第一节多元函数的基本概念9-1

推广第九章

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用1第一节多元函数的基本概念教学内容

1平面点集与多元函数的概念

2多元函数的极限

3多元函数的连续性考研要求

1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。2一.平面点集n维空间

1.平面点集

当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,

E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.32.

邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0

的去心邻域记为4在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.53.

区域(1)内点、外点、边界点设有点集E

及一点P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P

的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;的外点则称P为E的边界点边界点的全体称为边界.显然,E

的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.6(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E

,也可以不属于E

(因为聚点可以为所有聚点所成的点集称为E

的导集

.E

的边界点)内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点7D(3)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；若集D

中任意两点都可用一完全属于D

的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的

;连通的开集称为开区域,简称区域

;。。E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;8例如，在平面上开区域闭区域9整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D

,若存在正数K

,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D

为有界域,

界域.否则称为无104.

n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.11的距离记作中点a

的邻域为规定为与零元O

的距离为12二、多元函数的概念

引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式13定义1.设非空点集点集D

称为函数的定义域;

数集称为函数的值域.特别地

,当n=2时,有二元函数当n

=3时,有三元函数映射称为定义在D

上的n

元函数,记作14例1

求的定义域．

解所求定义域为15二元函数的图形（如下页图）16二元函数的图形通常是一张曲面.17例如,图形如右图.例如,球面.单值分支:18三、多元函数的极限定义2.设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n

=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D

的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切19现在我们用ε--δ来定义这个概念:设函数z=f(x,y)的定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果对于任意给定的正数ε,总存在δ>0,使适合不等式的一切点p(x,y)∈D,都|f(x,y)－A|<ε成立.则称A为函数z=f(x,y)，当x→x0,y→y0时的极限.记作20例1.设求证：证:故总有要证

21例2.

设求证：证：故总有要证22

二元函数的极限称为二重极限.研究二元函数极限定义时,我们注意以下几点:(1)不研究p0(x0,y0)处的状态仅研究p(x,y)→p0(x0,y0)的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定,函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个去心邻域内有定义,但不要求函数在点p0(x0,y0)有定义.(2)极限值A应是一个确定的常数,与p(x,y)趋近p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0),函数都无限接近于A.23

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数24例2

求解解其值随k的不同而变化，故此极限不存在．25确定极限不存在的方法：26例题

求下列极限27四、多元函数的连续性二元函数连续的几何特征——图形不断裂。一元连续函数的运算性质可推广到多元连续函数上来。28例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:

一切多元初等函数(P61)在定义区域内连续.29定理：若*(4)f(P)必在D上一致连续.在D

上可取得最大值M

及最小值m;(3)对任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

(一致连续性定理)

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的性质:(证明略)在有界闭域D

上连续,则30例4

讨论在(0,0)处的连续性．解故此函数在(0,0)处连续.