -E)xnLo此式对任意t'都成立,21因此(-E)xn二o，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。2110、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程v2E+k2E=o答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有D=SE,B*H，把时谐电磁波的电场和磁场方程：E(X，t)=E()-iWt'代入麦氏BVx,t丿=BVx)e-iwt.” °Bx” °BxE=--Qt6DQt方程组jVxH=V•D=0,VxE=iw^H,消去共同因子e-iwt后得fxH=-iW8E'在此注意一点。•E=0,•H=0.V.B=0.在w鼻0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于V・(VxE)=0，因而V.H=0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得 Vx(VxE)=w2茁E 由Vx(VxE)=V(V•E)-V2E=-V2E，上式变为十翻匕0,此为亥姆霍兹方[k=wj茁.程。11、 设A和9是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z(x,t)(赫兹矢量)，若令9=V兹矢量)，若令9=V・Z,证明A=1QZc2Qt证明：A和甲满足洛伦兹规范，故有▽•A+丄空=0.

c2dt申二—v・Z代入洛伦兹规范，有:▽•A+丄•◎（▽•Z）=0,即▽•A=v•（丄理c2dt （C2dt丿7 1dZ/.A= .c2dt2、2、计算题：1、真空中有一半径为R接地导体球，距球心为a（a>R）处有一点电荷Q,求00空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q'应在OQ连线上。关键是能否选择Q'的大小和位置使得球面上申=0的条件使得满足？考虑到球面上任一点P。边界条件要求—+Q=0.式中r为Q到P的距离，rr'r'为Q'到P的距离。因此对球面上任一点，应有—二-—二常数。（1）由图可看rQ出，只要选Q'的位置使AOQ'P〜AOPQ,则r'R二=7=常数。（2）设Q'距球心为b，两三角形相似的条件为ra—=Ro,或b=竺.（3）由（1）和（2）式求出Q'=-RQ.（4）（3）和（4）式确Ra a a0定假想电荷Q'的位置和大小。由Q和镜象电荷Q'激发的总电场能够满足在导体面上申=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点p的电势是:申=14K80r ar申=14K80r ar'14K80_QvR2+a2一2Racos0RoQa\R2+b2一2Rbcos0式中r为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心0到P点的距离,0为OP与OQ的夹角。4、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为r的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E,并沿径向。当r>a时,球面所围的总电荷为Q,由高斯定理得LE-ds=4兀r2E=—,80因而E= ,写成矢量式得E= .(r>a)@)4兀8r2 4兀8r300若r<a,则球面所围电荷为：-兀r3p=4兀r3J=亜3 3 4丁 a3兀a33应用咼斯定理得：1：E-ds=4兀r2E=°丫.8a3

0由此得E二纟二.(r<a)*)4兀8a3

0现在计算电场的散度。当r>a时E应取(@)式，在这区域r丰0，由直接计算可得V- =0,(r丰0)r3因而 V•E=-^V-—=0.C>a)4兀8 r30当r<a时E应取Q式，由直接计算得V-E= V-r= =E(<a)4兀8a3 4兀8a3800010、静止长度为l的车厢，以速度V相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U00向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解:S系的观察者看到长度为/V1-P2的车厢以VC=Vi)运动，又看到小球以0十u=ui追赶车厢。•••小球从后壁到前壁所需的时间为：u-vvuAt=c2u+vu=l■u,