第4讲 运动图象 追击与相遇

2023/2/12015届高考物理复习课件2023/2/1第4讲运动图象追及与相遇问题运动的描述和匀变速直线运动第一章2023/2/1编读互动

1．利用图象法可把比较复杂的物理问题转化为简单的数学问题来解决．尤其是应用图象作定性分析，可避免繁杂的推导和计算，快速得到答案．本讲复习首先要让学生理解运动图象的物理含义，要善于从多个方面分析运动图象，如坐标轴的物理意义，图线切线的斜率，图线的交点、截距、面积、最值的物理意义及函数方程等，从而全面获取物体运动的信息；能根据物体的运动情况绘制运动图象，然后应用图象分析运动问题；会用解析法、图象法与巧选参考系的方法解答相遇、追及问题．2023/2/1

2．本讲教学可以按下面的思路安排：

(1)通过例1及变式题考查学生通过v－t图象得到物体运动状态、运动过程的相关信息．

(2)通过例2及变式题考查学生对不同图象的转换能力和根据题意适时画出图象分析物理问题的能力．

(3)通过例3及变式题考查学生通过x－t图象和v－t图象分析追及相遇问题的能力，巩固相关方法和结论．2023/2/1考点自主梳理►知识点一两种常见的运动图象

常见运动图象有位移—时间图象(x－t图象)和速度—时间图象(v－t图象)，这两种图象的横轴均表示时间，纵轴分别表示位移或速度．由于运动参量中的位移、速度、加速度等矢量只有正、负两个方向，所以单纯一个运动图象只能描述直线运动．

1．位移—时间图象(x－t图象)

(1)物理意义：反映做直线运动的物体的________随时间变化的规律．位移2023/2/1

(2)说明：①如果x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做__________运动；②如果x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于__________．

2．速度—时间图象(v－t图象)

(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的________随时间的变化规律．

(2)说明：①匀速直线运动的v－t图象是与横轴________的直线；②________直线运动的v－t图象是一条倾斜直线．另外，在解决某些定性运动问题时涉及的加速度—时间图象(a－t图象)反映的是物体加速度随时间变化的规律．匀速直线静止状态速度平行匀变速2023/2/1►

知识点二追及和相遇问题

在追及和相遇问题中，要注意两物体在时间、位移、速度和加速度上的关系，要特别注意临界状态的确定，并且记住一些常用结论：

1．追上并超过的条件：某时刻两物体位于同一位置(位移关系)，且后面物体的瞬时速度________前面物体的瞬时速度．在追上之前，当后面物体和前面物体速度相等时，两物体之间有最大距离．

2．追上且不相碰的条件：后面物体和前面物体位置坐标(位移关系)相同时速度________(速度关系).大于相等2023/2/1

3．若后面物体和前面物体速度相等且以后两者间距逐渐增大，则此时两者________最小．

处理相遇、追及问题常用的方法：

①解析法；

②图象法；

③巧取参考系法．间距2023/2/1考向互动探究

►探究考向一准确解读图象信息

1．运动图象的识别

根据图象中横、纵坐标轴所代表的物理量，明确该图象是位移—时间图象(x－t图象)，还是速度—时间图象(v－t图象)，或是加速度—时间图象(a－t图象)，这是解读运动图象信息的前提．

2．图象信息的解读

图象信息的解读主要是解读图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”等数学特征的物理意义．2023/2/1

(1)点：图线上的每一个点都对应运动物体的一个状态，特别要注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态．例如：x－t图象中两图线的交点表示两物体在对应时刻相遇，v－t图象中两图线的交点表示两物体在对应时刻速度相等，此时两物体之间的距离达到极值(最大或最小)，a－t图象中两图线的交点表示两物体在对应时刻加速度相等．

(2)线：表示研究对象的变化过程和规律．例如：x－t图象中倾斜的直线表示物体做匀速直线运动；v－t图象中倾斜的直线表示物体做匀变速直线运动．2023/2/1

(3)面积：图线与坐标轴、时刻线所围的面积常表示运动过程的某一物理量．例如v－t图线与横轴、时刻线包围的“面积”表示位移的大小，a－t图线与横轴、时刻线包围的“面积”表示速度的变化量．

(4)斜率：图线的斜率(或图线切线的斜率)表示某物理量的变化率．例如x－t图象中图线的斜率(或图线切线的斜率)的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向；v－t图象中图线的斜率(或图线切线的斜率)的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向．

(5)截距：横、纵轴上的截距分别表示横、纵坐标两物理量在“初始”或“边界”条件下的大小，往往对应特殊状态．例如：v－t图象在纵轴上的截距表示物体运动的初速度．2023/2/1

例1

一宇宙空间探测器从某一星球表面竖直升空，假设探测器的质量恒为1500kg，发动机的推力为恒力，宇宙探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图4－1所示为其速度随时间变化的规律．

(1)升空后9s、25s、45s时，即在图线上A、B、C三点对应的时刻，探测器的运动情况如何？

(2)求探测器在该行星表面达到的最大高度．

(3)计算该行星表面的重力加速度及发动机的推动力(假设行星表面没有空气).2023/2/1图4－12023/2/1

[答案](1)见解析(2)800m

(3)1.665×104N

[解析](1)升空后探测器做初速为零的匀加速直线运动，9s末发动机关闭，此时速度最大；此后做匀减速运动，25s末速度减为零，此时探测器离行星表面最远；然后探测器返回，做自由落体运动，45s末落回星球表面，速度为80m/s.2023/2/12023/2/1

[点评]

本题主要考查学生对v－t图象的理解和应用，涉及考点有v－t图象、匀变速运动规律、牛顿第二定律等．对本题的分析应注意以下两点：

第一，结合图象准确还原探测器的运动过程，这样有利于第(1)问的解答；

第二，注意图线与坐标轴所围面积表示位移，据此可根据图象迅速求解第(2)问；

第三，特别要注意图象性质，即x－t图象不能错误地按照v－t图象来分析，如下面的变式题．2023/2/1

变式题

[2011·兖州质检]遥控玩具汽车在平直路面上运动的x－t图象如图4－2所示，则(

)图4－2

A．15s末汽车的位移为300m

B．20s末汽车的速度为－1m/s

C．前10s内汽车的加速度为3m/s2

D．前25s内汽车做单方向直线运动2023/2/1

[答案]B2023/2/1►

探究考向二利用图象解决运动问题

【方法概述】

运动图象通过建立坐标系来描述物体的运动规律，直观反映各运动量之间的关系，从而直观、形象、动态地表述运动过程和规律．因此利用图象解决运动问题是一种重要的解题方法．

1．三种运动图象物理意义的比较

相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同，下面我们作一全面比较(见下表)．2023/2/1图象x－t图象v－t图象a－t图象图象实例2023/2/1图象x－t图象v－t图象a－t图象图线含义图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)图线①表示质点做加速度增大的直线运动图线②表示质点静止图线②表示质点做匀速直线运动图线②表示质点做匀变速直线运动图线③表示质点向负方向做匀速直线运动图线③表示质点做匀减速直线运动图线③表示质点做加速度减小的直线运动2023/2/1图象x－t图象v－t图象a－t图象图线含义交点④表示此时三个质点相遇交点④表示此时三个质点有相同的速度交点④表示此时三个质点有相同的加速度点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)图线①表示质点做加速度增大的直线运动2023/2/1

2.应用图象解决物理问题的三种情况

(1)根据题目所给运动图象分析物理问题．

(2)根据题意自己画出运动图象并解决问题，如例2变式题．

(3)对题目中所给图象进行必要的转化，然后根据转化后的运动图象分析问题．例如，题目中给定的是F－t图象，则可转化为a－t图象，再转化为v－t图象，例2即涉及将a－t图象转化为v－t图象的问题．2023/2/1

例2

[2010·全国Ⅰ卷]汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的加速度随时间变化的图线如图4－3所示．

(1)画出汽车在0～60s内的v－t图线；

(2)求在这60s内汽车行驶的路程．图4－32023/2/1

[答案](1)如图所示(2)900m2023/2/12023/2/1

【方法点拨】本题侧重于训练将a－t图线转化为v－t图线的技巧，要特别注意以下两点：

(1)合理划分运动阶段，分阶段进行图象转化；

(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接

(3)注意图象转化前后核心物理量间的定量关系，如例2中加速度和速度的关系，这是进行图象转化的依据．2023/2/1

变式题

[2012·厦门模拟]某同学在一根不计质量且不可伸长的细绳两端各拴一个可视为质点的小球，然后拿住绳子一端的小球让绳竖直静止后从三楼的阳台上由静止无初速释放，两小球落地的时间差为T.如果该同学用同样装置和同样的方法从该楼四楼的阳台上放手后，让两小球自由下落，那么，两小球落地的时间差将(空气阻力不计)(

)

A．不变B．增大C．减小D．无法确定

2023/2/1

[答案]Ｃ

[解析]

两小球都做自由落体运动，可在同一个v－t图象中作出速度随时间变化的关系曲线，如图所示．设人在3楼的阳台上释放小球后，两球落地的时间差为Δt1，图中阴影部分的面积为Δh；若人在4楼的阳台上释放小球后，两球落地的时间差为Δt2，要保证阴影部分的面积也是Δh，从图中可以看出一定有Δt2＜Δt1.故只有选项C正确．2023/2/1►探究考向三对追及、相遇问题的分析

1．追及、相遇问题常见情景追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间到达同一地点即说明两个物体相遇．常见情景如下：

(1)速度小者追速度大者追及类型图象描述相关结论匀加速追匀速设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大；2023/2/1追及类型图象描述相关结论匀速追匀减速②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx；③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小；④一定能追及且只能相遇一次匀加速追匀减速2023/2/1

(2)速度大者追速度小者追及类型图象描述相关结论匀减速追匀速设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：2023/2/1追及类型图象描述相关结论匀速追匀加速①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；②若Δx<x0，则不能追及，此时两物体间距离最小，为x0－Δx；③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇匀减速追匀加速2023/2/1

2.追及、相遇问题的求解方法分析追及与相遇问题大致有两类方法，即数学方法和物理方法，具体为：常用方法相关说明方法一(临界法)寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离方法二(函数法)思路一：先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t使得y＝f(t)≤0，则这两个物体能相遇．思路二：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇2023/2/1常用方法相关说明方法三(图象法)(1)用位移图象求解时，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．(2)用速度图象求解时，注意比较速度图线与时间轴包围的面积方法四(相对运动法)用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量．在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：x相对＝x后－x前＝x0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定2023/2/1

例3

如图4－4所示为甲、乙两质点做直线运动的x－t图象，由图象可知(

)

图4－4

A．甲、乙两质点在2s末相遇

B．甲、乙两质点在2s末速度相等

C．在2s之前甲的速率与乙的速率相等

D．甲、乙两质点在5s末再次到达同一位置2023/2/1

[答案]ＡＣＤ

[解析]

由图象知，2s末甲、乙两质点在同一位置，所以选项A正确．在x－t图象中图线上某点的切线斜率为物体在该点的速度，2s末v甲＝－2m/s，v乙＝2m/s，所以选项B错误，选项C正确．甲、乙两质点在5s末再次到达同一位置，选项D正确．2023/2/1

[点评]

本题为位移—时间图象，反映两个物体位移随时间变化的规律，两图线的交点即表示相遇，故在5s末甲、乙两质点再次到达同一位置．而速度—时间图象中两图线的交点表示对应时刻两物体的速度相等，可能相遇，也可能不相遇，如下面的变式题即为v－t图象的应用．2023/2/1

变式题

[2012·合肥模拟]甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距x＝6m，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图4－5所示，则下列表述正确的是(

)

A．当t＝4s时两车相遇

B．当t＝4s时两车间的距离最大

C．两车有两次相遇

D．两车有三次相遇图4－52023/2/1

[答案]Ｄ

[解析]由v－t图象可知：在4s时甲车比乙车多前进8m，说明在4s前甲车已经追上乙车并超过乙车，在4s后乙车又追上并超过甲车，8s时两车间距离达到第二次相遇后的最大距离，此后由于甲车速度一直大于乙车速度，可知甲车还会追上并超过乙车，第三次