数值计算方法期末考试题

..

一、单项选择题〔每小题3分,共15分1.3.142和3.141分别作为的近似数具有〔和〔位有效数字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求积公式,则＝〔A．

B．

C．

D．3.通过点的拉格朗日插值基函数满足〔

A．＝0,

B．＝0,

C．＝1,

D．＝1,4.设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有〔

敛速。

A．超线性

B．平方

C．线性

D．三次5.用列主元消元法解线性方程组

作第一次消元后得到的第3个方程〔

.

A．

B．

C．

D．单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题〔每小题3分,共15分

1.设,则

,

.

2.一阶均差

3.已知时,科茨系数,那么

4.因为方程在区间上满足

,所以在区间内有根。5.取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式

.填空题答案1.

9和2.

3.

4.

5.

三、计算题〔每题15分,共60分1.已知函数的一组数据：求分段线性插值函数,并计算的近似值.tm"计算题1.答案1.

解,

,所以分段线性插值函数为

2.已知线性方程组〔1

写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；〔2

对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算〔保留小数点后五位数字.计算题2.答案

1.解原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德尔迭代公式得3.用牛顿法求方程在之间的近似根〔1请指出为什么初值应取2？〔2请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001.计算题3.答案

3.解,,,,,故取作初始值迭代公式为,,,,

方程的根4.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分.计算题4.答案4解

梯形公式

应用梯形公式得

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

四、证明题〔本题10分确定下列求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数,即,将分别代入求积公式,并令其左右相等,得

得,。所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

故具有三次代数精确度。

一、

填空〔共20分,每题2分1.设,取5位有效数字,则所得的近似值x=

.2.设一阶差商,

则二阶差商3.设,则

,

。4．求方程

的近似根,用迭代公式,取初始值,那么

5．解初始值问题近似解的梯形公式是

6、,则A的谱半径＝

。7、设

,则

和

。

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都

。9、解常微分方程初值问题的欧拉〔Euler方法的局部截断误差为

。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成

。填空题答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收敛9、

10、二、计算题

〔共75分,每题15分1．设

〔1试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。

〔2写出余项的表达式计算.zjnu/szfx/material/mnst/t2.htm"题1.答案1、〔1

〔22．已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛？计算e.zjnu/szfx/material/mnst/t2.htm"题2.答案2、由,可得,

3．试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案3、,该数值求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

〔提示：利用Simpson求积公式。计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分,得,记步长为h,对积分用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：5．

利用矩阵的LU分解法解方程组计算题5.答案5、解：三、证明题〔5分1．设

,证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、

一、填空题〔20分<1>.设是真值的近似值,则有

位有效数字。<2>.对,差商<

>。<3>.设,则

。<4>.牛顿—柯特斯求积公式的系数和

。填空题答案〔13

〔21

〔37

〔41二、计算题1>.〔15分用二次拉格朗日插值多项式的值。

插值节点和相应的函数值是〔0,0,〔0.30,0.2955,〔0.40,0.3894。计算3.htm"题1.答案12>.〔15分用二分法求方程区间内的一个根,误差限。计算题2.答案2>

3>.〔15分用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代三次<要求按五位有效数字计算>.。计算题3.答案

3迭代公式

4>.〔15分求系数。计算题4.答案45>.<10分>对方程组

试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由计算题5.答案

5>解：调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：.

三、简答题1>〔5分在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法,为什么?2>〔5分先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。简答题答案1凭你的理解去叙述。2参看书本99页。一、填空题〔20分1.若a=2.42315是2.42247的近似值,则a有<

>位有效数字.2.

是以为插值节点的Lagrange插值基函数,则

<

>.3.

设f<x>可微,则求方程的牛顿迭代格式是<

>.4.

迭代公式收敛的充要条件是

。5.解线性方程组Ax=b<其中A非奇异,b不为0>的迭代格式中的B称为<

>.给定方程组,解此方程组的雅可比迭代格式为<

>。填空题答案1．32.

3.4.

5.迭代矩阵,

二、判断题〔共10分1.

若,则在内一定有根。

<

>2.

区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。

<

>3.

若方阵A的谱半径,则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。

<

>4.

若f<x>与g<x>都是n次多项式,且在n+1个互异点上,则。

<

>5.

用近似表示产生舍入误差。

<

>判断题答案1.×

2.×

3.×

4.√

5.×三、计算题〔70分1.

〔10分已知f<0>＝1,f<3>＝2.4,f<4>＝5.2,求过这三点的二次插值基函数l1<x>=<

>,=<

>,插值多项式P2<x>=<

>,用三点式求得<

>.计算"题1.答案1．2.〔15分已知一元方程。1求方程的一个含正根的区间；2给出在有根区间收敛的简单迭代法公式<判断收敛性>；3给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案2.〔1〔2〔33.〔15分确定求积公式

的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.计算题3.答案4.〔15分设初值问题

.

<1>

写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；<2>

写出用改进的Euler法〔梯形法、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式,并求解,保留两位小数。/material/mnst/t4.htm"计算题4.答案4.5.〔15分取节点,求函数在区间上的二次插值多项式,并估计误差。计算题5.答案5．

=1+2<

,一、填空题<每题4分,共20分>1、数值计算中主要研究的误差有

和

。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则

；

。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为

；插值型求积公式中求积系数

；且

。4、辛普生求积公式具有

次代数精度,其余项表达式为

。5、则。填空题答案1.相对误差

绝对误差2.

13.至少是n

b-a4.3

5.1

0二、计算题1、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式,并计算的近似值。计算题1.答案解：差商表由牛顿插值公式：2、〔10分利用尤拉公式求解初值问题,其中步长,。计算题2.答案解：3、〔15分确定求积公式。中待定参数的值,使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案解：分别将,代入求积公式,可得。令时求积公式成立,而时公式不成立,从而精度为3。4、〔15分已知一组试验数据如下：求它的拟合曲线〔直线。计算题4.答案解：设则可得于是,即。5、〔15分用二分法求方程在区间内的根时,若要求精确到小数点后二位,<1>需要二分几次；<2>给出满足要求的近似根。计算题5.答案解：6次；。6、〔15分用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案解：即一、填空题〔25分1>.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值,则x*有

位有效数字。2>.

,

。3>.求方程根的牛顿迭代格式是

。4>.已知,则

,

。5>.方程求根的二分法的局限性是

。填空题答案14；

21,0；

3；47,6；5收敛速度慢,不能求偶重根。二、计算题1>.〔15分已知<1>用拉格朗日插法求的三次插值多项式；<2>求,使。计算题1.答案解：2>.〔15分试求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。计算题2.答案解：由等式对精确成立得：

,解此方程组得

又当时

左边右边

此公式的代数精度为23>.〔15分取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题

计算题3.答案3梯形法为即

迭代得

4>.〔15分用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.计算题4.答案解：先选列主元,2行与1行交换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得5>.〔15分用牛顿<切线>法求的近似值。取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。计算题5.答案

5>.解：是的正根,,牛顿迭代公式为,

即

取x0=1.7,列表如下：一、填空题<每题4分,共20分>1、辛普生求积公式具有

次代数精度,其余项表达式为

。2、则。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为

；插值型求积公式中求积系数

；且

。4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则

；

。5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为

和

。填空题答案1、3

2、

3、

14、至少是n

5、

二、计算题1、〔10分已知数据如下：

求形如拟合函数。计算题1.答案解：2、〔15分用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。计算题2.答案解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得

。3、〔15分利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长。计算题3.答案

解：4、〔15分已知<1>推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；<2>指明求积公式所具有的代数精度；<3>用所求公式计算。计算题4.〔1答案计算题4.〔2&〔3答案〔2所求的求积公式是插值型,故至少具有2次代数精度,再将代入上述公式,可得故代数精度是3次。〔3由〔2可得：。<1>所求插值型的求积公式形如：。5、〔15分讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。其中.计算题5.答案解：

三、简述题〔本题10分叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么？简述题答案解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有：1要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2要避免两近数相减；3要防止大数吃掉小数：4注意简化计算步骤,减少运算次数。一、

填空〔共25分,每题5分1、,则A的谱半径＝

2、设则

和

3、若x=1.345678,,则x*的近似数具有

位有效数字.

4、抛物线