线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差

欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβ

h(t)=1－√1-ξ21e-ξωnsin(ωdt+β)ωnπ-βωd得tr=令h(t)=1取其解中的最小值，令h(t)一阶导数=0，取其解中的最小值，得tp=πωdσ%=h(∞)h(tp)－h(∞)100%σ%

=e-πξ/√1-ξ2100%由包络线求调节时间得ts≈3.5ξωneωd

h(t)=1－√1-ξ21-ξωntsin(t+β)线性系统稳定的充要条件：其特征根全部位于S平面的左半部。三．稳定判据

1.Routh稳定判据系统的特征方程为线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列系数全部为正。劳斯判据指出，若劳斯表中第一列系数全部为正，则所有闭环极点均位于左半s平面；若劳斯表第一列系数有负数，则系统是不稳定的，说明有闭环极点位于右半s平面，且位于右半s平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8

412劳斯表介绍劳斯表特点2

每两行个数相等1

右移一位降两阶3

行列式第一列不动4

次对角线减主对角线5

分母总是上一行第一个元素7

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正数ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!s6s5s0s1s2s3s41246357127124635710-8

412ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε特征方程各项系数均大于零!劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①

有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!劳斯表出现零行系统一定不稳定求解辅助方程得:s1,2=±j由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3例5：稳定判据的应用

1）利用稳定判据，可以判断系统的稳定性。2）利用稳定判据，可以判断系统稳定时，参数的取值范围。

设单位负反馈系统，开环传递函数为：试确定系统稳定时K的取值范围。

解：

系统的特征方程式为：建立劳斯表：系统稳定时，要求0<K<8例3）利用稳定判据，也可以判断系统的稳定裕度。

系统稳定时，要求所有闭环极点在s平面的左边，闭环极点离虚轴越远，系统稳定性越好，闭环极点离开虚轴的距离，可以作为衡量系统的稳定裕度。在系统的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用稳定判据，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左边，则原系统的特征根在s=-a左边。设单位负反馈系统，开环传递函数为：

若要求闭环极点在s=-1左边，试确定K的取值范围。解：

系统的特征方程式为：

令s=s1-1

0.25<K<2

赫尔维茨稳定判据设线性系统的特征方程为：线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程系数所构成的主行列式Δn及其各阶顺序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部为正。例设线性系统特征方程式为：试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：

故系统不稳定。3：李纳德-戚帕特判据设线性系统的特征方程为：线性系统稳定的充分必要条件是：1）方程式所有系数为正；2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项系数中有负或零（缺项），则系统是不稳定的。对于一阶系统，特征方程式为Ts+1=0，只要系数为正（T>0）,系统是稳定的。对于二阶系统，特征方程式为只要系数为正（ξ>0，ωn>0）,系统是稳定的。例设线性系统的开环传递函数为：试判断系统稳定时K,T应满足的条件。解：

系统特征方程式为1+G(s)H(s)=0根据李纳德-戚帕特判据，K>0,T>0且：系统稳定时，要求：3-6线性系统的稳态误差计算

一：误差与稳态误差

误差=希望值-实际值，R(s)E(s)C(s)-B(s)对于图示一般线性控制系统，若按输入端定义：

e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析和设计中，一般采用按输入端定义误差。稳态误差是指误差信号的稳态值，即：若系统的误差传递函数为Φe(s)，则E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即闭环系统的偏差传递函数给定输入作用下的偏差传递函数。N(s)=0时E(s)和R(s)之比。N(s)=0时系统的等效图例：

设单位负反馈系统的开环传递函数为：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt时系统的稳态误差。解：

误差传递函数为：系统稳定若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。稳态误差为：二：系统类型设控制系统的开环传递函数为：其中K称为系统的开环增益。υ=0，系统称为0型系统，υ=1，系统称为1型系统，υ=2，系统称为2型系统，…。三：单位阶跃信号作用下系统的稳态误差对于稳定的系统，可用终值定理来求：定义系统静态位置误差系数四：单位斜坡信号作用下系统的稳态误差对于稳定的系统，可用终值定理来求：定义系统静态速度误差系数五：单位加速度信号作用下系统的稳态误差

对于稳定的系统，可用终值定理来求：

定义系统静态加速度误差系数

动态误差系数设则该级数收敛于s→0的邻域，相当于t→∞时成立。或者说，在t→∞时有：定义c0为动态位置误差系数，c1为动态速度误差系数，c2为动态加速度误差系数，可以用下式计算：实际计算时，常采用长除法计算，即令：例：

设单位负反馈系统的开环传递函数为：求r(t)=t，r(t)=t2，r(t)=sin5t时系统的稳态误差。解：

误差传递函数为：可求得系统的稳态误差为：r(t)=t时，r(t)=t2时，

r(t)=sin5t时，扰动作用下的稳态误差对于图示系统，设r(t)=0系统在扰动信号作用下的理想输出应为0，若按输入端定义扰动作用下的误差：若按输出端定义误差：R(s)E(s)C(s)-N(s)若En(s)满足拉氏变换终值定理条件，可利用终值定理求稳态误差:令则可用动态误差系数法求扰动作用下的稳态误差：例：

对于图示系统，试求r(t)=t，n(t)=1(t)时系统的稳态误差。R(s)E(s)C(s)-N(s)解：

系统的开环传递函数为为1型二阶系统，系统是稳定的,在r(t)=t，稳态误差在扰动信号作用下的误差表达式为：n(t)=1(t)时，稳态误差为：系统总的稳态误差为：八：减小或消除稳态误差的措施系统总的稳态误差包括输入作用下的稳态误差和扰动作用下的稳态误差两部分。要减小或消除稳态误差应从分别减小或消除这两部分稳态误差入手。1：增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。在输入信号作用下的稳态误差与系统开环增益成反比，增大系统开环增益，有利于减小在输入信号作用下的稳态误差，扰动信号作用下的稳态误差与扰动作用点之前系统的前向通道增益成反比，增大该增益，有利于减小扰动信号作用下的稳态误差，应当注意，在大多数情况下，对于高阶系统，系统开环增益的增加有可能使系统不稳定。2、在系统前向通道或主反馈通道中设置串联积分环节。在系统前向通道中设置串联积分环节，提高了系统型别，有利于减小或消除输入信号作用下的稳态误差。为了减小或消除扰动作用下的稳态误差，串联积分环节的位置应加在扰动作用点之前的前向通道或反馈通道中。3、串级控制抑止内回路扰动—适用控制精度要求较高时4、采用复合控制的方法采用复合控制，也可以减小或消除稳态误差。对于图示系统，试求r(t)=t，n(t)=1(t)时系统的稳态误差。

R(s)E(s)C(s)-N(s)解系统的开环传递函数为：

为1型二阶系统，系统稳定在r(t)=t，稳态误差在扰动信号作用下的误差表达式为：n(t)=1(t)时，稳态误差为：系统总的稳态误差为第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析第四章

线性系统的根轨迹法

§

1根轨迹法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)4－2绘制根轨迹的基本法则法则1

根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数m<n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。证明：根轨迹方程

模值方程

根轨迹起点：要使模值方程成立，则所以pi是根轨迹起点。根轨迹终点要使模值方程成立，则所以zi是根轨迹终点。当m<n时，有m条根轨迹到开环零点止，另有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处说明：如果m>n，则应有（m-n)条根轨迹的起点在处。法则2

根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴