模糊信息处理

模糊信息处理北京科技大学目录模糊模式识别1模糊聚类3模糊决策4模糊控制21、模糊模式识别模糊识别基本方法1模糊模式识别应用21.1、模糊识别基本方法根据给定的某个模型特征来识别它所属的类型问题称为模式识别。例如，给定一个手写字符，然后根据标准字模来辨认它。模式识别是通过已知的各种模型来识别给定对象属哪一类模型的问题。模式识别通常采用统计方法、语言方法和模糊识别方法。模糊识别方法主要建立在“最大隶属原则”和“择近原则”的基础之上。最大隶属原则：设A1,A2,…,An是论域X中的n个模糊集合——标准模型。对于给定的待识别对象x0∊X，如果存在一个i∊{1,2,…,n}，使得 Ai(x0)=max{A1(x0),A2(x0),…,An(x0)}

则认为x0相对隶属于Ai。1.1、模糊识别基本方法例将人分为老、中、青三类，它们分别对应于三个模糊集合A1，A2，A3，其隶属函数分别为①现有某人45岁，因A1(45)=0,A2(45)=1,A3(45)=0,故有 max{A1(45),A2(45),A3(45)}=A2(45)，即此人应属于中年人②当x=30岁，A1(30)=0,A2(30)=0.5,A3(30)=0.5，故有

max{A1(30),A2(30),A3(30)}=A2(30)＝A3(30)，即对于30岁的人，既可以认为是青年人，也可以认为是中年人。1.1、模糊识别基本方法例三角形识别。用三元组(A,B,C)表示一个三角形，A、B、C分别是三角形的三个内角，且A≥B≥C。则三角形集合为X={(A,B,C)|A+B+C=180°}

现考虑五类三角形，并将其作为模型——论域X中的五个模糊集合。 ①等腰三角形模糊集合I：隶属函数为

I(A,B,C)=1-min{(A-B),(B-C)}/60 ②直角三角形模糊集合R：隶属函数为

R(A,B,C)=1-|A-90|/90 ③等腰直角三角形模糊集合IR：因IR＝I∩R，故隶属函数为

IR(A,B,C)=min{I(A,B,C),R(A,B,C)} =1-max{min{(A-B),(B-C)}/60,|A-90|/90} ④正三角形模糊集合E：隶属函数为

E(A,B,C)=1-(A-C)/180 ⑤其它三角形模糊集合T：因T=~(I∪E∪R)=~I∩~E∩~R,故

T(A,B,C)=min(3(A-B),3(B-C),2|A-90|,A-C}/180

1.1、模糊识别基本方法假设给定一个三角形x0=(85,50,45)，计算其对各个模型的隶属度

I(x0)=0.916 R(x0)=0.94 IR(x0)=0.916 E(x0)=0.7 T(x0)=0.005按最大隶属原则，应判定x0近似为直角三角形。

1.1、模糊识别基本方法择近原则：设A1,A2,…,An是论域X中的n个模糊集合——标准模型，对于给定的待识别对象B(X中的模糊集合),若存在k，使得

①σ(Ak,B)=max{σ(A1,B),σ(A2,B),…,σ(An,B)},其中σ(Ai,B)表示B对Ai的贴近度，则认为B与Ak最相似；或 ②d(Ak,B)=min{d(A1,B),d(A2,B),…,d(An,B)},其中d(Ai,B)表示B与Ai的距离，则认为B与Ak最相似。1.1、模糊识别基本方法例设X为6个元素的集合，并设标准模型由以下模糊向量组成 A1=(1,0.8,0.5,0.4,0,0.1) A2=(0.5,0.1,0.5,1,0.6,0) A3=(0,1,0.2,0.7,0.5,0.8) A4=(0.4,0,1,0.9,0.6,0.5) A5=(0.8,0.2,0,0.5,1,0.7) A6=(0.5,0.7,0.8,0,0.5,1)现给定一个待识别的模糊向量B=(0.7,0.2,0.1,0.4,1,0.8)问B与哪个标准模型最相似？采用最大/最小贴近度计算：

σ(B,A1)=0.3333 σ(B,A2)=0.3778 σ(B,A3)=0.4545 σ(B,A4)=0.4348 σ(B,A5)=0.8824 σ(B,A6)=0.4565依据择近原则，得B与A5最相似。1、模糊模式识别模糊模式识别应用2模糊识别基本方法11.2、模糊模式识别应用几何图形识别识别三角形识别四边形用A、B、C、D表示四边形的四个内角,a、b、c、d表示四边形的四条边。①梯形B： B(x)=1-ρT×min{|A+B-180°|,|B+C-180°|}/180°

其中ρT为常数，通常可取1。②矩形RE：RE(x)=1-ρRE×[(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)]/90°

其中ρRE为常数，通常可取1。③平行四边形P：P(x)=1-ρP×max{|A-C|,|B-D|}/180°其中ρP为常数，通常可取1。④菱形RH： RH(x)=1-ρRH×max{|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|}/s

其中ρRH为某一常数，s=a+b+c+d1.2、模糊模式识别应用几何图形识别识别多边形设多边形的边和角分别为ai，Ai（i=1,2,…,n)①n边等边多边形SD：

SD(x)=1-ρSD×max{|a1-a2|,|a2-a3|,…,|an-a1|}/s

其中ρSD为某一常数，②n边等角多边形AG：AG(x)=1-ρAG×max{|A1-[180°(n-2)/n]|,…,|An-[180°(n-2)/n]|}/180°

其中ρAG为某一常数。1.2、模糊模式识别应用例染色体识别。如图给出了几种染色体的一般形状，它们可以作为识别染色体的标准模型。根据这些染色体形状的共有特征，先对其做统一的前处理，视其为下图表示的六边形。一种特殊的染色体称之为“对称染色体”,具有：a1=a2,a3=a4,A2i-1=A2i(i=1,2,3,4)。这种染色体也可作为识别的标准模型，视其为模糊集合S，则另外三个标准模型为模糊集合M、SM、AC：

A1A2A3A4A5A6a1a2a3a4a5对于任意一个染色体x，应首先进行前处理，用一组线段将其外形勾画出一个六边形，再根据边ai、角Ai计算隶属度，最后由最大隶属原则判断x属于哪类染色体。1.2、模糊模式识别应用文字识别书写规范中含有极大的模糊性。将模糊数学引入模糊识别后，机器文字识别问题有了很大的进展。1.2、模糊模式识别应用例在计算机中存放十个阿拉伯数字的标准模型。例如下图a是数字6的标准字模。它由一个5×4的点阵刻画，将其转化为机器可识别的0、1数据：对于任何一小方格，若被某一笔画覆盖，则将用1表示，否则用0表示。则数字“6”其对应的字模矩阵为：假设现有一个待识别的手写如图b所示，识别时，首先将其转化成字模矩阵B，则识别问题属于一种群体识别问题，可采用择近原则进行识别。在实际应用中，为了更精确的识别文字，通常选用更大的字模点阵，例如9×18、16×16、24×24甚至更大。计算量随之大幅度增加。对于图像识别，例如照片、指纹等，也可以采用原理相同的方法，采用[0,1]间的实数表示图像中的灰度，从而得出模型矩阵和识别对象矩阵（都是模糊矩阵）。ab模糊信息处理模糊控制2模糊聚类3模糊决策4模糊模式识别12、模糊控制模糊控制基础1模糊控制应用实例22.1、模糊控制基础设有一个储水器K，具有可变水位x，调节阀y能够向K中注水或从K向外排水。现需要设计一个控制器，通过调节阀y将水位稳定在零点附近。根据操作者的经验，对水位的控制可有以下的控制策略：①若x较0大得多(称为正大，记为PB),则y大量排水(称为负大，记为NB)；②若x较0稍大(称为正小，记为PS),则y小量排水(称为负小，记为NS)；③若x与0相等，则y保持不动(记为y=0)；④若x较0稍小(称为负小，记为NS)，则y小量注水(称为正小，记为PS)；⑤若x较0小得多(称为负大，记为NB)，则y大量注水(称为正大，记为PB)。根据这些，可以设计出描述控制规则模糊集合R。右图给出了模糊控制器的框图。通过某些手段对受控对象逐次进行观测取得观察量——模糊集合A，再按一定的控制规则R便可以得到控制量B=A•R。控制量B也是一个模糊集合，它为控制器对当前情况的确切响应动作的确定提供依据。实现模糊控制需要三个基本步骤：①模糊化；②建立模糊控制规则，构造模糊变换器；③模糊判决。控制规则R控制量B观察量A受控对象模糊控制器2.1、模糊控制基础1、模糊化：实际控制问题中，观测值及控制量常常是确切的值，需要将其转化为模糊集合，即模糊化。模糊化分两部分进行：①将观测量论域中的语言值表示成模糊集合；②确定论域的划分。将语言值表示成模糊集合可以主观地定义，通常将连续的论域通过划分等级的方法先离散化，然后在在此论域上定义语言值的模糊集合。例如，假设在实际中“误差”的论域为X＝[-6,6]，将其离散化后为X={x|x=-6,-5,…,5,6},用模糊集合A表示“误差”的语言变量，它有7个元素——语言值：负大、负中、负小、零、正小、正中、正大。A的隶属函数如下表所示。-6-5-4-3-2-10123456负大负中负小零正小正中正大10.2000000.80.8000000.310.100000.10.80.7000000.210.1000000.80.8000000.210.2000000.80.7000000.110.2000000.70.80.100000.210.3000000.70.8000000.312.1、模糊控制基础隶属函数曲线划分法：假设论域X上的语言变量A取5个语言值：A1、A2、A3、A4、A5，其隶属函数如下图所示。图中N1、N2、N3、N4为5条曲线的交点，我们定义各交点的横坐标为划分界限(-∞,x1]隶属于A1，(x1,x2]隶属于A2，(x2,x3]隶属于A3，(x3,x4]隶属于A4，(x4,∞)隶属于A5，从而得到论域X的一个划分。x1x2x3x4xA1(x)0N4A2(x)A3(x)A4(x)A5(x)N3N2N12.1、模糊控制基础2、建立模糊控制规则和模糊变换器模糊条件语句的表示方法：①若A则B： R=AT∙B R(x,y)=A(x)∧B(y)此模糊条件语句适用于单观测量、单控制量的情况。②若A且B则C： R=s(D)∙C其中s(D)表示将矩阵D“拉直”为单列，而

D=AT∙B R(x,y,z)=A(x)∧B(y)∧C(z)此模糊条件语句适用于双观测量、单控制量的情况。③若A则B1，否则B2： R=AT∙B1∪~AT∙B2 R(x,y)=[A(x)∧B1(y)]∨[~A(x)∧B2(y)]此模糊条件语句适用于单观测量、单控制量的情况。2.1、模糊控制基础2、建立模糊控制规则和模糊变换器（续）④若A1则B1，否则若A2则B2，……，否则若An则Bn：此模糊条件语句适用于多观测量、多控制量的情况。⑤若A1且B1则C1，否则若A2且B2则C2，……，否则若An且Bn则Cn：其中s(Di)表示将矩阵D”拉直”为单列，而 Di=AiT∙Bi此模糊条件语句适用于多观察窗量、多控制量的情况。2.1、模糊控制基础2、建立模糊控制规则和模糊变换器（续）例1：设X={a,b,c},Y={!,@,#},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B为

A={(a,1.0),(b,0.5),(c,0.1)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,1.0)}模糊关系R：”若A则B”表示为：2.1、模糊控制基础2、建立模糊控制规则和模糊变换器（续）例2：设X={a,b},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A,Y中的模糊集合B和Z中的模糊集合C为

A={(a,1.0),(b,0.6)} B={(!,0.2),(@,0.7),(#,1.0)} C={($,0.3),(%,1.0)}则这样，模糊关系R：”若A且B则C”表示为：2.1、模糊控制基础2、建立模糊控制规则和模糊变换器（续）例3：设X={a,b,c},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B、C为

A={(a,0.2),(b,0.4),(c,0.9)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,0.3)} C={(!,0.9),(@,0.3),(#,0.7)}则模糊关系R：”若A则B否则C”表示为：2.1、模糊控制基础3、模糊判别方法由于经模糊控制系统得到的控制量是一个模糊集合，而系统的最终响应必须是确定的，所以对观测量进行模糊变换后，必须进行模糊判决。模糊判决方法：①最大隶属原则法根据最大隶属原则，取模糊集合中隶属函数值最大的点作为系统的确切响应。若模糊集合中隶属度最大值有多个时，有两种情况：隶属度为最大值的元素为相连的若干个元素。隶属函数表现为曲线具有一个平顶，取平顶中点所对应的论域中元素作为确切响应。隶属度为最大值的元素不相接。最大隶属原则法失效。最大隶属原则法的特点是能够突出主要信息，简单直观。缺点是不考虑其他所有次要信息，判别方法比较粗糙。2.1、模糊控制基础3、模糊判别方法（续）②中位数判决法论域X中将隶属函数曲线与横坐标围成的面积平分为两部分的元素x*称为中位数。将模糊控制量的模糊集合之中位数取做系统的确切响应称为“中位数判决法”。令X={x1,x2,…,xn},B为模糊控制量，则中位数xk满足例：设模糊控制量为{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.2),(2,0.4),(3,0.5),(4,0.1)}由于0.1+0.5+0.1+0.1+0.2=0.4+0.5+0.1所以取xk=1，即选1为系统的确切响应。例：设模糊控制量为{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.4),(2,0.5),(3,0.1),(4,0.2)}则1/2面积为：S=(0.1+0.5+0.1+0.1+0.4+0.5+0.1+0.2)/2=1由于0.1+0.5+0.1+0.1=0.80.1+0.5+0.1+0.1+0.4=1.2所以中位数x*在0与1之间，可以采用线性插值的方法，得x*＝0.52.1、模糊控制基础3、模糊判别方法（续）③加权平均法记论域X＝{x1,x2,…,xn},B为模糊控制量，wi为xi的权重(i=1,2,…,n)。若系统的确切响应取元素的加权平均值则称为“加权平均法”。加权平均法的关键在于权系数的选取。元素的隶属度是常用的一种权系数选取方法，这时有例：设模糊控制量为{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0),(-1,0.1),(0,0.6),(1,0.3),(2,0.2),(3,0.1),(4,0.1)}取元素的隶属度为权系数，则系统的确切响应为：x*=-0.6/2=-0.32、模糊控制模糊控制应用实例2模糊控制基础12.2、模糊控制应用实例以水位控制问题为例(1)模糊化①观测量：用水位对于0点的偏差x∊X表示 X={-3,-2,-1,0,1,2,3}即采用等级单位来描述水位偏差。记水位模糊观测量为5个模糊集合：PBx(正大)、

PSx(正小)、Ox(零)、

NSx(负小)、

NBx(负大)，它们的隶属函数如右表所示。②控制量：用调节阀角度增量y∊Y表示

Y={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}记调节阀模型控制量为5个模糊集合：PBy(正大)、

PSy(正小)、Oy(零)、

NSy(负小)、

NBy(负大)，它们的隶属函数如右表所示。-3-2-10123PBx000000.51PSx000010.50Ox000.510.500NSx00.510000NBx10.500000-4-3-2-101234PBy0000000.20.51PSy000000.510.50Oy000.20.510.50.200NSy00.510.500000NBy10.50.20000002.2、模糊控制应用实例(2)建立模糊控制规则，构造模糊变换器对水位的控制采用以下控制规则：①若x较0大得多(称为正大，记为PBx),则y大量排水(称为负大，记为NBy)；②若x较0稍大(称为正小，记为PSx),则y小量排水(称为负小，记为NSy)；③若x与0相等(0x)，则y保持不动(0y)；④若x较0稍小(称为负小，记为NSx)，则y小量注水(称为正小，记为PSy)；⑤若x较0小得多(称为负大，记为NBx)，则y大量注水(称为正大，记为PBy)。根据控制规则，得到控制规则表按照控制规则表，得到模糊关系变换器R——从X到Y的模糊关系 R=(NBx∙PBy)∪(NSx∙PSy)∪(0x∙0y)∪(PSx∙NSy)∪(PBx∙NBy)若PBxPSx0xNSxNBx则NByNSy0yPSyPBy2.2、模糊控制应用实例2.2、模糊控制应用实例2.2、模糊控制应用实例对于任一观测量x,可得到模糊控制量y=x∙R例如，有观测量x0=PSx=[000010.50]，则模糊控制量为y0=x0∙R=[0.50.510.50.50.50.200]2.2、模糊控制应用实例(3)模糊判决

采用最大隶属原则法。对于观测量x0所得的控制量y0y0={(-4,0.5),(-3,0.5),(-2,1),(-1,0.5),(0,0.5),(1,0.5),(2,0.2),(3,0),(4,0)}

确切响应取-2级。模糊信息处理模糊聚类3模糊控制2模糊决策4模糊模式识别13、模糊聚类聚类分析是对事物按不同水平进行分类的方法。换言之，聚类分析是将事物根据一定的特征，并且按某种特定的要求或规律进行分类的方法。聚类分析的对象是尚未分类的群体。例如，对一个班的学生学习成绩做“优”、“良”、“一般”、“差”四个等级的分类；工厂检验科将某种产品按质量分为“特等品”、“一等品”、“二等品”、“等外品”和“次品”等等。对带有模糊特征的事物进行聚类分析，采用模糊数学的方法，称其为模糊聚类分析。模糊聚类分析的方法大致分为三大类：系统聚类法：是一类基于模糊关系的分类法。其中包括基于模糊等价关系的聚类方法（传递闭包法）、基于模糊相似关系的聚类方法（直接法）、最大树法（直接法）等等；逐步聚类法（迭代聚类法、ISODATA法）；混合法：通过参考数据的分布规律及某些经验、要求等进行分类。3、模糊聚类模糊聚类分析的基本步骤1传递闭包法2直接聚类法33.1、模糊聚类分析的基本步骤系统聚类法的基本步骤是：标定过程：由原始统计数据构造模糊相似关系矩阵R；聚类过程：根据标定生成的模糊相似矩阵R，按各种不同的水平对分类事物进行划分。标定过程：记要构造的相似矩阵为R=(rij)，(i,j=1,2,…,n)设论域U={x1,x2,…,xn}为待分类事物的全体，而每一分类对象xi是由R中一组元素ri1,ri2,…,rim来表征。通常根据实际情况，可选用以下方法：⑴数量积法3.1、模糊聚类分析的基本步骤⑵相似系数法其中⑶夹角余弦法3.1、模糊聚类分析的基本步骤⑷指数相加法其中⑸明可夫斯基法其中C、a是两个适当选择的常数，它们应使得0≤rij≤1；d(xi,xj)为明可夫斯基距离，常采用的有海明距离、欧几里得距离。特别地，当选用海明距离且取a=1时⑹兰氏距离法其中a为适当选择的常数3.1、模糊聚类分析的基本步骤⑺绝对指数法其中⑻绝对值倒数法⑼最大最小法此法适用于xik∊[0,1]时的情况。3.1、模糊聚类分析的基本步骤⑽算术平均最小法⑾几何平均法⑿主观评定法有实际经验者直接对xi与xj的相似程度评分，作为rij的值。3、模糊聚类传递闭包法2模糊聚类分析的基本步骤1直接聚类法33.2、传递闭包法模糊等价矩阵能对论域进行等价划分。通常情况下，标定过程构造出的模糊关系仅满足自反性和对称性，而不满足传递性。在模糊相似矩阵的基础上生成模糊等价矩阵，求该模糊矩阵的传递闭包t(R),可以等到一个模糊等价矩阵。采用传递闭包法进行聚类的过程，归纳为以下两个步骤：①生成等价模糊矩阵：由R求闭包生成模糊等价矩阵；②划分：从大到小，依次取实数λ∊[0,1]，计算Rλ，再根据Rλ对X进行等价划分。最后便得到不同水平下对事物的分类及其“聚类图”。3.2、传递闭包法例环境单元分类。每个环境单元包括四个要素：空气、水份、土壤和作物，而环境单元的污染状况可由污染物在四个要素中含量的超限度来描述。下表是对5个环境单元的污染状况所做的记录。环境单元空气xi1水份xi2土壤xi3作物xi4a5532b2345c5523d1531e24313.2、传递闭包法取论域X={a,b,c,d,e},按C=0.1时的绝对值减数法构造模糊相似矩阵得用逐步平方法计算R的传递闭包t(R)得依次取t(R)的λ截矩阵，并且根据它对X进行等价划分此等价布尔矩阵将X划分为5类：{a},{b},{c},{d},{e}；此等价布尔矩阵将X划分为4类：{a,c},{b},{d},{e}；3.2、传递闭包法此等价布尔矩阵将X划分为3类：{a,c},{b},{d,e}；此等价布尔矩阵将X划分为2类：{a,c,d,e},{b}；此等价布尔矩阵将X划分为1类：{a,b,c,d,e}。可以看出，随着λ值由1向0减小，划分越来越村，等价类由单元集最终演变为全集。聚类图如下：abcdeλ=1λ=0.8λ=0.6λ=0.5λ=0.43、模糊聚类直接聚类法3模糊聚类分析的基本步骤1传递闭包法23.3、直接聚类法当模糊相似矩阵的阶数较高时，采用传递闭包法进行分类计算量较大。直接聚类法不必求模糊相似矩阵的传递闭包。步骤为：①取λ1=1(R中的最大值),对论域中所有元素xi构造相似类[xi]R={xj|rij=1},即将满足rij=1的xi和xj归为同一个类，构成相似类。对于两个交集不空的相似类，应当将其归并为一个相似类——取它们的并集。这样得到关于R的传递闭包t(R)对应于λ1的等价划分。②取λ2为R中的次最大值，并从R中找出相似程度为λ2的元素对(xi,xj),即rij=λ2。然后将取λ1＝1时所得到的所有划分中含有xi与含有xj的等价类归并(取其并集)。对所有这类元素进行归并后，便得到了关于R的传递闭包t(R)对应于λ2的等价划分。③取λ3为R中的第三大值，操作同②，最后等到关于R的传递闭包t(R)对应于λ3的等价划分。④重复以上方法，直到X被归并成单个等价类。另外，由于模糊相似矩阵总是对称的，所以在计算过程中，只需考虑该矩阵关于主对角线的上（或下）三角区域中的元素。3.3、直接聚类法例设X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},现有模糊相似关系①λ1＝1，因为r13和r35为1，故得相似类{x1,x3},{x2},{x3,x5},{x4},{x6},{x7}但第一个和第三个相似类中有公共元素x3，所以应当归并为一类，最后得λ1＝1的等价划分为：{x1,x3,x5},{x2},{x4},{x6},{x7}②λ2＝0.8(R中次大值)。因为r12、r15、r46和r67为0.8，故将前面所得的等价类中x1所在类和x2所在类归并，x4和x6所在类归并，x6和x7所在类归并。最后得到对应于λ2＝0.8的等价划分{x1,x2,x3,x5},{x4,x6,x7}③λ3＝0.7(R中第三大值)。因为r34=0.7,故应将前面得到的等价类中x3所在类和x4所在类归并，最后得到对应于λ3＝0.7的等价划分{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}所得等价类包含了论域X中的所有元素，计算终止。3.3、直接聚类法例①λ1＝1：由于仅有主对角线上的元素为1，故得等价类均为单元集：{a},{b},{c},{d},{e}②λ2＝0.8(R中次大值)：在R中，r13=0.8,故将前面所得等价类中x1所在类和x3所在类归并得：{a,c},{b},{d},{e}③λ3＝0.6(R中第三大值)：在R中，r45=0.6,故将前面所得等价类中x4所在类和x5所在类归并得：

{a,c},{b},{d,e}④λ4＝0.5(R中第四大值)：在R中，r14=0.5,故将前面所得等价类中x1所在类和x4所在类归并得：

{a,c,d,e},{b}⑤λ5＝0.4(R中第五大值)：在R中，r25=0.4,故将前面所得等价类中x2所在类和x5所在类归并得：

{a,b,c,d,e}所得等价类包含了论域X中的所有元素，计算终止。模糊信息处理模糊决策4模糊控制2模糊聚类3模糊模式识别14、模糊决策

主要介绍模糊映射、模糊变换及模糊方程在模糊决策众多应用。从数学的观点看，决策的目的就是要将论域中的对象进行排序，或者按照某种方法从论域中选出最优对象。

4、模糊决策综合评判1二元对比排序方法2意见集中34.1、综合评判综合评判问题又称“综合决策问题”，它解决的问题是在考虑多种因素的影响下对某种事物做出综合决策。设X={x1,x2,…,xn}为n种因素，Y={y1,y2,…,ym}为m种决断。在对某事物进行决策时，由于各种因素受到人的主观因素影响，所以不同类型的人做出的决断也会有所差异。事实上，Y中的m种决断本身常常是具有模糊性的，因此综合决断应当是Y中的一个模糊集合:B={b1,b2,…,bm},其中bi反映了第i种决断yi对模糊集合B的隶属度——在综合决断中的地位。综合决断B依赖于各种因素的权重分配，它可以视为论域X的模糊集合A=(a1,a2,…,an)(为适合于模糊计算，一般要求A的分量和为1),其中ai描述了第i种因素的权重。给定一个权重分配集合A，应当有一个相应的综合决断B，因而需要建立一个从X到Y的模糊变换R。综合决策的熟悉模型涉及三个要素： ①因素集合X={x1,x2,…,xn} ②决断集合Y={y1,y2,…,ym} ③单因素决断R=(rij)n×m综合评判问题的数学描述是

B=A∙R4.1、综合评判综合评判问题已知权重分配集合A，求以A权衡诸因素时，应当做出的决断B=A∙R例现对某种试销服装进行评价，以对最终的投产量决策提供科学依据。设

X={花色样式，耐穿程度，价格费用} Y={很好，较好，较差，很差}设请若干人员对该服装进行单因素评价后，就“花色样式”项考虑，有20％的人认为很好，有70％的人认为较好，10％的人认为较差。于是 花色样式:(0.2,0.7,0.1,0)类似地有 耐穿程度:(0,0.4,0.5,0.1)

价格费用:(0.2,0.3,0.4,0.1)综合所有单决断集合，导出模糊关系4.1、综合评判现假设有两类顾客，他们对X中给出的诸因素权重分配为

A1={0.2,0.5,0.3} A2={0.5,0.3,0.2}

则可求得他们对这种服装的综合评价为

B1={0.2,0.4,0.5,0.1} B2={0.2,0.5,0.3,0.1}

若按最大隶属原则判断，第一类顾客对此服装的评价为“较差”，第二类顾客对此服装的评价为“较好”。另外，经计算得到的综合评价向量一般不能保证其各分量之和为1，所以有时需要对其进行“归一化”：

B’=(b1/S,b2/S,…,bm/S)其中4.1、综合评判综合评判逆问题已知综合决断B，求作出此决断所依赖的因素权重A。综合评判逆问题实质上是求解模糊关系方程A∙R=B。问题：①模糊关系方程无解；②模糊关系方程在有多个解的情况下，应当选择那个解。近似处理方法：假设已有一组备择的权重分配方案U={A1,A2,…,AS}，从中选择一个最佳的权重分配方案Ai，使得由Ai所决定的综合决断Bi=Ak∙R与已知的B最为接近。可采用贴近度解决该问题。4.1、综合评判例假设已知综合评断B={0.2,0.5,0.4,0.1}以及模糊关系现有备择权重分配方案A1=(0.2，0.5，0.3)A2=(0.5，0.3，0.2)A3=(0.2，0.3，0.5)试从{A1,A2,A3}中选择出最佳权重分配方案。首先计算各备择权重分配方案对应的综合决断

B1=A1∙R=(0.2,0.4,0.5,0.1)B2=A2∙R=(0.2,0.5,0.3,0.1)B3=A3∙R=(0.2,0.3,0.4,0.1)采用最大/最小贴近度σ(B1,B)=(0.2+0.4+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.5+0.1)=1.1/1.3=0.846σ(B2,B)=(0.2+0.5+0.3+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1.1/1.2=0.917σ(B3,B)=(0.2+0.3+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1/1.2=0.833所以A2=(0.5，0.3，0.2)为最佳权重分配方案。4、模糊决策二元对比排序方法2综合评判1意见集中34.2、二元对比排序方法1、相对比较法二元相对比较矩阵：设论域X={x1,x2,…,xn}，对于X中任意的两个元素xi和xj，定义“二元相对比较级”为正数： fj(xi)表示xi相对xj而言所具有的优点， fi(xj)表示xj相对xi而言所具有的优点。另外，规定fi(xi)=1。下表所示为一种二元相对比较级：二元相对比较矩阵为元素x、y相比较说明fx(y)fy(x)x与y”同等重要”对于某一性质x、y具有相同贡献11x比y”稍微重要”x的贡献稍大于y，但不明显13x比y”重要”x的贡献大于y，比较明显15x比y”重要得多”x的贡献明显大于y17x比y”绝对重要”x的贡献绝对大于y(最高等级)19x比y处于两相邻判断之间需要两个判断的折衷12,4,6,8之一4.2、二元对比排序方法相对比较法计算步骤：①计算二元相对比较矩阵；②构造“模糊相及矩阵”：

其中f(xi|xj)称为“相对函数”，它的定义为：③选取Ψ中各行最小元素，记yi表示第i行最小元素；④令yk=max{y1,y2,…,yn},则取xk为第一优越对象；⑤删除Ψ的第k行和第k列，得n-1阶模糊相及矩阵，重复③、④、⑤n次；⑥将各次所得的第一优越对象顺序排列便是排序结果。4.2、二元对比排序方法例设X＝{a,b,c},经两两比较得二元比较级fb(a)=8fa(b)=5fc(b)=4fb(c)=7fc(a)=5fa(c)=3则二元相对比较矩阵为：由此得模糊相及矩阵为Ψ中各行最小元素的最大者是第一行的1，它对应的元素a是第一优越对象，删除第一行和第一列，得Ψ1中各行最小元素的最大者是第二行的1，它对应的c是第二优越对象。所以第三优越对象是b。则本例的排序结果为a，c，b。4.2、二元对比排序方法2、模糊优先关系定序法设X={x1,x2,…,xn},按某种特性在X中建立模糊关系 C＝(cij)n×n其中，元素cij表示xi比xj优越的程度，并且要求 (1)cij+cji=1 (