2023年九年级数学中考复习《相似三角形-8字形相似》解答题专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形—8字形相似》解答题专题训练（附答案）1．如图，AD与BC相交于点O，已知：BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm．（1）求证：AB∥CD；（2）当AD与BC垂直时，求AB和CD的长．（结果保留根号）2．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的长．4．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间．请解答下列问题：（1）当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．（1）求证：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．7．如图，以BC为直径的⊙O经过点A，AN平分∠BAC，交BC于点M，P是BC延长线上一点，且PA＝PM．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若MN＝，BC＝6，CM＝2，求AM的长．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．9．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长；（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．11．如图①是常态下的铁夹子，如图②是它的示意图，AC、BC表示铁夹的两边，AC＝BC，点O在∠ACB的平分线上，OD⊥AC于点D，AD＝26mm，DC＝24mm，OD＝7mm．（1）求OC的长度；（2）连接BD交CO延长线于点E，试求的值．12．如图，△DBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．（1）如图，若点C在上，求证：△ABD∽△CBE；（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当时，求的值．13．【认识模型】（1）如图1，直线l1∥l2，直线m、n分别与l1、l2交于点A、B和点F、D，m和n交于点E．则＝；【应用模型】（2）如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，且＝＝．若BC＝4，AB＝10，求AC的长．14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，已知点C的坐标为（12，8），平行四边形ABCD的面积为64．（1）求反比例函数的解析式；（2）点E为BC与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象的交点，且，求点E的坐标．15．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．16．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC．（2）若AB＝1，求AE的长．17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，点E在边BC上（不与B、C点重合）CD⊥AE于点F，交AB于点G，BD∥AC，AC＝k•CE．（1）如图1，求证：AG＝k•BG．（2）如图2，若k＝2，连接BF，求证：BF＝FC．（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BH⊥BA，交CD的延长线于点H，将HB沿HG翻折并延长交AB于点I，若EF＝，求HI的长．19．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．20．（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．参考答案1．（1）证明：∵BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm，∴OA＝AD﹣OD＝18﹣6＝12cm，OC＝BC﹣OB＝12﹣8＝4cm，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD；（2）解：∵AD⊥BC，∴∠AOB＝∠COD＝90°，在Rt△AOB中，AB＝＝＝4，在Rt△COD中，CD＝＝＝2，答：AB的长为4，CD的长为．2．解：∵∠1＝∠2，∠APD＝∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴＝，∴＝，∴AP＝6．3．解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC＝4DE，∴，∵CE＝10，∴HC＝10﹣EH，∴，∴EH＝2，∵BC＝4DE，DE：AE＝2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠GBC，∠GEA＝∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE＝10，∴GC＝10+GE，∴，∴GE＝6．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9．5．解：（1）当CE＝CF时，△CEF是等腰三角形，∴4t＝12﹣2t，∴t＝2．（2）①当＝时，△ECF∽△ADC，∴＝，∴t＝3．②当＝时，△FCE∽△ADC，∴＝，∴t＝，综上所述，当t＝s或3s时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．6．证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB，∴，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD；（2）∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB，∵△ACD∽△EBD，∴∠ACD＝∠EBD，∵∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EBD＝∠EAB＝45°，∴EA＝EB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，∵△AED∽△CEA，∴＝，∴AE2＝ED•EC，∵AE2+EB2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴AE2＝AB2，∴AB2＝ED•EC，∴AB2＝2ED•EC．7．（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠CAN＝45°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AMC＝∠AOC+∠OAM＝2∠B+∠OAM，∵PA＝PM，∴∠PAM＝∠AMP，∴∠PAM＝2∠B+∠OAM，∴∠OAP＝∠OAM+∠PAM＝∠OAM+2∠B+∠OAM＝2∠B+2∠OAM＝2（∠B+∠OAM）＝2（∠BAO+∠OAM）＝2∠BAN＝2×45°＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BN，∵BC＝6，CM＝2，∴BM＝BC﹣CM＝6﹣2＝4，∵∠CBN＝∠CAN，∠AMC＝∠BMN，∴△AMC∽△BMN，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AM的长为．8．解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为：y＝kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则Q点坐标为（x，﹣x+3），∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴PQ的最大值是；（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴OF：DF＝3：2，过点D作DG∥y轴交BC于点G，∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，∴△COF∽△GDF，∴＝，∵OC＝3，∴DG＝2，设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝2，解得：m1＝1，m2＝2，∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，OB＝ODBD，∵△DMN∽△BCN，∴＝，∵M为AD中点，∴AD＝2DM，∴BC＝2DM，∴BN＝2DN，设OB＝OD＝x，∴BD＝2x，∴BN＝OB+ON＝x+1，DN＝OD﹣ON＝x﹣1，∴x+1＝2（x﹣1），解得：x＝3，∴BD＝2x＝6，∴BD的长为6；（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC＝MN：CN＝DN：BN＝1：2，∵△DCN的面积为2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4，∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN+S△CND＝4+2＝6，∴S四边形ABNM＝S△ABD﹣S△MND＝6﹣1＝5，∴四边形ABNM的面积为5．10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．11．解：（1）∵OD⊥AC，∴∠ODC＝90°，在Rt△ODC中，OD＝7，DC＝24，∴OC＝＝＝25（mm），∴OC的长度为25mm；（2）过点B作BF∥CD交CE的延长线于点F，∴∠F＝∠ACF，∵CO平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠F＝∠BCF，∴BF＝BC，∵AD＝26mm，DC＝24mm，∴AC＝AD+CD＝50mm，∵BC＝AC，∴BF＝AC＝50mm，∵∠BEF＝∠CED，∴△BEF∽△DEC，∴＝＝＝，∴的值为．12．（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB＝∠DEB＝90°，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠ECB＝∠EDB＝45°，∵∠A＝45°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝45°，∴∠CBA＝∠EBD，∴∠CBA﹣∠CBD＝∠EBD﹣∠CBD，∴∠DBA＝∠EBC，∵∠A＝∠ECB，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵∠DCB＝90°，DC＝6，DB＝10，∴BC＝＝＝8，∵∠CBA＝∠A＝45°，∴CA＝CB＝8，∴AD＝CA﹣CD＝8﹣6＝2，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝10×＝5，∵△ABD∽△CBE，∴＝，∴＝，∴CE＝；（3）∵，∴设DC＝a，CB＝3a，∴BD＝＝a，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝a•＝a，∵∠DCB＝∠DEB，∠∠FD＝∠EFB，∴△CDF∽△EBF，∴＝＝＝．13．解：（1）∵l1∥l2，∴＝，故答案为：；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，作CH⊥AE，垂足为H，交AB于点F，∵BC∥AE，∴＝＝，∵＝，∴AC＝CE，∵＝，∴＝，∵BC∥AE，∴△CDB∽△EDA，∴＝＝，即＝，解得：AE＝8，∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AH＝HE＝4，∴AH＝CB，∵AH∥BC，∴AF＝BF＝AB＝5，FH＝FC，在Rt△AHF中，HF＝＝＝3，∴HC＝6，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2．14．解：（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点C的坐标为（12、8），∴DF＝8，∵平行四边形ACBD的面积为64，∴DF•DC＝64，∴DC＝8，∴OF＝4，∴D（4，8），把D（4，8）代入y＝中可得：8＝，∴k＝32，∴反比例函数的解析式为：；（2）过点E作NM∥DF，分别交DC、AB于N、M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴MN＝DF＝8，∵AB∕∕CD，∴∠C＝∠EBM，∵∠NEC＝∠MEB，∴△NEC∽△MEB，∴＝，∴ME＝3x，NE＝5x，∴ME+NE＝3x+5x＝8，∴x＝1，∴ME＝3，把y＝3代入中得：3＝，∴，∴E（，3）．15．解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，∵AE∥BG，AB⊥BG，∴AE⊥AB，∵DM⊥AB，∴AE∥MD∥BG，∴AM等于△ADE的边AE上的高，∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，∴AB∥EH∥CD，∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，∵AE∥BG，∴△ADE∽△GDF，∴，即，∴AM＝3.6（米），∴AB＝AM+BM＝5.4（米），答：路灯主杆AB的高度为5.4米．16．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，在△EAF和△DAB中，，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EGB＝90°，∴BD⊥EC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴＝，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得a＝或（舍去），∴AE＝．17．解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．18．（1）证明：如图1中，∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∠BCD+∠ACF＝90°，∴∠CAE＝∠BCD，∵BD∥AC，∴∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠CBD＝∠ACE＝90°，∵AC＝CB，∴△ACE≌△CBD（ASA），∴EC＝BD，∵DB∥AC，∴＝＝＝k，∴AG＝kBG．（2）证明：如图2中，连接DE交AB于O，连接OF，作BM⊥AE交AE的延长线于M．∵k＝2，∴AC＝2EC，∵AC＝BC，∴BE＝EC＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，∵∠OBE＝∠OBD＝45°，∴OD＝OE，∴OB＝OD＝OE＝OF，∴B，D，F，E四点共圆，∴∠BFE＝∠BDE＝45°，∵BM⊥FM，∴∠M＝90°，∴∠MBF＝∠BFM＝45°，∴BF＝BM，∵∠CFE＝∠M＝90°，∠CEF＝∠BEM，CE＝BE，∴△CFE≌△BME（AAS），∴CF＝BM，∴BF＝CF．（3）解：如图3中，作GN⊥HI于N，作BM⊥AE交AE的延长线于M，连接DE交AB于O．∵△CFE≌△BME，∴EF＝EM＝，∴FM＝BM＝CF＝3，∴EC＝BE＝BD＝，∴AC＝BC＝3，DE＝BE＝∵AB⊥BH，DE⊥AB，∴DE∥BH，∵BE＝CE，∴DH＝DC，∴BH＝2DE＝3，∵AB＝AC＝3，∴BG＝AB＝，∵∠GHN＝∠GHB，HG＝HG，∠HBG＝∠HNG＝90°，∴△HGB≌△HGN（AAS），∴HN＝HB＝3，GN＝GB＝，设IN＝x，IG＝y，则有，解得x＝，∴HI＝HN+NI＝3+＝．19．解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝．又∵AO＝，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO+OD＝4．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4．故答案为：75；4．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝．∵BO：OD＝1：3，∴＝＝．∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠B