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北京工业大学高等数学教程第三章微分中值定理及其应用定理3.1(费尔马引理)

3.1费尔马引理与函数最值

设在点

的某邻域内有定义，并且在处可导点,如果对于任意证不妨设有根据函数的可导条件及极限的保号性,有所以,推论3.1(最值的必要条件)的点称为函数的驻点.

设如果存在,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要条件,最大、最小值点只可能是的驻点、不可导点或区间的端点.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值;3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这种思想求取应用问题的最值.例1

求函数在[-1,4]上的最大值解计算与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值解驻点:是可能最值点.与最小值.例2求函数在的最大值比较得,最大值最小值解得例3求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的

半径

R.设圆柱体的高为2h,底半径为

r,体积为V,

圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点

就是最大值点,

最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点

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