2023 年九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 培优提升专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．（1）如图1，连接BD，CE，求证BD＝CE；（2）如图2，∠BAD＝∠DBC，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；（3）如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．2．综合与探究问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是，位置关系是．（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，则AE＝（用含a，b的式子表示）．3．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC．点D、点E分别在射线BA、射线BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转至DF，使得点F恰好在射线BC上，旋转角为α．（1）当点C、点E重合时，如图1，若α＝30°，∠B＝60°，AD＝4，求线段BC的长度；（2）当点C、点F重合时，如图2，AC与DE交于点G，若DG＝EG，求证：BE＝CE；（3）当BE＝CE＝CF，∠B＝30°时，如图3，点P是射线BA上的动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP′，连接FP′．将△CFP′沿直线FP′翻折至△CFP′所在平面内得到△C′FP′，直线C′P′与射线BC交于点Q．在点P运动过程中，当FP′最小时，请直接写出的值．4．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．5．在△ABC中，AB＝AC，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且AE⊥CF．（1）如图1，若∠BAC＝90°，AF＝1，AC＝，求点B到AE的距离；（2）如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分∠AFC，G为CF上一点，且∠GDC＝∠GCD，求证：DG+AF＝FC；（3）如图3，若∠BAC＝120°，BC＝12，将△ABD沿着AB翻折得△ABD′，点H为BD′中点，连接HA、HC，当△HAC周长最小时，请直接写出的值．6．在△ABC中，AB＝AC，CE＝CD＝BC（CE≥CA），∠ACB+∠ECD＝180°，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．（1）如图1，点D在线段BC延长线上，若∠ACB＝50°，求∠ABP的度数；（2）如图2，△ABC与△CDE在图示位置时，求证：BP平分∠ABC；（3）如图3，若∠ABC＝60°，AB＝4，将图3中的△CDE（从CE与CA重合时开始）绕点C按顺时针方向旋转一周，且点B与点D不重合，当△EPC为等腰三角形时，求BE2的值．7．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．（1）在图1中画出图形：①求∠CEF的度数；②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP的面积最大值为．8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，．求DM的长；（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G．猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值．9．已知在△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，AC＝CD，点E是直线CD上的一个动点；连接AE并延长交直线BC于F，AF＝BF．（1）如图1，若∠BAC＝75°，AC＝6，CE＝2，求点A到CD的距离；（2）如图2，若点E是线段CD的中点，求证：AB＝2AD；（3）如图3，若∠BAC＝45°，AD＝4，将线段AE绕点A旋转45°，点E的对应点为点G，连接EG，求CG的最小值．10．在△ABC中，记∠BAC＝α，将BC绕点B逆时针旋转α得到线段BD，连接AD，取AD的中点E．（1）如图1，过点D作DF⊥AB于点F，连接EF．若α＝90°，tan∠BDF＝，EF＝2，求AC的长；（2）如图2，若α＝120°，连接BE，猜想AB、AC、BE的数量关系，并说明理由；（3）在（2）问的条件下，若BC＝4，将△ABE沿着AB翻折得到△ABE'，连接DE'，当DE'最大时，请直接写出△BDE'的面积．11．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，D为线段BC上一点，连接BE、CE，已知DE﹣CD＝2，BD＝8，求AB的长；（2）如图2，D为线段BC上一点，连接BE、CE．过点A作AH⊥BE于H，延长AH交CD于F，取CE中点G，连接FG，求证：DE＝2FG；（3）如图3，已知AB＝4，AD＝2．作点A关于直线BC的对称点A′，将△ADE以A为旋转中心旋转，点M为DE中点，连接CM，将线段CM绕点C顺时针旋转90°得线段CM′，连接A'M'．在A'M'的长度取得最大的情况下，取AB的中点K，动点Q在线段BC上，连KQ，将△BKQ沿KQ翻折到同一平面的△B′KQ，连接B′M′、B′A′．当A′B′取得最小时，请直接写出△A′B′M′的面积．12．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD．（1）如图①，若△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，请直接写出AE，AD，AC的数量关系；（2）将△ABC绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段AE上，连AD，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由．（3）在△ACB绕点C旋转过程中，当A、E、B三点共线时，若AC＝3，CD＝，请直接写出△ACE的面积．13．已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D在射线CB上，连接DA，将线段DA绕点D逆时针旋转90°后得到DE，过点E作EM⊥BC交直线BC于点M，连接AE，CE．（1）当点D在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，如图①所示，①求证：MC＝BD；②求证：∠ACE＝90°；（2）延长AD与直线CE相交于点N，①当点D在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，如图②所示，若AD平分∠BAC，且BD＝2，直接写出线段NE的长；②当＝时，直接写出的值．14．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D，E分别为AB，AC中点，F是线段DE上一动点（不与点D，E重合），将线段AF绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AG，连接GC，FB．（Ⅰ）如图①，证明：△AFB≌△AGC．（Ⅱ）如图②，连接GF，GE，GF交AE于点H．①证明：在点F的运动过程中，总有∠FEG＝90°．②若AB＝AC＝8，当DF的长度为多少时，△AHG为等腰三角形？请直接写出DF的长度．15．如图1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；【深步探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D．当点P运动到PD⊥CQ时，若，求PB的长；【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，则CD长为．16．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上一点，且BE＝BC；（1）如图1，连接BD，DE，求∠ADE的度数；（2）如图2，连接CE，将△BCE沿着BC翻折得到△BCF，连接DF，G为DF的中点，连接BG，并延长BG交CF于点H，求证：GH＝BG+CH；（3）如图3，将△ABC沿着BC翻折得到△MBC，在△ACM中，CA＝3，J是直线CM上一点，K是射线AC上一点，若满足MJ＝1，∠JBK＝60°，请直接写出CK的长．17．如图1，在等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，BH．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝2，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？18．在△ABC中，∠BAC＝90°且AC＝AB，点E为平面内一点，把AE绕着点A逆时针旋转90°后得到线段AD．（1）如图1，点E在线段AC上且BE平分∠ABC，连接DE，射线BE与CD相交于点F．当AC＝1，CB＝时，求AE的长．（2）如图2，点E为△ABC外一点，连接ED、EC、BD，点G为线段BD的中点，射线GA与CE相交于点H．求证：AH⊥CE．（3）如图3，点E在线段BC上，DE∥AB，BE＝3，AB＝3．点M在射线AE上，点N在线段AC上，且AM＝CN，连接BM、BN．当BM+BN最小时，直接写出△BNC与△ABM的面积和．19．已知三角形△ABC绕点A旋转得到△ADE．（1）如图1，∠CAE＝60°，∠ACF＝∠DCE，∠CDE＝90°，若BC＝2，CD﹣CF＝3，求AF的长．（2）如图2，连接BD，EC，若∠BCE＝∠AEG且，若点F是线段CE的中点，连接GF，BF，求证BF⊥GF．（3）如图3，三角形△ABC绕点A旋转得到△ADE，若AB＝3，AC＝1，∠CAE＝90°，ED和BC所在的直线交于点P，直接写出BP的最大值．20．已知同一平面内，△BDE和△ADC都是等腰三角形，BD＝ED，AD＝CD，∠BDE＝∠ADC．（1）如图1，B、D、C三点在同一条直线上，点E在线段AC上，连接AB，过D作DF⊥AB于点F，DH⊥AC于点H，若AC＝6，AD＝，求DF的长；（2）如图2，若∠BDE＝∠ADC＝90°，连接AE，BC，取AE的中点F，连接DF交BC于点G，延长AE与CD交于点K，若∠BCD＝2∠CAK，求证：BC＝2DK；（3）如图3，若∠BDE＝∠ADC＝90°，点A与点E重合，．点M为线段AB中点，点N为线段BC上一点，连接MN，将△MBN沿MN翻折到同一平面内的△MTN，连接CT，再将线段CT绕C点顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BQ，AQ．当BQ最小时，直接写出此时△ABQ的面积．

参考答案1．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）由（1）知：∠CAE＝∠BAD，∵∠CAE＝∠CBE，∴∠BAD＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD+∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝120°，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠ADE＝180°，∴B、D、E在同一条直线上；（3）解：如图，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，∵BF⊥AC，∴∠ABF＝，CF＝AF＝＝3，∴∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，∴当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），∵∠CE′F＝90°，∠ACE＝30°，∴FE′＝，∴EF的最小值为：．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD＝BC，∵点E是AB的中点，点F是AC的中点，∴DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，∴四边形AEDF是矩形，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴矩形AEDF是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF；（2）如图1，△DEF是等腰直角三角形，理由如下：连接AD，由上知：AD＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，∠DAC＝∠BAD＝＝45°，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAC，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）①如图2，△DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：连接AD，由上知：∠DAC＝∠ABC＝45°，AD＝BD，∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠ABD，∴∠FAD＝∠DBE，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，同（2）可得：∠EDE＝90°，∴△DEF仍是等腰直角三角形；②如图1，AE＝AB﹣BE＝a﹣b如图2，AE＝AB+BE＝a+b，故答案为：a﹣b或a+b．3．（1）解：如图1，作CG⊥BF，交BD于G，∴∠BCG＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝α＝30°，∴∠DEF＝∠F＝＝75°，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BGC＝90°﹣∠B＝30°，∴BC＝AC，∠BDC＝∠DEF﹣∠B＝15°，∴∠GCD＝∠BGC﹣∠BDC＝30°﹣15°＝15°，∴∠GCD＝∠BDC，∴DG＝CG，∵CG＝AG，∴DG＝（4﹣DG），∴DG＝6﹣2，∴BC＝AC＝AG＝4﹣（6﹣2）＝2；（2）证明：如图2，在CG上截取GH＝AG，连接DH，AE，∵DG＝EG，∴四边形AEHD是平行四边形，∴AE∥DH，AD∥EH，∴∠GEH＝∠ADE，∵DE＝∠DC，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE，∠B＝∠ACB，∴∠DEC﹣∠B＝∠DCE﹣∠ACB，∴∠ADE＝∠DCA，∴∠GEH＝∠DCA，∴∠DEC﹣∠GEH＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠HEC＝∠HCE，∴EH＝CH，∴DH⊥CE，∴AE⊥BC，∴BE＝CE；（3）解：如图3，作CG⊥BD于G，作∠GCH＝60°，且CH＝CG，连接HF，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP′，∴∠PCP′＝60°，PC＝P′C，∴∠GCH＝∠PCP′，∴∠GCH﹣∠PCH＝∠PCP′﹣∠PCH，∴∠GCP＝∠HCP′，∴△CHP′≌△CGP（SAS），∴∠CHP′＝∠CGP＝90°，∴点P′在与CH垂直的直线上运动，作FP″⊥HP′，FP′最短，此时点P′在P″处，将△CP′″F沿FP″翻折至△C″P″F，交射线BC于Q′，∵∠B＝30°，∴∠BCG＝90°﹣∠B＝60°，∵∠GCH＝60°，∴∠HCF＝180°﹣∠GCH﹣∠BCG＝60°，∵∠H＝∠FP″H＝90°，∴CH∥FP″，∴∠P″FC″＝∠CFP″＝180°﹣∠HCF＝120°，∠P″FQ′＝60°，∴∠Q′FC″＝∠P″FC″﹣∠P″FQ′＝60°，∴∵CG＝CE＝BC，CF＝CE，∴CH＝CF，∵∠CHF＝∠HCF＝60°，∴△HCF是等边三角形，∴∠FHP″＝∠CHP″﹣∠CHF＝90°﹣60°＝30°，∴FP″＝HF＝CF＝FC″，∴，即：当FP′最小时，＝．4．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AE，∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，故答案为：AE＝BE﹣CE；②如图，∠BAD＝45°，理由如下：连接AF，作AG⊥DE于G，∴∠AGD＝90°，∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，∴∠AFB＝∠AGD，∴△ABF∽△ADG，∴，∠BAF＝∠DAG，∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，∴∠BAD＝∠FAG，∴△ABD∽△AFG，∴∠ADB＝∠AGF＝90°，由（1）得：BD＝CE，∵CE＝DE＝AD，∴AD＝BD，∴∠BAD＝45°．5．（1）解：如图1，作BG⊥AE于G，∵∠BAC＝90°，∴tan∠AFC＝，∴∠AFC＝60°，∵AE⊥CF，∴∠BAG＝90°﹣∠AFE＝90°﹣60°＝30°，∴BG＝AB，∵AB＝AC＝，∴，即点B到AE的距离是；（2）证明：如图2，延长AE至H，使EH＝AE，连接DH，CH，∵AE⊥CF，∴CH＝AC＝AB，∴∠ACH＝2∠GCD，∵BE＝DE，∴四边形ABHD是平行四边形，∴DH∥AB，DH＝AB，∴∠BAD＝∠CDH，CH＝DH，∴∠ACH＝∠CDH，∴∠ACH＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠DCG，∵∠GDC＝∠GCD，∴DG＝CG，∠FGD＝2∠DCG，∴∠BAC＝∠FGD，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD＝∠GFD，∵DF＝DF，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF＝FG，∵CG+FG＝FC，∴DG+AF＝FC；（3）解：如图3，作点C沿BD翻折后的对应点C′，延长C′A交BC于N，∵∠BAD′＝∠BAD＝120°，∴点D在AC′上运动，作△ABC′的中位线TV，交AC′′于T，交BC于R，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠BAN＝180°﹣∠BAC′＝180°﹣120°＝60°，∴∠AVB＝90°，∵TR∥AC′，∴TR⊥BC，∵BN＝，∠BAC＝30°，∴AN＝，∴VR＝，作点A关于TR的对称点A′，连接A′C交TR于H，连接BH并延长交NA于D′，此时△HAC的周长最小，∵HV＝2＝，∴AD＝AD′＝2HV＝，BD＝＝3，∴＝．6．（1）解：∵∠ACB+∠ECD＝180°，∴点B，点C，点D共线，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠ECD＝130°，∵CE＝CD＝BC，∴∠CED＝∠CDE＝25°，∵PB＝DP，∴∠PBD＝∠PDB＝25°，∴∠ABP＝25°；（2）如图2，连接BD，∵CB＝CD，PB＝PD，∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，∴∠PBC＝∠PDC，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠PBC，∵∠ACB+∠ECD＝180°，∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，∴∠ACB＝2∠EDC＝2∠PBC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＝2∠PBC，∴∠ABP＝∠PBC，∴PB平分∠ABC；（3）如图3﹣1，当点A与点E重合时，∵∠ABC＝60°，AC＝AB＝4，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝30°，∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝30°，∴∠ABP＝∠PBC＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴BP是EC的垂直平分线，∴EP＝PC，∴△EPC是等腰三角形，∴BE2＝AB2＝16，如图3﹣2中，当EC＝EP时，过点E作EH⊥BP于点H，连接BE．∵PB＝PD，CB＝CD，∴PC⊥BD，PC平分∠BPD，∵∠CED＝30°＝∠ECP+∠EPC，∠ECP＝∠EPC，∴∠ECP＝∠EPC＝15°，∴∠BPC＝∠EPC＝15°，∴∠EPH＝30°，∴EH＝PE＝2，PH＝2，∵PB＝PD＝4+4，∴BH＝PB﹣PH＝4+4﹣2＝4+2，∴BE2＝EH2+BH2＝22+（4+2）2＝32+16，如图3﹣3中，当EC＝EP时，连接BE，作BT⊥EC于点T．∵∠CEP＝30°，∴∠ECP＝∠EPC＝75°，∵∠ECD＝120°，∴∠DCP＝∠PCB＝45°，∴∠BCT＝30°，∴BT＝BC＝2，CT＝2，∴ET＝4﹣2，∴BE2＝BT2+ET2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，综上所述，BE2的值为16或32+16或32﹣16．7．解：（1）如图1所示：延长BE，①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△FAE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如图2，∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴点A，点B，点C，点P四点共圆，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC于H，∵BM是⊙C的切线，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，故答案为．8．解：（1）如图1，作MN⊥BC于N，∴∠MNB＝∠MNC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在Rt△MNB中，BN＝MN＝BM•sin∠ABC＝2×＝，在Rt△CMN中，tan∠BCD＝＝∴CN＝3MN＝3，∴CM＝＝2，BC＝CN+BN＝4，∵∠CNM＝∠D＝90°，∠MCN＝∠BCD，∴△CMN∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴DM＝CD﹣CM＝﹣2＝；（2）如图2，连接BD，∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠ABE，∴∠DAB＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠AED＝180°﹣45°＝135°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADB＝45°，∴∠BDF＝∠ADC＝45°，∵∠F+∠FCD＝∠ACB，∠ACD+∠FCD＝∠ACB，∴∠F＝∠ACD，∴△BFD∽△ACD，∴＝，∵BD＝CE，AD＝DE，∴＝，∴＝，∵∠AEG＝∠DAE＝90°，∴EG∥AF，∴△CEG∽△CDF，∴＝，∵+＝1，∴+＝1，∴EG+CE＝DF；（3）如图3，取BC的中点F，连接DF，取CF的中点I，连接MI，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝AB＝8，∵∠BDC＝90°，∴DF＝＝4，∵点M是CD的中点，∴IM＝DF＝2，∴点M在以I为圆心，2为半径的圆上运动，作OB⊥BI，且OB＝BI＝6，连接OE，∵∠EBM＝∠OBI＝90°，∴∠EBM﹣∠OBM＝∠OBI﹣∠OBM，∴∠EBO＝∠MBI，∵EB＝BM，∴△EBO≌△MBI（SAS），∴OE＝IM＝2，∴点E在以O为圆心，2为半径的圆上运动，过点O作OR⊥AB交⊙O于点H，当点E运动到点H时，△ABE的面积最大，在Rt△OBR中，OB＝6，∠ABO＝∠OBI﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∴OR＝OB＝3，∴HR＝OR+OH＝3+2，∴S△ABE最大＝＝4×（3+2）＝12+4．9．（1）解：如图1，作AG⊥CD于G，∵AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝75°，∴∠ACD＝180°﹣∠CDA﹣∠CAD＝30°，∴AG＝＝3，即：A点CD的距离是3；（2）证明：如图2，作CG⊥AD于G，交AE于H，连接DF，∵AC＝CD，∴AG＝DG，∴AH＝DH，∴∠GAH＝∠ADH，∵AF＝BF，∴∠GAH＝∠B，∴∠B＝∠ADH，∴DH∥BC，∴∠EDH＝∠ECF，∠EHD＝∠EFC，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△EDH≌△ECF（AAS），∴DH＝CF，∴四边形DHCF是平行四边形，∴DF∥CG，∴DF⊥AB，∴AB＝2AD；（3）解：如图3，延长CA至H，使AH＝AD，连接HG，作CG′⊥GH于G′，∵AC＝CD，∠BAC＝45°，∴∠ADC＝∠BAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∵AD＝4，∴AH＝AD＝4，∵∠BAC＝∠EAG＝45°，∴∠DAE＝∠GAH，∴△ADE≌△AHG（SAS），∴∠H＝∠ADC＝45°，∴点G在直线HG上运动，∴CG的最小值是CG′，∵∠HCG′＝90°﹣∠H＝45°，∴∠H＝∠HCG′，∴G′C＝G′H，由勾股定理得：G′C2+G′H2＝CH2，∴2G′C2＝（4﹣4）2，∴G′C＝4﹣2，即CG的最小值是4﹣2．10．解：（1）∵∠BAC＝∠CBD＝90°，∴∠DBF+∠ABC＝90°，∠ABC+∠C＝90°，∴∠DBF＝∠C，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠DFB＝∠BAC＝90°，∵BC＝BD，∴△ABC≌△FDB（AAS），∴AB＝DF，AC＝BF，∵tan∠BDF＝＝，∴设AC＝BF＝a，DF＝3a，∴AB＝3a，∴AF＝AB﹣BF＝2a，在Rt△ADF中，点E是AD的中点，∴AD＝2EF＝4，在Rt△ADF中，∵AF2+DF2＝AD2，∴（3a）2+（2a）2＝（4）2，∴a＝4，∴AC＝4；（2）如图1，2BE＝AB+AC，理由如下：将△ABC绕点B逆时针旋转120°至△BDF，连接AF，EF，延长BE至G，使EG＝BE，连接GD并延长，交BF的延长线于H，∴BF＝AB，∠ABF＝120°，∠BFD＝∠BAC＝120°，∴∠AFB＝∠BAF＝30°，∴∠AFD＝∠BFD﹣∠AFB＝120°﹣30°＝90°，∵点E是AD的中点，∴EF＝AE＝，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠ABE＝∠FBE＝，∵AE＝DE，∠DEG＝∠AEB，∴△DEG≌△AEB（SAS），∴∠G＝∠ABE＝60°，∴GH∥AB，∴∠H+∠ABF＝180°，∴∠H+120°＝180°，∴∠H＝60°，∴△BGH是等边三角形，∴BG＝BH，∵∠DFH＝180°﹣∠BFD＝180°﹣120°＝60°，∴△DFH是等边三角形，∴HF＝DF＝AC，∴BG＝HF+BF，∴2BE＝AB+AC；（3）如图2，作△ABC的外接圆O，连接DO，取DO的中点O′，连接O′E，可求得⊙O的半径为：＝4，∴O′E＝＝2，连接O′E和O′B，将△BO′E绕点B顺时针旋转120°至△BO″E″，有（2）知：∠ABE＝60°，∴点E和点E′关于AB对称，∴点O″和点O′关于AB对称，延长DO″至E′，则DE′最大，连接OB，作OF⊥BD，交BD的延长线于F，作O′G⊥DF于G，∴∠OBC＝30°，∵∠ABC＝120°，∴∠OBF＝180°﹣∠ABC﹣∠OBC＝30°，∴OF＝，BF＝＝2，∴DF＝BD+BF＝4+2＝6，∴O′G＝，DG＝FG＝DF＝3，∴BG＝BD﹣DG＝4﹣3＝，∴∠GDO′＝30°，O′B＝2，∴O″在OB的中点，作O″⊥DF于H，作E′N⊥DF于N，∴O″H＝O″B＝1，BH＝O″B＝，∵DH＝BD+BH＝4+＝5，∴DO″＝＝＝2，由△DHO″∽△DNE′得，＝，∴＝，∴E′N＝，∴S△BDE′＝＝×＝．11．（1）解：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠BAD＝45°，CE＝BD＝8，∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2﹣CD2＝CE2＝82＝64，有DE﹣CD＝2，∴DE＝17，CD＝15，∴BC＝BD+CD＝8+15＝23，∴AB＝BC＝；（2）如图1，作AM⊥BC于M，交BE于N，∵AB＝AC，∴AM＝BM＝，∵∠AHB＝∠BMN＝90°，∴点A、H、M、B共圆，∴∠FAH＝∠MBN，∵∠BMN＝∠AMF＝90°，∴△AMF≌△BMN（ASA），∴NM＝MF，∵MN∥CE，∴△BMN∽△BCE，∴＝，∴MN＝，由（1）得，CE＝BD，∴MF＝MN＝，∴DF＝DM+MF＝BM﹣BD+BD＝BC﹣BD＝＝，∵CG＝EG，∴FG＝；（3）如图2，连接AM，将△AMC绕点C逆时针旋转90°至△A″M′C，∴A″M′＝AM＝＝，∴点M′在以A″为圆心，半径是的圆上运动，∴当A′，A″，M′（图中M″）共线时，A′M′最大，最大值为A′M″＝A′A″+A″M″＝8+，∵KB′＝KB＝2，∴点B′在以K为圆心，2为半径的圆上运动，∴当A′，B′，K共线时，A′B′最小，最小值为A′K﹣KB′＝﹣2＝2﹣2，∵△A′HB′∽△KBA′，∴＝，∴＝，∴B′H＝，∴S△A′B′M′＝•B′H＝×（10﹣2）＝．12．（1）解：如图1，连接BD，∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴2AC2＝AB2．∵∠ECD﹣ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD．在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC（SAS）．∴AE＝BD，∠E＝∠BDC＝45°，CE＝CD，∴∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，在Rt△ADB中．∵AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝2AC2．故答案为：AD2+AE2＝2AC2．（2）解：如图2，不成立，AD2﹣AE2＝2AC2，理由如下：连接BD，∵∠BAC＝∠DCE＝90°，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CBD＝∠BAC＝45°，∵∠CBE＝180°﹣∠ABC＝135°，∴∠EBD＝∠CBE﹣∠CBD＝135°﹣45°＝90°，∴BD2+AB2＝AD2，∴AD2﹣AE2＝2AC2，（3）解：如图3，当点A在BE上时，作CF⊥AB于F，由AC＝3得，AB＝AC＝6，∴CF＝AF＝AB＝3，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CE2﹣CF2＝（）2﹣33＝25，∴EF＝5，∴AE＝EF﹣AF＝5﹣3＝2，∴S△ACE＝＝＝3，如图4，当点A在EB的延长线上时，作CF⊥AB于F，由上知：CF＝BF＝3，EF＝5，∴AE＝AF+EF＝3+5＝8，∴S△ACE＝＝＝12，综上所述：当点A、E、B共线时，△ACE的面积是3或12．13．（1）①证明：∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠MDE＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠MDE，在△ABD和△DME中，，∴ABD≌△DME（AAS），∴MC＝BD，②∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAF﹣∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠B＝90°；（2）①设AC与DE交于点F，∵AD平分∠BAC，∴＝，∴＝，∴CD＝4，∴AB＝BC＝BD+CD＝4+2，∵∠ADF＝∠B＝90°，∴△ADF∽△ABD，∴，∴（4+2）AF＝（22+（4+2）2，∴AF＝8，由（1）得，∠ADF＝∠ACE＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠NED，∵∠ADF＝∠EDN＝90°，AD＝DE，∴△ADF≌△EDN（ASA），∴NE＝AF＝8；②当点D在线段BC上时，∵，∴＝，由上得，∠MDE＝∠BAD＝∠CAE，∴＝＝：＝＝．如图，当点D在CB的延长线上时，同理可得：＝＝：＝＝．14．（Ⅰ）证明：∵∠BAC＝∠FAG＝90°，∴∠BAC﹣∠FAE＝∠FAG﹣∠FAE，即∠BAF＝∠CAG，在△AFB和△AGC中，，∴△AFB≌△AGC（SAS）；（Ⅱ）①证明：∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴AD＝，AE＝，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠DAE＝90°，∴△DAE是等腰直角三角形，同理（Ⅰ）得，△DAF≌△EAG，∴∠AEG＝∠ADE＝45°，∴∠GEF＝∠AEG+∠AED＝45°+45°＝90°；②解：由题意得：AD＝AE＝4，∴DE＝，如图1，当AH＝GH时，∠HAG＝∠AGF＝45°，AF＝AG，∠FAG＝90°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AD＝AE，∴DF＝EF＝＝2，如图2，当AG＝GH时，∵∠AGF＝∠D＝45°，∠GAF＝∠DAE，∴△DAF∽△GAH，∴＝＝1，∴DF＝AD＝4，当AH＝AG时，∠AHG＝∠AGH＝45°，∴∠HAG＝90°，此时F点和E点重合，不符合题意，综上所述：DF＝2或4时，△AGH是等腰三角形．15．解：（1）AP＝BQ，理由如下：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；（2）连接PQ，BQ，如图：由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，∵PD⊥CQ，∴CD＝DQ，∴DP是CQ的垂直平分线，∴BC＝BQ，在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∵CP＝CQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∴AC＝BC＝BQ＝AP＝，∵∠CAP＝90°，∴CP＝＝2，在Rt△CDP中，∠CPD＝90°﹣∠PCQ＝30°，∴CD＝CP＝1，PD＝CD＝，∵∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，∴∠BCQ＝45°，∵∠CDB＝90°，∴∠CBD＝45°＝∠BCQ，∴BD＝CD＝1，∴PB＝PD﹣BD＝﹣1；（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE，如图：∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，∴CE＝AC＝，∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∵AB＝AD，AE＝AC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∴CD＝，故答案为：．16．（1）解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴BD＝CD＝AD＝，∴∠ABD＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝＝75°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝75°﹣30°＝45°；（2）证明：如图，连接DE，在GH上截取GM＝GB，连接FG，CM，DM，∵G是DF的中点，B是EF的中点，∴BG∥DE，∴∠BGF＝∠FDE，∠FBG＝∠BED＝75°，∵BD＝BE，BE＝BF，∴BF＝BD，∴∠BDG＝∠BFD，∵∠FBC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠FBD＝90°+60°＝150°，∴∠BDF＝∠BFD＝＝15°，由（1）得：∠BDE＝75°，∴∠FDE＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠FGB＝90°，∴DF垂直平分BM，∴BD＝DM，∴∠BDM＝2∠BDF＝30°，∴∠BMD＝∠DBM＝75°，∠CDM＝∠BDC﹣∠BDM＝60°﹣30°＝30°，∵CD＝BD，∴CD＝DM，∴∠DMC＝∠DCM＝75°，∴∠BMC＝∠DMC+∠DMB＝75°+75°＝150°，∴∠HMC＝180°﹣∠BMC＝30°，∵∠FHB＝180°﹣∠FBG﹣∠BFH＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠HCM＝∠FHB﹣∠HMC＝60°﹣30°＝30°，∴∠HCM＝∠HMC，∴CH＝HM，∴GH＝GM+HM＝BG+CH；（3）解：如图2，当点J在线段CM上时，作BD⊥AC于D，BE⊥CM于E，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝∠MCB＝60°，∴BD＝BE，∠ACM＝120°∴∠DBE＝360°﹣∠BEC﹣∠BDC﹣∠ACM＝60°，∵∠JBK＝60°，∴∠JBK＝∠DBE，∴∠JBE＝∠DBK，∴△BDK≌△BEJ（ASA），∴DK＝JE，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AC＝，∵∠BEC＝90°，∠BCE＝60°，∴∠CBE＝30°，∴CE＝＝，∴JE＝CM﹣MJ﹣CE＝3﹣1﹣＝，∴DK＝JE＝，∴CK＝DK﹣CD＝﹣＝，如图3，由上得，DK＝JE，∵JE＝CM+JM﹣CE＝3+1﹣＝，∴CK＝DK﹣CD＝﹣＝，综上所述：CK＝或．17．（1）证明：∵∠BAC＝∠HAG＝90°，∴∠BAC﹣∠HAC＝∠HAG﹣∠HAC，即：∠BAH＝∠CAG，在△AHB和△AGC中，，∴△AHB≌△AGC（SAS）；（2）①证明：∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴AE＝，AF＝，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴同理（1）可得：△EAH≌△FAG，∴∠AFG＝∠AEF＝45°，∴∠GFH＝∠AFG+∠AFH＝45°+45°＝90°，即：∠HFG＝90°；②解：当AQ＝QG时，∠QAG＝∠AGQ＝45°，∴∠HAF＝∠HAG﹣∠QAG＝90°﹣45°＝45°，∵AE＝AF，∴EH＝FH＝，∵AE＝AF＝＝1，∴EF＝＝，∴EH＝，当AG＝GQ时，∠GAQ＝∠AQG＝＝＝67.5°，∴∠EAH＝∠GAQ＝67.5°，∵∠AEF＝45°，∴∠AHQ＝67.5°，∴EH＝AE＝1，当AQ＝AG时，∠AQG＝∠AGQ＝45°，∴∠QAG＝90°，此时点H与点F重合，不符合题意，综上所述：EH＝或1．18．（1）解：如图1，作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴BF＝AB＝AC＝1，∴CF＝BC﹣BF＝﹣1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠CEF＝90°﹣∠C＝45°，∴∠C＝∠CEF，∴EF＝CF＝﹣1，∴AE＝﹣1；（2）证明：如图1，延长AG至N，使GN＝AG，∵DG＝BG，∠DGN＝∠AGB，∴△DGN≌△BGA（SAS），∴DN＝AB，∠BAG＝∠N，∴AB∥DN，∴∠ADN+∠DAB＝180°，又∵AC＝AB，∴DN＝AC，∵∠CAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠CAE＝360°﹣（∠CAB+∠DAE）＝180°，∴∠ADN＝∠CAE，∴△ACE≌△DNA（SAS