光纤技术及应用-第一章

2023/2/11光纤技术及应用OpticalFiberTechnologyandItsApplication2023/2/12迎接光子时代的到来电子时代（半导体时代）：围绕如何利用和控制电子的运动来设计器件的时代；电子技术已经发展相对成熟，各种技术瓶颈已经出现：晶体管极限（由电子的特性和器件制作中的光刻等工艺所受到的物理上的限制所决定）光子作为信息的载体已经取得了很大的成功:90%的现代信息需要以光子的形式在光纤上传输一根细若游丝的光纤里，可以容纳上亿门电话美公司联手开发超级计算机光纤互连技术2023/2/13光子与电子的比较：速度快，独立传播（光子是光线中携带能量的粒子）光子与电子的本质区别：（1）光子服从的是麦克斯韦方程，电子服从的是薛定谔方程；（2）光子波是矢量波，电子波是标量波；（3）电子是自旋为1/2的费米子，满足泡利不相容原理，

光子是自旋为1的玻色子，其不受泡利不相容原理的限制，可在空间并行；（4）电子之间有很强的相互作用力，而光子没有。2023/2/14“波导”:交通：公路，铁路，高速公路 电：电线，平面电路 光：光纤，平面光波导公路、铁路、高速公路给交通带来了极大的推动；电通过电线的传输提供了强大的动力；电信号凭借平面集成电路产生了繁荣的电子工业；光纤和平面光波导的发展将带来信息交流的巨大改变。波导（WAVEGUIDE），用来定向引导电磁波的结构2023/2/15波导（WAVEGUIDE），用来定向引导电磁波的结构。常见的波导结构主要有平行双导线、同轴线、平行平板波导、矩形波导、圆波导、微带线、平板介质光波导和光纤。从引导电磁波的角度看，它们都可分为内部区域和外部区域，电磁波被限制在内部区域传播。

波导，本意指一种在微波或可见光波段中传输电磁波的装置，用于无线电通讯、雷达、导航等无线电领域。2023/2/16教材内容：1、光波传输的理论知识2、平板光波导传输理论3、光纤传输原理

（光纤的模式特性、光纤的损耗、光纤的色散）4、光纤（无源、有源）器件5、光纤和光缆的制造技术6、光纤通信技术和光纤传感技术2023/2/17课程51学时考试：闭卷（100分）试题类型：选择、填空、问答题，小型计算题最终成绩=平时成绩30%+期末成绩70%2023/2/18

第一章光传输的理论基础1

1.1麦克斯韦方程和波动方程21.2平面光波及其在介质界面上的反射和折射31.3程函方程和光线方程2023/2/19

光是一种电磁波，与一般意义的微波的电磁特性相同，只是频率或波长不同而已。将电磁波按其频率或波长的次序排列成谱，则称为电磁波谱。通常所说的光学区域或光学频谱包括：红外线、可见光和紫外线。由于光的频率极高1012～1016Hz（1014～1015Hz），一般采用波长表征，光谱区域的波长范围约从1mm到10nm。光的电磁波谱可分为

光的波长

远红外 (1mm~20m)红外线

(1mm~0.76m) 中红外 (20m~1.5m)

近红外 (1.5m~0.76m)

红色 (760nm~630nm)

橙色 (630nm~600nm)

黄色 (600nm~570nm)可见光

(760~380nm) 绿色 (570nm~490nm)

青色 (500nm~450nm)

蓝色 (450nm~430nm)

紫色 (430nm~380nm)

近紫外 (380nm~300nm)紫外光

(380~10nm) 中紫外 (300nm~200nm)

真空紫外(200nm~10nm)2023/2/110光学研究的是光的传播以及光和物质相互作用，使用方法有▲几何光学（成像光学仪器）▲波动光学（研究光的电磁性质和传播规律，用在一般的导波光学）▲量子光学（以光的量子理论为基础，研究光与物质相互作用的规律，如用在量子光通信）光的分析手段2023/2/1111麦克斯韦方程组

根据光的电磁理论，光波具有电磁波的所有性质，这些性质都电磁波的基本方程－麦克斯韦方程组：

•D

＝

(1)—表明电荷产生电场；•B

＝0(2)—表明磁场是无源场，磁感线是闭合曲线；xE

＝－(B/t)(3)—表明变化的磁场产生电场；xH

＝J+(D/t)(4)---表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；其中D、E、B、H分别表示电感应强度（电位移矢量）、电场强度、磁感应强度、磁场强度；是自由电荷密度、J是传导电流密度。麦氏方程组将空间任一点的电、磁场联系在一起，可以确定空间任一点的电、磁场。物质方程

D

＝E

B

＝

H

J＝

E2023/2/112积分形式的麦克斯韦方程组为：---表明穿过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和；----表明穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零；---表明电场强度沿任意闭合曲线的环流，等于穿过以该闭合曲线为周界的任一曲面的磁通量变化率的负值；---表明磁场强度沿任意闭合曲线的环流，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流和位移电流之和；麦克斯韦方程组表明了电磁场和它们的源之间的全部关系。2023/2/1132电磁场的边值关系当研究某一区域的电磁场时，常遇到该区域被不同介质分成几个区域的情况。由于介质性质的突变，这些界面上将出现面电荷、面电流分布，使得物理量E、D、B、H发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用。因此，在介质分界面上，要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷、电流的关系。----称为边值关系（边界条件）2023/2/114（1）法向分量在界面上的边值关系设界面的单位法向矢量为n

，在两介质界面上取一面元并以它为截面作一无限薄扁平小柱体，使柱体上下两底面分别在两介质，且柱体高度是小量，故侧面的积分趋于零，由表明：电位移矢量在界面法向上是不连续的，其跃变与自由电荷密度有关。2023/2/115------用同样的方法可得到：表明：磁感应强度矢量在界面法向上是连续的。2023/2/116（2）切向分量在界面上的边值关系在两介质界面上取一线元以它为中线垂直于界面作一无限窄小矩形，它的两短边可以看成宏观小量，但其上下两边分别深入到界面两侧介质中。薄矩形层的厚度趋于零，则通过电流的横截面变为横截线。定义电流线密度----其大小等于垂直通过单位横截线的电流由于存在面电流，在界面两侧的磁场强度发生跃变，在狭长形回路，长边与面电流正交，2023/2/117由于回路所围面积趋于零，而为有限量，所以：有：或：表明：磁场强度矢量在界面切向上是不连续的，其跃变与自由电流密度有关。2023/2/118同样：------表明：电场强度矢量在界面切向上是连续的。边值关系（边界条件）2023/2/119边值关系（边界条件）边值关系表示界面两侧的场以及界面上电荷、电流的制约关系，它们实质上是边界上的场方程。电磁理论已经证明：在一定的边界条件和初始条件下，麦克斯韦方程组有唯一解。2023/2/1203、波动方程下面从麦克斯韦方程出发，推导各向同性的均匀介质中，远离辐射源、不存在自由电荷和传导电流区域内的光波场矢量满足的波动方程。大多数光波导材料为非磁性电介质，所以：(1)(2)(3)(4)2023/2/121(1)讨论真空情形在真空中，有对它两边取旋度，得到等号左边利用：而：所以得到电场强度满足的波动方程：同理：可得到磁场的偏微分方程：令：2023/2/122得到方程：形如上式的方程为波动方程。讨论：a)当与t无关时，为调和函数，调和函数的最大值在边界上（如果边界上场为0，则内部也为0）b)当与t有关时，虽边界为0，但内部不一定为0.c)波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波、x射线）都以速度c传播。2023/2/123(2)讨论介质情形研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出关系，当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受到电场作用，也以相同角频率正弦振动。在这频率下，介质的极化率，介电常数都是频率的函数，即：不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的。把介电常数和磁导率随频率而改变的现象称为介质的色散。由于色散，对一般非正弦变化的电场关系式：不成立2023/2/1244、一定频率的光波在介质中的传播—Helmholtz方程设均匀平面简谐光波：代入麦克斯韦方程组：（1）（2）（3）（4）四个方程只有（1）（2）式独立。取（1）式散度可得到（3）式，利用任意矢量的旋度的散度恒等于0.2023/2/125取（1）式旋度：等号左边利用矢量恒等式，可得到：令：上式变为：-----称为Helmholtz方程它是一定频率下电磁波的基本方程，E(r)表示电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式代表一种模式（一种波形）2023/2/126所以对上述方程加上条件上式方程的解并不能保证满足才代表电磁波的解。磁场可由：同理可得到磁场满足的Helmholtz方程2023/2/1275、均匀平面光波设单色平面光波：为复振幅常矢量。平面波的波阵面为无穷大平面，在同一波阵面上电场强度和磁场强度的大小为常数，且两者同相。将上面两式代入麦克斯韦方程：并利用：等号右边第二项为零，因为为常矢量。2023/2/128可得到：即：同理：表明：在各向同性的均匀介质中，平面波为横电磁波。光场的方向结构图如图所示1.2-1(a)2023/2/129平面电磁波的特性：（1）电磁波是横波，E和B都和传播方向垂直；（2）E和B互相垂直，沿波矢方向；（3）E和B同相，振幅比为平面波的相速度（等相位面传播的速度）：坡印廷矢量（能流密度）：

n为介质的折射率说明：相速度并不表示光波能量传播的速度，因此对于色散介质的n<1的反常色散区，会出现相速度v大于真空中光速c的情况，这并不违背相对论的结论。群速度？（复色光波的相速度、群速度、能量传播的速度2023/2/1301.2.2平面光波在介质界面上的反射和折射我们知道，当光波射到两种介质分界面上时，将发生反射和折射。光波是一定波长范围内的电磁波，其结果也适用于其他波长的电磁波，如无线电短波和微波等。任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象都属于边值问题。设一单色平面电磁波自介质1以入射角射到分界面上，见图所示。当界面线度远大于波长时，可以看成无限大平面，将这个平面取为xy面，并使入射波波矢量在xz面内，即：2023/2/131分别表示入射波、反射波、折射波的电场强度表示入射波、反射波、折射波的波矢量表示入射波、反射波、折射波的频率表示入射角、反射角、折射角对于平面波入射，反射波、折射波也是平面波，故表达式：我们知道在z=0平面上，电磁场应满足边值关系，即电场强度在切线方向上是连续的，2023/2/132在界面上确定的一点，上式可以化为：式中a,b,c都是与时间无关的量，上式要在任意时刻下成立，必须要求：表明：入射波、反射波、折射波都具有相同的频率。从微观的角度说，在入射波作用下，界面两侧介质分子中的束缚电子将以入射波频率作强迫振动，并辐射出相同频率的电磁波。这些电磁波和入射波相叠加，在界面两侧构成了反射波和折射波，以后将去掉上的脚标。2023/2/133类似的方法可以证明：要求在界面上任意点都成立，则必须有：不失一般性，取入射波矢量在xz平面内，则入射波矢量故有：表明：入射波、反射波、折射波的波矢量都在同一平面内，称次平面为入射面。2023/2/134前面：而由图：且：又介质1,2的折算率为：可得：这就是反射定律和折射定律。2023/2/1352、菲涅耳公式上面反射定律、折射定律确定了入射波、反射波、折射波之间的传播方向关系，下面利用边值关系给出三种波光场的振幅和相位关系，可由反射系数和透射系数表征。由于对每一波矢K有两个独立的偏振波，所以需要分别讨论E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形。2023/2/136（1）电场振动方向垂直入射面----TE波由上面边值关系得注意到：并且考虑到一般非铁磁介质有上面第二式可以写为：----（1）----（2）----（3）2023/2/137（1）和（3）组成方程组得：反射系数：透射系数：2023/2/138（2）电场振动方向平行于入射面----TM波边界关系可写为：解得：2023/2/139而且：反射率透射率：显而易见，这些系数随着入射角的变化都发生变化。这些公式表明：垂直于入射面的偏振波与平行于入射面的偏振波其反射和折射行为不同。特别地：即：此时电场强度E平行于入射面的分量没有反射波，这就是布儒斯特定律，此时的入射角称为布儒斯特角，其大小为：当以布儒斯特角入射时，其反射波只有垂直于入射面的线偏振波2023/2/140而且：不管TE、TM都满足能量守恒这里指的是：光能流反射率和透射率满足能量守恒定律；而光强度反射率和透射率之和不为1.因为：光强度的定义是平均能流密度，而不是光能量或能流。2023/2/141当光从光密介质射向光疏介质发生全反射时，入射光的能流并不是在介质界面上只进行了全反射，而是穿入光疏介质一定深度后实现全反射的。

从几何观点来看，入射光束不是直接在入射点处全反射的，而是稍微进入第二光疏介质后再返回光密介质，也就是说入射光在界面发生了一微小横向位移才返回光密介质。2023/2/1422023/2/1433、平面光波的全反射设光波从光密介质入射到光疏介质由折射定律：光从光密介质到光疏介质时，折射角达到时的入射角称为临界角：当入射角大于临界角时，入射光能量将全部反射。所以折射角的余弦应为虚数2023/2/144折射光的电场可表示为：表明：当光在界面上发生全反射时，介质2（光疏介质）中存在一个相位沿x方向传输，振幅沿z方向指数衰减的平面波，且因衰减导致光波场只存在于介质2中靠近界面附近很薄的介质层内，故称为迅衰波、衰逝波或倏逝波或表面波。其中：2023/2/145倏逝波的性质和特征：（1）相速度：上式表明倏逝波是一个沿x方向传播的行波，其相速度表示为：因：可见：倏逝波沿x方向传播的相速度比一般情况下电磁波在介质中传播的相速度小，故称之为慢波。2023/2/146（2）穿透深度指数因子的出现，表明倏逝波振幅沿z（界面法线）方向按指数急剧衰减。其深度为：

为光波在真空中的波长。故透入深度为波长量级，透射波好像是贴着界面传播的，故又称为表面波。2023/2/147说明：虽然全反射时，在光疏介质2中存在迅衰波，横向传播的波经过一段距离又回到光密介质。但它并不向第二介质内部传递能量。即：由第一介质流入第二介质和由第二介质返回第一介质的能量相等。问题：既然发生全反射时，光波能量全部被反射回介质中，那么倏逝波的能量来自何处？界面处的平均能量密度是否还成立？2023/2/148倏逝波的存在，似乎和全反射时反射波带走了全部光能量的结论相矛盾，即违背能量守恒定律，其实不然。根据电磁理论全反射时，反射波和入射波的振幅相等，反射波与入射波的平均能流密度的数值相等，因此反射率为1，即电磁波能量全部被反射。但在一般情况下反射波和入射波之间有一定的位相关系，因此反射波与入射波能流密度的瞬时值是不同的，这表明能量并不是绝对不能透过界面而进入光疏介质。

其物理图像是这样的：在半个周期内光波的能量进入光疏介质，在界面附近的薄层内储存起来，在另一半周期内，这一能量释放出来变为反射波的能量，但在同一周期内平均值为零，所以全反射时，在透射深度内瞬时能流不为零，但平均能流为零。2023/2/149应用：光子隧道效应当界面两边物质的折射率满足一定条件时，一束全内反射光会导致界面的另一侧产生一个迅衰场。其强度随离界面的距离成指数关系。将一光学探针调节到样品表面的迅衰场内，入射光的一些光子会穿过界面和光学探针之间的势垒，即产生光子隧道效应。2023/2/150全反射时的相移因为全反射时，折射角的余弦为虚数，即（1）而：（2）（3）将（1）式代入（2）、（3）式2023/2/151由上面两式可看出：它们的分子、分母互为共轭复数，即它们的模为1，可表示为上式中：其中2023/2/152可得全反射时的相移：表明：（1）全反射时反射率为1，即光能没有透射损失，全都反射回光密介质；上两式表明：在全反射下，反射光相对于入射光有相位跃变，即发生相移，可以设想平面波的入射点与反射点不在同一点上，反射点与入射点有一段距离。2023/2/153全反射时的古斯—哈恩斯位移古斯和哈恩斯于1947年做了一个全反射实验，证明实际光的反射点离入射点有一段距离，称为古斯-哈恩斯位移。（相隔约半个波长）产生古斯-哈恩斯位移的原因：由于我们用无穷细的光线代表了光的传播方向，即将光看成波阵面为无限大的平面波。实际上，光的传播不能简单地视为平面光波的行为，必须考虑光是以光束的形式传播的，即使一条极细的光线也是由若干更加细的光线组成。进入光疏介质，波动为向各个方向无限扩展平面的叠加。各个分量入射方向不同，相位不同，叠加后产生了横向位移。2023/2/154设光在传播过程中的位移为：其中：每一条光在传播过程中的相移，为单位长度的相移以TE波为例：一光束发生全反射时的相移正切的平方为：对上式微分：可得P8公式2023/2/1551、3程函方程和光线方程处理光传输问题的理论方法：射线（几何）光学理论当光纤芯径远大于光波波长时，可近似认为波长趋于零，从而将光波看成光线，可采用几何光线方法分析光线的入射、传播（轨迹）、时延（色散）及光强分布等特性。优点：简单、直观，适用于多模光纤；缺点：不能解释模式分布，模式耦合等，对单模光纤分析误差大程函方程是射线光学的基础。1、局部平面波在无限大、均匀的各向同性介质中，光波是以平面波的形式传播的。实际上，并不存在无限大、均匀的各向同性介质，对于一般情况下的非均匀介质，光波束的波振面是任意曲面。但是，在局部范围内可近似地将波振面看成平面，将光波看成平面波，称为局部平面波、本地平面波或准平面波。2023/2/156局部平面波的电磁场可表示为：

为复振幅，分别为相位和光程，都是位置矢量的函数，是随地而异的。2、程函方程将上两式代入：利用：光程：是波面走过的几何路径与折射率的乘积2023/2/157可得：同理：而均匀介质中的平面波：相比较有：即：光程函数的梯度满足：---称为程函方程。在已知折射率分布情况下，可得到光程函数S或相位函数.但不能直接解决光射线的路径问题，需推导光射线的微分方程。即光线方程2023/2/158------是光在各向异性介质中的程函方程（光纤色散方程）物理意义：空间中任何一点的光波的相位变化率与该点的折射率大小成正比；相位梯度方向与光波方向一致，其模等于介质折射率。程函方程给出波面变化规律：（1）在均匀介质中，光波传输方向不变；（2）在非均匀介质中，光波传输方向随折射率改变；（3）若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等相面确定光线轨迹。2023/2/1592023/2/1603、光线方程设空间有一条光线，r表示光线上某点P的位置矢量，若取光线上任一点P0为曲线坐标的原点，点P到P0的距离为s，P点处光线的切向单位矢量为

与P点处电场E和磁场H正交，即与等相位面正交。所以与平行（1）（2）2023/2/161对上面光程函数两端求梯度：利用：且：任何标量场的梯度的旋度恒等于零。2023/2/162即：将代入上式得：而：所以：曲线（自然）坐标与直角坐标的关系或：------光线方程。描述了光线上任一点P的位置矢量r与曲线坐标之间的关系。在已知折算率分布及给定坐标系后，求解光线方程可得到光线的轨迹。2023/2/163----射线方程（光线方程）是折射率分布为n的介质中光线传播的路径方程物理意义：（1）将光线轨迹和空间折射率联系起来；（2）是光线切向斜率

对于均匀波导，n为常数，光线以直线形式传播；

对于渐变波导，n是r函数，则为一变量，这表明光线将发生弯曲，而且可以证明光线总是向折射率高的区域弯曲。2023/2/164作业：1-1,1-2，1-32023/2/1652023/2/166光的麦克斯韦方程组光一般只能在介质中传输，介质的是自由电荷密度＝0、r→1；电导率＝0；光的麦克斯韦方程组

•D

＝0•B

＝0xE

＝－(B/t)xH

＝(D/t)

物质方程

D

＝0rE

B

＝

0

rH

n•(B1-B2)=0n•(D1-D2)=0n(E1-E2)

＝0n(H1-H2)

＝0

边界条件n2023/2/167波动方程可以推导出与光传输相关的描述交变电磁场的波动方程：

2

E

－(1/2)(2E/t2)=02

H

－(1/2)(2

H/t2)=0上述方程组说明交变电磁场是以速度传播的电磁波动。式中：＝()-1/2

光电磁波在真空中的传播速度一般用字母c表示c

＝(00)-1/2

=3108米/秒。为表征光在介质中传播的快慢，引入光折射率：n=c/=(rr)1/2

除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为r

1。因此，折射率可以表示为：n=(r)1/2

此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，r

或n

都是频率的函数，具体的函数关系取决于介质的结构。2023/2/168波动方程考虑简谐波，/t＝i,是光波的圆频率，也可以写成：

2

E+n2k02E=02

H+n2k02H=0k0是光波在真空中的波矢量－波空间变化快慢的程度，其大小等于2/,k=nk0是介质中的波氏量。波动方程又可写成2

E+k2E=02

H+k2H=0光的波动就是电场和磁场的波动EHzxyvE和H是矢量，光在介质中的传播速度v也是矢量，v的方向就是光传播的方向，E、H和v相互垂直,表示电场和磁场在空间沿着z方向总是相互正交传输2023/2/169光波动描述E＝Ex＋EyEx=Ex0cos(t-k·z+x)Ey=Ey0cos(t-k·z+y)表示光波传输频率，k是波矢量，幅度是传播常数k=2/,x和y是初相位。相速度为v=/k

光场的能量密度也就是电磁场的能量密度因为因此电场能量和磁场能量相等，即2023/2/170波印廷矢量波印廷矢量的大小表示能流密度光波动描述光强I是单位面积的功率通量，就是光场的能流密度，一般是能流密度的时间平均其中v是光在介质中的速度＝()-1/2=c/n2023/2/171群速度单一频率波的传播速度称为相速度不同频率的叠加加形成合成波（波包）时，波包的波峰传播速度称为群速度。真空中的相速度和群速度是相等的。

vg=d/dk2023/2/172光的偏振Ex=Ex0cos(t-k·z+x)Ey=Ey0cos(t-k·z+y)EHzxyv光波的偏振（也称极化）描述当它通过介质传输时其电场特性。2023/2/173一束光只含有单一方向的光振动,光只在一个固定平面内沿单一方向振动的光叫线偏振光（也称平面偏振光）完全偏振光：线偏振光的振动面固定不动。

线偏振光图示法

线偏振光·面对光的传播方向看2023/2/174圆偏振光/椭圆偏振光:可以看成两个相互垂直的简谐振动的合成，光矢量在垂直于光的传播方向的平面内按一定的频率旋转（左旋或右旋）。相位差如图。Ex与Ey

幅度相等（园偏振），不相当（椭圆偏振）。yxyExEy0yxyExEy0圆偏振光和椭圆偏振光=y

-x=/2右旋=y

-x=-/2左旋

2023/2/175部分偏振光：在垂直于光传播方向的平面内，各方向的光振动都有，但它们的振幅不等。(a)线面内振动较强(b)线面内振动较弱部分偏振光图示法部分偏振光2023/2/176

=不同，椭圆形状、旋向也不同。

=3/2

=5/4

=7/4

=/2

=/4

=0yx

=3/4各种偏振状态2023/2/177小结波动方程（边界条件）频率、波矢量相速度、群速度能量密度能流密度光强光的偏振各种偏振状态2023/2/1781.2光在介质交界面的反射和折射2023/2/179

光在介质交界面的反射和折射光线在两种介质界面上的反射及折射反射定律折射定律临界角θCirtn1n22023/2/180在两种介质界面上光的反射及折射

光波从折射率大的介质入射到折射率小的介质的三种情况2023/2/181光的反射及折射电磁波电场－E磁场－H波矢：ki,kr,kt横电场（TE）：Ei⊥，

Er⊥，

Et⊥横磁场（TM）：

Hi‖,

Hr‖,

Ht‖

电磁波（光波）从折射率大的介质入射到折射率小的介质（横电场）2023/2/182入射波，反射波和折射波把上述方程代入光的波动方程，就可以得到反射波与入射波的关系以及折射波与入射波的关系2023/2/183光波在介质界面的反射和透射－垂直入射（电场）反射系数的定义透射系数的定义《物理光学》，梁铨廷，机械工业出版社2023/2/184电磁波（光波）从折射率大的介质入射到折射率小的介质（横磁场）光波在介质界面的反射和透射－平行入射（电场）2023/2/185反射率R随i的入射角变化

0B

C900

i

1R(0)0RR//

0B900

i

1R(0)0RR//n1>n2的情况反射率R的定义n1<n2的情况布鲁斯特角临界角存在一个入射角B使R=0，即全透射。此角称布鲁斯特（Brewster）角只有偏振方向平行入射面的光，且是线偏振光2023/2/186全反射的相位变化i>C

横电场

横磁场2023/2/187消逝波(Evanescentwave)Y0i1Y1i2>i1Y2>Y1

Ex(y)是沿z方向的波矢

是电场进入介质2的衰减系数

在介质边界的消逝波2023/2/188古斯－汉欣位移（Goos-Hanchen）全反射时古斯－汉欣位移当i>C时,发生全反射,同时发生相位的变化,相位的变化表示在介质的表面发生了反射光沿z方向移动一个距离穿透深度！1/2023/2/189光学隧道效应(OpticalTunneling)当l<穿透深度,在A和B之间发生全反射情况下,光仍然可以穿透B进入介质C,称为光学隧道效应用光学隧道效应制作的分光镜2023/2/190小结光的反射和折射定律横电波和横磁波的反射率和透射率表达式全反射和布鲁斯特（Brewster）角各种入射条件下的反射和透射全反射情况下的穿透深度古斯－汉欣位移光学隧道效应2023/2/191

第2章平板介质光波导2023/2/192

平板介质波导也称为

平面介质波导、平板波导，是各种集成光学元器件的基础。对于它的研究，不但有助于理解光纤传输基本原理，而且对于合理设计半导体激光器、耦合器、调制器等光传输器件也是必不可少的。2023/2/193平板波导结构示意图：一般由三层构成：中间波导芯层，下层介质为衬底，上层为覆盖层；折射率：芯区、衬底、覆盖层分别为：n1、n2、n3，

且n1>n2,

n1>n3。且一般情况下有n1>n2>

n32023/2/194薄膜波导：----结构：芯层可以做成各种形式；----工艺：薄膜成型法（离子扩散、晶体生长）----衬底材料：玻璃、电光晶体、半导体材料----应用：集成光路、光波导器件圆柱波导----光纤-----结构：芯层、包层、缓冲层（有弹性、耐腐蚀的塑料护套）-----材料和工艺：玻璃、拉丝-----应用：光通信-----分类：根据纤芯折射率分为阶跃折射率和梯度折射率光纤；据传输信号分为单模和多模光纤2023/2/195对称波导: n2=n3

；非对称波导: n2

n3，分类:(1)按照覆盖层和衬底的折射率是否相同，分为（2）按照芯层折射率分布的不同，可将平板波导分为：阶跃波导（折射率分区均匀分布）

渐变波导（折射率n1是横向坐标x的函数）

本章主要讨论阶跃波导的传输特性2023/2/1962.1理想平板波导的射线光学理论理想平板波导：指波导的各层介质为各向同性、均匀、无损耗，且不同介质的界面为无限大平面，且严格平行。1、均匀平面光波在平板波导中的传输均匀平面波：均匀平面光波在波导中传输，遇到两种介质的界面时，将产生反射和折射，因此光在芯层内呈“锯齿型”轨迹向z方向传播，如图所示。根据入射角与上、下界面的全反射临界角之间的关系，可分三种情况讨论：2023/2/197(a)(b)(c)光线在上、下界面的入射角不同，对应波导中不同的传输模式：(a)当平面波在上、下两界面都发生全反射，此时光波被限制在波导芯层内，好像被引导者沿z方向传播，故通常称这种传输的光为“导模”、“传导模”或“导波”。平板波导中的电场可以表示为：2023/2/198其中下标l=1,2,3分别代表芯层、衬底和覆盖层，分别代表各层的横向传播常数和纵向传播常数，根据光电磁波在界面处的连续性要求，其纵向传播常数在三层介质中相同，可表示为：是平面波在真空中的波数。因为：所以：即：导模的纵向传播常数比衬底、覆盖层里的传播常数大，相应的传播速度就慢，是慢波。2023/2/199在三层介质中的横向传播常数满足如下关系：其中：为实数，表示光波场在芯层内沿横向为驻波分布；为虚数，表示光波场在衬底和覆盖层内沿横向向外指数衰减。表明：导模的光能量被限制在芯层及其界面附近，并沿z轴方向传播，因而导模也是表面波。是否满足全反射条件即可产生一个导模呢？2023/2/1100(b)当光线在上界面发生全反射，而在下界面只有部分反射，如图所示，这时光在波导中将有一部分能量辐射到衬底中去，因此称之为衬底辐射模。这时，传播常数满足：----是实数----是虚数说明：光波场在覆盖层内向外指数衰减，而在衬底内沿x轴方向传播。2023/2/1101当如图所示，光线在上、下界面处均不发生全反射，只有部分反射。这时必然有部分能量同时辐射到覆盖层和衬底中去，通常称之为波导辐射模。此时传播常数满足：----是实数----是实数说明：光场在覆盖层和衬底内均沿x方向有传输。2023/2/11022、导模的传输和截止（1）导模的传输条件组成导模的光线除满足入射角条件（全反射）外，还必须满足一定的相位条件。导模在平板波导中的传输，可看做无数根光线在波导芯层的上、下表面来回全反射叠加而成的，其主要特征是在横截面内必须形成驻波。如图2.1-2所示:从波阵面AB出发的光线经直线传输和经全反射后传输形成另一个波阵面CD，要求所有光线从面AB到达面CD后，相位差必须是的整数倍。2023/2/1103光线产生相位变化来自两个因素：一是传输路径上的相位变化（波程差）；二是界面全反射时引起的相位变化。

相位条件：其中：为BC和AED的几何长度；分别为上、下界面全反射引入的相移；而：（这里a

为波导芯层的厚度）2023/2/1104全反射相移的大小与入射角和入射光的偏振方向有关：对TE波：对TM波：---定义为衬底的横向衰减系数---定义为覆盖层的横向衰减系数2023/2/1105----表征了组成导模的光线在平板波导中的传输条件，通常称为平面波导的本证方程。（也称为色散方程）当给定波导参数（）以及工作波长（）时，对于不同的m值，由本证方程可以求得不同的横向传播常数，由波矢量的投影关系进一步可得到相应的这一组参数反反映了一种导模在芯层、衬底及覆盖层中的传输特性。另：m取整数说明本证方程只能有若干个离散解，每一个解对应一钟导模或确定的场分布，m称为模阶数。因而，入射角也只能取离散值，说明并非满足全反射条件的光线都能构成导模，只有那些满足本证方程的特定角度入射的光线才能在横向形成稳定的驻波，才能形成稳定的导模传输。2023/2/1106----由方程还可以看出：当给定波导参数和工作波长时模阶数m越大，则越大，越小，越小；在所有导模（TEm、TMm）中，基模TE0、TM0的值最大；对于给定的模式，工作波长越长，越小，越小，也越小，所以本征方程实际上给出了与（或）的关系，从这个意义上讲，本征方程又称为色散方程。2023/2/1107（2）导模的截止如果入射角则下界面的反射处于全反射的临界状态，此时导模截止，且有界面反射相移为：式中：为波导的非对称参数，且因此：导模截止时的色散方程为：2023/2/1108导模截止时的色散方程为：-----（TE模）-----（TM模）由此可见：某一导模的截止是由两方面的因素决定的：一是传输光波的波长（或频率）；二是波导参数给定模阶数和波导参数后，可求出某一导模的截止波长：----表明：不同模式有不同的截止波长2023/2/1109上式表明:不同的模式有不同的截止波长，模阶数越高，截止波长越短；模阶数相同时，TE模的截止波长比TM模的长；

所以，相同波导，相同阶数的TE、TM模中，TM模先截止。TE0模的截止波长是所有导模中最长的，故称TE0模为基模。工作波长>C，导模截止。C越小，相应的导模越易截止。2023/2/1110同时：可求得某一导模所对应的波导芯层截止厚度；对TEm模----即如果芯层厚度Tem模将被截止。TE0模的截止厚度为基模传输基模m=0

TE模中TE0具有最长的截止波长（最不易截止）。

TM模中TM0具有最长的截止波长（最不易截止）。基模传输：保证只有TE0或TM0，其它模截止。

TE基模传输

TM基模传输2023/2/1113给定光波波长和波导参数后，可以求出波导中能够传输的TE模（或TM模）的数目：说明：下标“Int”表示只取整数部分；如果同时存在m个TE模和n个TM模，则能够传输的模式总数为(m+n);可以看出，a越大，波长越短，芯层和包层的折射率差越大，波导中传输的模式数就越多。模数目：2023/2/1114在实际应用中，往往希望波导单模工作，这就要求合理地设计波导尺寸并选择合适的波长，，以保证波导中只传输基模TE0,而其他模式截止。单模传输的条件是：或而由于平板波导的非对称参数和差别很小，所以与、与的差别也很小，因而把TE0模和TM0模同时存在的情况仍然称为单模传输。这时传输条件可表达为：或单模传输因为，所以

一般，,所以，、相差不大。单模传输条件：单模传输：保证只有TE0，其它模截止2023/2/1116对于对称波导，在截止条件下有：上式简化成：表明：（1）对称波导的TE模和TM模的模数相同，即TE模和TM模简并，因此对称波导中能够传输的模式总数为2m。（2）对称波导中基模（TE0模和TM0模）的截止波长，截止厚度为，即对称波导中的基模在任何波长下都可以传输。（m=0)2023/2/11172.1.2非均匀平面光波在平板波导中的传输当入射到平板波导中的光波为非均匀平面光波时，在波导中将出现两种与前面的导模和辐射模不同的模式：泄露模和消失模。1、非均匀平面光波用矢量A代表光波的电场或磁场，则平面光波场可表示为：在平板波导中有：所以：令：K是实数，则介质为无损耗2023/2/1118则光波场可表示为：第一个指数项表示振幅因子，第二个指数项表示相位因子，二者都与坐标x,z有关。等振幅面和等相位面的空间位置分别由下列方程确定：为常数由此三式可绘出平面波的等振幅面（实线）和等相位面（虚线），如图2.1-3所示平面光波的等振幅面和等相位面相互正交；其等相位面上各点的振幅值不相等，也就是波前上的振幅不均匀，所以称为非均匀平面波。2023/2/11192、泄露模非均匀平面波入射到两介质界面处，也将产生反射和折射，也满足菲涅耳公式：（以TE模为例,讨论在波导芯层—衬底界面的反射系数）由边值关系：所以：令：再代入反射系数中得：2023/2/1120发现：无论在什么条件下，都不会等于1，即使入射角满足，总小于1，不发生全反射。即：非均匀平面光波入射到两介质界面时总要产生部分反射和部分透射，总要产生泄露，因此称为泄露模。泄露模的特点：（1）在衬底中场振幅沿-x方向指数递增；

在覆盖层中场振幅沿x方向指数递增；即：泄露模以一定的角度向芯层外侧泄露能量。（2）泄露模不是正常波型，因场振幅沿芯层表面外法线方向指数递增，不满足无穷远处的边界条件。（3）具有离散谱（后面由波导光学理论讨论）2023/2/11213、消失模振幅沿z方向指数衰减，不能沿z轴方向传输。若，非均匀平面光波的（为纯虚数）：则：总是实数，此时，非均匀平面光波的表达式式变为：振幅沿z方向指数衰减。2023/2/11222.2理想平板波导的波动光学分析波动光学理论：利用求解本征值问题的方法，求解平板波导边界条件下的波动方程，确定平板波导中能够独立、稳定传输的简正模光场的空间分布和传输常数。1、平板波导中的模式平板波导中的模式都应该满足波动方程及其边界条件，以阶跃平板波导为例讨论：设平板波导中的简谐光波被引导着向z方向传输，传输常数为光波电磁场的表示为：2023/2/1123平板波导的二维近似：折射率阶跃分布，电场和磁场满足的Helmholtz方程：不同的传输常数对应于不同的模式，如图2.2-1所示。当----即在平板波导的三层中，光电场沿x方向都是指数形式变化，并且由于在两个界面上场分量及其导数必须匹配，得到的场分布如图所示，无限增大，在物理上不能实现。如图(a)2023/2/1124当----场沿横向为正弦形式，而在覆盖层和衬底内为指数衰减形式，这些模式携带的能量被限制在波导芯层及其表明附近，此为导模。如图(b)(c)当----在芯层和衬底内场沿横向为正弦形式，而在覆盖层内为指数衰减形式。此为衬底辐射模。如图(d)当-----在所有三个区域内光场沿横向方向都是正弦形式，此为波导辐射模，如图(e)n1n2n3bk0n1k0n2k0n32023/2/11272、导模在平板波导中存在两种基本导模，即TE导模和TM导模，TE导模的电场强度平行于波导横截面，TM导模的磁场强度平行于介质波导横截面，平板中的其他光场均可视为这两种模式的线性叠加。（1）TE导模TE导模的场分量有其他分量都为零而：由-----所以只讨论在直角坐标系中所满足的方程为：2023/2/1128平板波导的二维近似：方程标量式：因导模在波导芯层呈驻波分布，在覆盖层和衬底内呈指数衰减，方程的解有如下形式：-----将解的形式代入方程2023/2/1129可得：另：场解必须在x=0和x=-a处满足电场切向分量连续的边界条件，即：而由磁场分量连续（一阶导数连续）可得：2023/2/1130消去可得本征方程与射线光学理论得到的方程完全相同。在覆盖层和衬底中沿着x方向为指数衰减，衰减系数为p,q2023/2/1131平板波导的有效厚度：上述导模光场的分布特性表明：（1）导模光场被限制在波导芯层及其附近，沿着z方向传播，故导模是表面波；（2）高阶模的穿透深度大于低阶模；（3）包层和芯层的折射率相差越大，场在包层中的衰减越快，电磁场集中得越好。（4）模阶数m=节点数（场量为0的点）2023/2/1132对于给定的导模，其时间平均功率流为：式中：Re[]表示取实部，*表示取复共轭，下标z表示沿z方向的分量，积分遍及波导的无限大横截面。2023/2/1133m＝0，1，2模式的波沿波导y方向的电场分布2023/2/1134（2）TM导模TM导模的场分量有:其他场分量：采用与TE导模相似的方法求得TM导模的场分量2023/2/1135相应的场分量由：另：场解必须在x=0和x=-a界面处满足连续的边界条件，可得：本征方程为：如果场分布中的p值变为虚数，则表示场在衬底中沿x方向不再衰减，即出现了衬底辐射模。为导模的截止条件。2023/2/11363、辐射模（1）TE辐射模即：导模截止，出现衬底辐射模。对于TE衬底辐射模，光场在芯层和衬底沿横向均为驻波形式，在覆盖层为衰减形式，场分量表达式为：利用边界条件：简化运算后得到辐射模的本征方程（色散方程）：2023/2/1137与导模不同的是，色散方程得到的是连续谱。波导辐射模，光场在波导芯层、衬底及覆盖层均为驻波形式。利用边界条件可得出波导辐射模也是连续谱。（1）TM辐射模与TE辐射模的讨论方法相同，结果书上P222023/2/11384、泄露模、消失模（1）泄露模---离散谱由前面射线光学理论知道，泄露模场在芯层内沿z方向传输并衰减（传播常数为复数），沿x方向具有部分驻波性质，在衬底和覆盖层内沿z方向传输并衰减，具有导模场的表示式，但与导模不同的是，-----都是复数泄露模场振幅沿芯层表明外法线方向指数递增，不满足无穷远的边界条件，泄露模不是正常模式。所以简正模式展开时，可以略去泄露模。色散方程书上P222023/2/1139（2）消失模------连续谱消失模的入射角为零，场在芯层的上、下界面均有反射和透射，与辐射模相似，但与辐射模不同的是：--------为纯虚数消失模不能沿z方向传输。2023/2/11402.3模式的正交性和完备性平板波导的波动光学理论：

通常采用求解本征值问题的方法，求解平板波导满足边界条件的波动方程，得到平板波导中能够独立传输的简正模光场，而一般光场则可以看成是这些简正波的线性叠加（完备性）。

所以简正模理论指出：平板波导中的简正模式具有稳定性、有序性、叠加性和正交性。（1）模式的正交性导模（离散）的正交性：正交性表明：无损介质波导中每一个模式都独立地传播功率，不同模式之间不能发生能量交换，或者说它们之间是正交的，而波导中的传播的光波场总功率是每一个独立携带的光功率之和。2023/2/1141辐射模（连续谱）的正交性：----为狄拉克函数一维狄拉克函数定义：不在区域V中，在区域V中，2023/2/1142（1）模式的完备性前面知道：导模、辐射模、泄露模和消失模都是平板波导中波动方程的解，都满足平板波导的边界条件。但泄露模不满足无限远处的边界条件，消失模不能沿z方向传输，所以泄露模和消失模不是正常模。在平板波导中，导模和辐射模构成了一个正交、完备的简正模系，平板波导中的任意光场分布都可以看成这组正交模的线性组合。换句话说，在平板波导中传输的任何光波分布，都可以看成这些简正模的光电磁场以一定的振幅、相位分布叠加而成。2023/2/11432023/2/11442.4非理想波导中的模式耦合前面讨论光在理想、无耗平板波导中的传输特性。如果平板波导中存在缺陷或某种扰动，则可以根据波动光学的耦合模理论处理：理想波导的不同简正模式之间可能发生能量转换或耦合，各个模式在传播过程中将发生变化；如果若干个有缺陷的波导彼此之间的距离很近，则一个波导中的部分光能量有可能传到另一个波导中，导致不同波导之间的模式耦合。模式的耦合一方面会引起波导中光传输功率的衰减和传输信号的畸变，而另一方面对于波导中光传输的变换与控制又有非常重要的意义。2023/2/11451、耦合模理论在理想平板波导中，介质的介电常数：当波导存在弯曲、表面皱纹等不完善时，介电常数将随z变化。与z无关可用耦合模理论讨论光在平板波导中的传输特性。耦合模理论的基本思想是：把介电常数的这种变化，看成对理想波导的扰动：-----导致理想平板波导简正模的传输发生变化设：未受微扰波导（理想波导）中传输的简正模为：下标m为模式的阶数其满足波动方程：代入化简得：-------（1）2023/2/1146波动方程：且满足正交性，波导中传输的任意光场可以用简正模的线性组合表示：展开系数为常数。当波导存在微扰时：光波中的电场仍可以表示成理想波导简正模的叠加：其中展开系数：随z变化。代入得到2023/2/1147利用：可得：假定波导扰动很弱，因此模式振幅变化缓慢，上式简化成：2023/2/1148上式两边点乘并对所有的x,y积分，利用简正模的正交性关系，可得：------此为耦合模理论的基本方程；描述了光波沿平板波导传输时各个模式振幅的演变2023/2/1149可见:（1）平板波导中任意第k个模式振幅的演变起因于介质微扰（2）介质微扰的存在，使得第k个模式和第m个模式相关，因此导致平板波导传输的模式之间产生了耦合。（3）只要给出耦合问题中微扰的具体表达式，就可求出平板波导中传输模式的振幅，进而求得具体解。2023/2/11502、周期性平板波导由一个界面的周期性结构造成的周期性平板波导，如图所示。这种周期性平板波导可用于光学滤波器、分布反馈激光器，也是许多集成光学元件的基础。方形波周期性结构：电介质微扰：2023/2/1151其中：利用傅里叶变换，可将电介质微扰表示为：其中：为第l级傅里叶分量，其表达式为：2023/2/1152对于“方形波”平板波导：是标量，周期性结构只能使得TE模与TE模耦合，或者TM模与TM模耦合，必须满足匹配条件：某一第m阶模的传播常数与第k阶模的传播常数满足下列条件：是某一整数。-------此时，第m阶模将与第K阶模经由周期性扰动的第

级傅里叶分量发生共振耦合，不满足这个条件的模式与第k阶模不发生耦合。2023/2/1153（1）、周期性平板波导中的同向耦合在多模波导中，对于沿相同方向传输的某两个模式：以及某个整数,如果表面结构的周期足够大，可以使：只要耦合系数不为零，这两个模式将发生强烈耦合。则这两个耦合模的模式振幅随z的变化可表示为：耦合系数：是电介质微扰的第l级傅里叶分量2023/2/1154相位失配因子：两个模式所携带的总功率应当守恒：即当满足：两模式之间可以发生完全的功率交换，称为相位匹配，此时：从模式1耦合到模式2的功率分数为：2023/2/1155同向模式耦合的功率交换如图所示。P27同向模式耦合还与频率有关，设：是与耦合模相关的模折射率，即：是时的频率，则，频带宽度为：为模折射率之差，通常比n小得多，因此同向耦合的带宽较大。2023/2/1156（2）、周期性平板波导中的逆向耦合若微扰的周期使得s阶模的传播常数和某整数有关系：则s阶模式（）与其反射模()满足相位匹配条件：它们之间发生强烈耦合。逆向耦合方程为：式中：2023/2/1157在微扰区，入射模和反射模所携带的总功率守恒，即：根据逆向耦合波导的边界条件，写出方程的通解，再利用电介质微扰的傅里叶分量，可得到耦合系数。实际上：总是选择周期，使得对某一特定的有当：有：其中：为s阶模的波导波长。周期性波导中入射模与反射模之间的功率交换在微扰区内：入射模的功率沿z方向指数衰减；而反射模的功率则指数上升，这种反射也称为布拉格反射2023/2/1159与同向耦合相同，布拉格反射也与频率有关。其中n为导模的模折射率（即：）带宽：与同向耦合的带宽相比较：因为：所以：以导模的布拉格反射为基础的滤波器带宽很窄。2023/2/11603、波导间的模式耦合波导定向耦合器、波导衰减器等许多无源器件，都是基于这种波导间的模式