第七章弯曲变形 第一节积分法_第1页
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文档简介

一、工程实例（Exampleproblem）第七章弯曲变形第一节引言车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.二、梁对称弯曲时的变形对称弯曲时，梁的轴线弯成一条光滑连续的平面曲线。该曲线称为梁的挠曲线建立图示坐标系，弯曲变形所导致的梁横截面的位移可横截面形心的竖向线位移，为挠曲线的纵坐标

w，1.挠度（线位移）即规定上正下负；用两个参量来描述

——挠曲线方程横截面绕中性轴转动的角度，2.转角（角位移）记作

，规定逆时针旋向为正，反之为负第二节挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线（中性层）曲率式中，EIz称为梁的抗弯刚度横力弯曲时,M

和都是x的函数，略去剪力对梁的位移的影响,则二、梁的挠曲线近似微分方程高等数学中的曲率计算公式OxwxOw

此式称为

梁的挠曲线近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）

近似原因:（1）略去了剪力的影响;

（2）略去了

项;与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为◆转角方程◆挠曲线方程第三节计算弯曲变形的积分法说明：1）若弯矩方程

M(x)

为分段函数，积分则应分段进行；2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定二、确定位移边界条件[例1]图示悬臂梁，自由端承受集中力

F

作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度

EI

为常数。1）列弯矩方程解：2）建立转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程再积分一次，得挠曲线方程3）确定积分常数该梁的位移边界条件为解得积分常数故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为4）计算最大挠度和最大转角由梁的变形图易见，梁的最大挠度和最大转角均发生于x=l

的自由端面

B

处，故得最大挠度：最大转角：[例2]图示简支梁，在截面

C

处受集中力

F

作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度

EI

为常数。1）列弯矩方程解：支座反力分段列弯矩方程AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）分段积分，得转角方程和挠曲线方程分别为AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）2）建立转角方程和挠曲线方程3）确定积分常数位移边界条件：位移连续条件：根据上述条件求得四个积分常数分别为AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）4）计算最大转角和最大挠度假设

a

＞

b，可得梁的最大转角AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）最大挠度[例3]图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其

和

ABql解:由对称性可知ABqlFRAFRBx

此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为

边界条件x=0和x=l时,

xABqlFRAFRBAB

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