计算方法 2.1 正交多项式_第1页
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文档简介

第二章

最佳平方逼近---另一种函数逼近问题最佳平方逼近问题的提法：它是度量函数的大小和函数之间逼近程度的一种度量，称为平方尺度在平方度量下，通过极小化过程找出一个广义多项式，使平方误差达到最小。解最佳平方逼近问题：1）如何选取广义多项式空间？2）广义多项式是否存在？是否唯一？3）如何求得广义多项式？2.1.

正交多项式及其性质定义1.1.常见的权函数：3)2)1)4)5)定义1.2.内积的性质：（对称性）（双线性性质）（正定性）（Cauchy-Schwarz

柯西-施瓦兹不等式）连续函数空间内积空间的重要结论在连续意义下的内积连续函数空间：所有定义在[a,b]上的连续函数集合，按照函数的加法和乘法构成实数域上的线性空间，记作C[a,b].由内积诱导出范数定义1.3.一个实函数称为一个函数空间的范数，如果它在空间上处处有定义，并满足如下条件：（正定性）（齐次性）（三角不等式）在闭区间上连续的函数的最常用的范数有：定义1.4.定义1.5.特别地，在连续意义下的正交可以证明：正交函数系必是线性无关的函数系.？Gram-Schimidt（格拉姆-施密特）正交化方法：例如：三角函数系：是上带权的正交函数系.例如：幂函数系：一族线性无关的函数列。问题：如何由得到一组正交函数列。正交多项式构造问题类似地，定理.定理.说明：线性无关函数系给定后，正交函数系由区间和权函数唯一确定！推论1.提示：只需利用正交性，确定出系数即可。正交多项式的性质：性质1.性质1'.推论2.提示：性质2.证明：注意到，当时，有。当时，有。于是，再确定，得证。性质3.证明：留作课后练习！几种常用的正交多项式1勒让德(Legendre)多项式1814年Rodriguer(罗德里克斯,法国人)给出了它的一般表达式：1785年，Legendre引进.勒让德多项式性质性质1.证明：1)

它是个2m次多项式.2)-1和1是它的m重零点.若取，有分部积分于是，有性质2.故Ln(x)的首系数为性质3.这说明：

n为奇数时,Pn(x)为奇函数;n为偶数时,Pn(x)为偶函数;

利用得

当n

为偶时，xn2j

均是偶函数,故Ln(x)为偶函数。同理,可证明奇数情况。性质4.L3P2P1P0用定义容易检验使用递推公式得性质5.2切比雪夫(Chebyshev)多项式切比雪夫多项式性质性质1.提示：性质2.引理当n1时，有下面的三解恒等式其中，aj(n)

为常数。引理的证明

用数学归纳法证明之。当n

1时，原式成立显然。假设n

m时，原式成立，当n

m1

时，Cos(nθ)可以展开成cosθ的n次乘幂的有穷级数！用归纳假设，有最后，由归纳假设原理，知原式对n1均成立。按cos的幂合并同类项。性质3.性质4.这说明：

n为奇数时,Tn(x)为奇函数;n为偶数时,Tn(x)为偶函数;由递推关系,可有T0T1T2T3Chebyshev多项式T4,T5,T6T4T5T6第4,5,6个Chebyshev多项式图形性质5.其他常用的正交多项式1拉盖尔(Laguerre)多项式拉盖尔多项式性质性质1

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