一元线性回归模型及其应用【新教材】2022年人教A版高中数学选择性练习

一元线性回归模型及其应用练习一、单选题下列关于回归分析的说法中错误的是(    )A.回归直线一定过样本中心点(x,y)

B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C.若甲、乙两个模型的相关指数R2分别约为0.98和对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2A.由样本数据得到的线性回归方程y=bx+a必过样本点的中心(x,y)

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好

D.若变量根据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(A.54.55 B.2.45 C.3.45 D.111.55经计算得到高中女学生的体重y(单位：kg)关于身高x(单位：cm)的回归直线方程为y=0.75x−69.72，对于身高为162cm的高中女学生，则(    )A.可以预测其体重大约为51.78kg

B.其体重准确值为51.78kg

C.其体重大于51.78kg

D.由于存在随机误差，其体重无法预测随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高x(cm)160165170175180体重y(kg)5661656974由上表可得回归直线方程y=0.9x+a，据此模型预报身高为172cm的男生的体重大约为(A.65.8kg B.66.3kg C.66.8kg D.67.3 kg在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x间的回归方程为(    )A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1根据下表样本数据x6891012y65432

用最小二乘法求得线性回归方程为y=bx+10.3，则当x=4时，y的估计值为A.6.5 B.7 C.7.5 D.8研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R③线性回归方程对应的直线y=④若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．以上正确说法的个数是(    )A.1 B.2 C.3 D.4根据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，A.54.55 B.2.45 C.已知变量x和y满足相关关系y=−0.1x+1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(

)A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数R2为(    )A.0.95 B.0.81 C.0.74 D.0.36已知变量x,y之间的线性回归方程为y=−0.7x+10.3，且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是(

x681012y6a32A.变量x,y之间呈负相关关系

B.a=4

C.可以预测，当x=20时，y=−3.7

D.该回归直线必过点(9,4)二、多空题某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y=bx+①回归方程y=bx+②据此模型预测广告费用为6万元时销售额为

万元．如图所示是一组数据(x,y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为y=bx+1，则b=

，点若身高x(单位：m)与体重y(单位：kg)之间的回归直线方程为y=85x−a(a∈R)，样本点的中心为1.2,30，则a=

(1)

；据此模型当身高为1.7m时，预计体重为

(2)

kg已知样本容量为11，计算得i=1nxi=510，i=1nyi=214三、解答题PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x/万辆5051545758PM2.5的浓度y/微克/立方米6970747879(1)根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图;

b∧(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y(3)若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据(2)求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少(保留整数)?

新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律．志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数．y表示人体中抗体含量水平(单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数x123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，y=c·edx与y=a+bx(a,b，c，d均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？((2)根据(1)的判断结果求出y关于x的同归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望．参考数据：xyωi=1i=1i=1i=1e3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中ω=lny．参考公式：用最小二乘法求经过点(u1,v1)，(u2,v2)，答案和解析1.【答案】C【解答】解：对于A，回归直线一定过样本中心，故A正确；

对于B，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故B正确；

对于C，R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的拟合效果好，故C不正确；

对于D，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确．

2.【答案】C

【解答】

解：对于A，样本中心点在直线上，故A正确；

对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确；

对于C，R2越大拟合效果越好，故C不正确；

对于D，变量

y和

x之间的相关系数

r=−0.9362，表示两个变量具有线性负相关关系，故D正确．

3.【答案】解：把x=165代入y=0.85x−85.7，得y=0.85×165−85.7=54.55，所以在样本点(165,57)处的残差e=y−y=57−54.55=2.45．

4.【答案】A

【解答】

解：由于线性回归方程为y=0.75x−69.72，

当x=162cm，y=0.75×162−69.72=51.78(kg)，

故选A．

5.【答案】C

【解答】

解：由表中数据可得x=160+165+170+175+1805=170，

y=56+61+65+69+745=65．

∵(x,y)一定在回归直线方程y=0.9x+a上，

故65=0.9×170+a，

解得a=−88．

故y=0.9x−88．

当x=172时，y=0.9×172−88=66.8．

故选C．

6.【答案】A

7.【答案】C

【解答】

解：由图表可知x=6+8+9+10+125=9，y=6+5+4+3+25=4，

所以样本中心点为(9,4)，

把样本中心点代入y=bx+10.3，得4=9b+10.3,b=−0.7，

所以线性回归方程为y=−0.7x+10.3，

则x=4时，y=−0.7×4+10.3=7.5，

故答案选C．

8.【答案】B

【解答】

解：用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；①正确，②错误，

由线性回归方程y=bx+a中，知一定过样本中心点，但不一定经过其样本数据点，故③错误；

因为−0.9362<0，变量y和x负相关相关，故④正确．

故①④正确．

9.【答案】B

【解答】

解：把x=165代入y=0.85x−85.7，

得y=0.85×165−85.7=54.55，

所以在样本点(165,57)处的残差e=y−y=57−54.55=2.45．

10.【答案】C

【解答】

解：因为y=−0.1x+1，x的系数为负，

故x与y负相关;而y与z正相关，

故x与z负相关．

11.【答案】A

【解答】

解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于65.5

【解答】

解：∵x=4+2+3+54=3.5，

y=49+26+39+544=42，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程y=bx+a中的b为9.4，

∴42=9.4×3.5+a，

∴a=9.1，

∴

14.【答案】0.8(2,2.6)

【解答】

解：由题图知x=y=将(2,2.6)代入y=bx+1

15.【答案】7272.5

【解答】

解：由y=85x−a，且样本点的中心为(1.2,30)，

得30=85×1.2−a，则a=72．

∴回归直线方程为y=85x−72，

取x=1.7，得y=85×1.7−72=72.5kg．

故答案为72；72.5．

5.55

【解答】解：由题意得x=111i=111xi=51011≈46.36，y=1

17.【答案】解：(1)散点图如图所示，

(2)∵x=50+51+54+57+585i=15(xib=a=y−bx=74−1.28×54=4.88，

故y关于x的线性回归方程是：ｙ=1.28x+4.88；

(3)当x=25时，y=1.28×25+4.88=36.88≈3718.【答案】解：(1)根