【教案测评】人教A版必修集合与常用逻辑用语全章复习综合检测

综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2＋3x－1＜0 B．∃x∈R，x2＋3x－1≥0C．∃x∈R，x2＋3x－1≤0 D．∀x∈R，x2＋3x－1＜0解析：选A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A.2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于()A．0 B．1C．2 D．－1解析：选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}解析：选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题﹁p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题解析：选C.命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.6．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选D.因为B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}．所以A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．7．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3，2} D．{－2，3}解析：选A.注意到集合A中的元素为自然数．因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.8．已知条件甲：(x－m)(y－n)＜0，条件乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的()A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件解析：选D.因为甲：(x－m)(y－n)＜0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－m＜0，,y－n＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－m＞0，,y－n＜0.))所以甲是乙的必要不充分条件．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列存在量词命题中，是真命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|＜0D．有些自然数是偶数解析：选中，x＝－1或3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD.10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≥11C．a≥10 D．a≤10解析：选BC.当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9/⇒a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9/⇒a≥11，a≥11⇒a≥9.选BC.11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．1 B．－1C．0 D．2解析：选ABC.因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，则下列说法正确的是()A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集解析：选AD.数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，eq\f(m,m)＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，eq\f(1,2)∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{eq\r(2)}，则1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：由于A∪B＝A，所以B⊆A，又因为B≠∅，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.答案：2<m≤414．已知p：“x2－3x－4＝0”，q：“x＝4”，则p是q的________条件．解析：根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或－1，则有若q：x＝4成立，则有p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：x＝4不一定成立，则p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分15．(一题两空)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N＝________；(2)当M∩N＝M时，则实数m的值为________．解析：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，则M∩N＝{2}．(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.答案：(1){2}(2)216．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为假命题，则x的取值集合M＝________．解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x|x≤1或x≥7}．答案：{x|x≤1或x≥7}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定．(1)每一个奇数都是正数；(2)∀x∈R，x2－x＋1≥0；(3)有些实数有平方根；(4)∃x∈R，x2＋1＝0.解：前两个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”．命题(1)的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；命题(2)的否定是“并非∀x∈R，x2－x＋1≥0”，也就是说“∃x∈R，x2－x＋1＜0”；后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”．其中命题(3)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；命题(4)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＝0”，也就是说“∀x∈R，x2＋1≠0”．18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．19．(本小题满分12分)下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件；并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)因为|x|＝|y|/⇒x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为△ABC是直角三角形/⇒△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形/⇒△ABC是直角三角形，所以p是q的既不充分也不必要条件．(3)因为四边形的对角线互相平分/⇒四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．20．(本小题满分12分)选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：(1)x＞2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2.(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示)解：(1)∃x∈R，x＞2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．(3)∃x∈Z，x是偶数．(4)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数(如eq\r(4,2))．(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.21．(本小题满分12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)求集合∁RP；(2)若P⊆Q，求实数m的取值范围；(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．解：(1)∁RP＝{x|x＜－2或x＞10}．(2)由P⊆Q，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10，))得m≥9，即实数m的取值范围为{m|m≥9}．(3)由P∩Q＝Q得，Q⊆P，①当1－m＞1＋m，即m＜0时，Q＝∅，符合题意；②当1－m≤1＋m，即m≥0时，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥0，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))得0≤m≤3；综上得m≤3，即实数m的取值范围为{m|m≤3}．22．(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，