曲面及其方程部分

四、二次曲面第三节曲面及其方程

第四节二次曲面一、曲面方程的概念三、旋转曲面

二、柱面1五、二次方程的化简一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离化简得即引例解:

设轨迹上的动点为的点的轨迹方程.2说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,

不在此平面上的点的坐标不满足此方程.轨迹方程3定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,4曲面研究的两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).5故所求方程为例1求动点到定点轨迹方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解：设轨迹上动点为即依题意距离为R的表示上(下)半球面.6例2研究方程

解:

配方得此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是表示怎样的曲面.半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.7二、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy

面上，表示圆C,沿曲线C平行于z

轴的一切直线所形成的曲面故在空间中过此点作平行z

轴的直线l,称为圆柱面.对任意z,表示圆柱面.在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,8定义2.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z轴;准线l为xoy

面上的抛物线.C

叫做准线,l

叫做母线.9

表示母线平行于z轴的平面.(且z轴在平面上)表示母线平行于z

轴的椭圆柱面.10一般地,在三维空间二元方程表示柱面.方程母线准线平行于z

轴在xoy

面x轴yoz

面zox

面y轴图形11定义3一条平面曲线三、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:12建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z

轴旋转时,在曲面上任取一点给定yoz

面上曲线C:则有此时有该点转到13思考：当曲线C

绕y

轴旋转时，方程如何？14例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解：

在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方15例4.求坐标面xoz

上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.16解:绕

x

轴旋转所成曲面方程为绕z轴旋转所成曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.1718空间曲线及其方程一条空间曲线看作两个曲面的交线，设曲面称之为空间曲线的一般式方程.19设有空间曲线C，过曲线C上的每一点作xOy面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于z轴且过C的柱面，称之为曲线C关于xOy面的投影柱面.这个柱面与xOy面的交线称为曲线C在xOy面上的投影曲线，简称投影.由此方程组消去z得到方程H(x,y)=0就是曲线C关于xOy面上的投影柱面方程.20投影柱面与xOy面的交线就是曲线C在xOy面上的投影曲线，即就是曲线C在xOy面上的投影曲线方程.例解：四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)211.椭球面(1)范围：22(2)与坐标面的交线：椭圆23与的交线为椭圆：同样及的截痕也为椭圆.(3)截痕:24(4)当a＝b

时为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面：由看作椭圆绕轴旋转而成．或252.椭圆锥面（二次锥面）263.双曲面(1)单叶双曲面27(2)双叶双曲面28注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:单叶双曲面双叶双曲面294.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)特别,当p=q

时为绕

z轴的旋转抛物面.zxyoxyzo30(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)xyzo31内容小结1.空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.322.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:33五、二次曲面的化简利用化二次型为标准形的方法通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，以进一步判别曲面的类型.34例化为标准方程，并指出它是什么曲面.35解：令则原方程可以写为求出矩阵A的特征值及对应的标准正交向量分别为36令则有即37配方得作平移变换可得这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个圆锥面.斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yoz

面的平面

圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面