统计学第六章 参数估计

第6章参数估计PowerPoint统计学学习目标估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法样本量的确定方法参数估计的一般问题1估计量与估计值2点估计与区间估计3评价估计量的标准参数估计要求1、精度要求：所谓精度就是估计误差的最大范围，即误差的最大值，可通过极限误差来反映2、可靠性要求：所谓可靠性是指估计结果正确的概率大小参数估计精确要求待估计的总体参数是，用以估计该参数的统计量是，抽样估计的极限误差是Δ，即

1、极限误差Δ是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来确定的允许误差范围。

2、Δ越小，估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的确定要以实际需要为基本标准。参数估计可靠性要求

1、可靠性是抽样估计本身正确性的一个概率保证，即估计的置信度。

2、对于连续型随机变量，它在一个点上取值的概率为零，因此，对服从连续型分布的抽样统计量，直接用它去估计总体参数值很难说是可靠的。用统计量估计总体参数值，称为点估计。点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体参数的范围，这就是区间估计。

参数估计要求估计中精度要求与可靠性要求是一对矛盾。例如，通过抽样估计某班学生某课程平均成绩的范围，这时我们要考虑这个估计正确的概率大小问题。一种极端估计是：平均成绩在0与100分之间。显然这个范围的估计，正确的概率很大，100%的正确，但这个估计无精度可言。如提高精度，估计平均成绩在70分到80分之间，这时估计正确的把握性肯定低于1。

估计量与估计值估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例,样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)点估计与区间估计点估计

(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，即与概率度对应的概率。表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间

用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的置信区间

(confidenceinterval)置信区间

(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值评价估计量的标准无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB的抽样分布的抽样分布P(

)一致性

(consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的

值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本量较大的样本量P(

)一个总体参数的区间估计1总体均值的区间估计2总体比例的区间估计3总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差总体均值的区间估计

(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计

(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(正态总体、２未知、小样本)总体均值的区间估计

(小样本)1.

假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本

(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z总体均值的区间估计

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h总体比例的区间估计总体比例的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

总体方差的区间估计总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计

(图示)221-2总体方差的1-的置信区间自由度为n-1的2总体方差的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为

该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g一个总体参数的区间估计

(小结)样本量的确定1估计总体均值时样本量的确定2估计总体比例时样本量的确定影响抽样数目的主要因素1、总体被研究标志的变异程度2、对推断精确度的要求3、对推断可靠性的要求4、抽样调查的组织方式和方法5、人力、物力和财力的允许条件估计总体均值时样本量的确定估计总体均值时样本量n为样本量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差的平方成反比与可靠性系数成正比样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24