第七章-数字信号分析(II)-数字滤波

第七章数字信号分析（Ⅱ）——数字滤波

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早在20世纪40年代末期，就有人开始讨论数字滤波的可能性，直到20世纪60年代中期，数字滤波才形成了一套完整、正规的理论。

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数字滤波与模拟滤波相比，精度和稳定性高、系统函数容易改变、灵活性高、不存在阻抗匹配问题、便于大规模集成、可实现多维滤波等优点。●

本章内容：讨论数字离散时间系统的基本知识，介绍数字滤波原理、数字滤波器结构及设计方法等。第一节数字滤波与模拟滤波

●数字滤波？——利用离散时间系统的特性对输入信号波形（或频谱）进行加工处理，或者说利用数字方法按预定要求对信号进行变换，把输入序列x(n)变换成一定的输出序列y(n)。●

数字滤波过程一、数字滤波过程的频谱分析输入信号的频谱，频宽为±ωm在满足采样定理的条件下进行A/D转换，则采样信号的频谱为采样频率ωs≥2ωm这是一个以ωs为周期的谱图。通过数字滤波器后，其频谱为可见，信号通过数字滤波后，仍是周期谱图。为此，经过D/A转换以后，仍须采用模拟滤波。若模拟滤波器的频响函数为G(ω)，则输出信号y(t)的频谱：因ωs≥2ωm，X(ejω)是X(ω)以ωs为周期的重复，且不产生混叠效应的函数。若假定模拟滤波器是一个理想低通滤波器，即其中，ωm≤ωc≤(ωs-ωm),则可以从y(n)的周期性频谱中选出频谱Y(ω)，以恢复出连续信号y(t)，故有数字滤波器的频率响应H(ejω)起着对输入连续信号x(t)的频谱进行滤波改造的作用。二、数字滤波器与模拟滤波器对比

数字滤波器：数学模型为差分方程式，运算内容为延时、乘法、加法。构成元器件为加法器、乘法器、延时器等。

模拟滤波器：数学模型为微分方程式，运算内容为微（积）分、乘法、加法。构成元器件为电阻、电容、运算放大器等。比较项目模拟滤波器数字滤波器输入、输出模拟信号数字信号系统连续时间离散时间系统特性时不变、叠加、齐次非移变、叠加、齐次数学模型微分方程式差分方程式运算内容微（积）分、乘、加延时、乘、加系统构成分立元件（电阻、电容、运算放大器等）软件：程序硬件：乘、加、延时运算模块系统函数

H(s)=Y(s)/X(s)（s域）

H(ω)=Y(ω)/X(ω)

H(z)=Y(z)/X(z)（z域）

H(ejω)=Y(ejω)/X(ejω)数字滤波器与模拟滤波器对比●数字滤波的实现方法

软件实现方法——按差分方程式或框图所表示的输出与输入序列的关系，编制计算机程序，在通用计算机上实现。硬件实现方法——用数字电路制成的加法器、乘法器、延时器等，按框图加以联接，构成运算器，即数字滤波器来实现。【例】一阶低通滤波器分析对激励信号x(t)和响应信号y(t)离散化，且采用间隔T（或△t）足够小，则有一阶低通模拟滤波电路的微分方程为：令T=1或差分方程▲由一阶微分方程导出了一阶差分方程，它表明模拟系统动态方程的近似方程可以用差分方程来描述。同样可导出任意阶次的差分方程差分一阶前向差分定义：△x(n)=x(n+1)-x(n)一阶后向差分定义：▽x(n)=x(n)-x(n＋1)●离散时间系统的分析与连续时间系统的分析有着并行的对应性。例如，第二节离散时间系统的时域分析连续时间系统离散时间系统数学模型：微分方程式数学模型：差分方程式卷积方法极其重要卷积和的方法具有同样重要地位采用变换域（LT与FT）方法和系统函数的概念处理各种问题采用变换域（Z变换与DFT）方法和系统函数的概念处理各种问题一、线性离散时间系统线性离散时间系统满足叠加性与齐次性(倍增性)

●非时变(或称非移变)离散系统:

如果离散系统的参数和特性不随时间而变化，则当输入一个移位为N的时间序列x(n-N)，得到一个相应的输出序列y(n-N)，并且对任意时移N都成立，则此系统为非时变（或称非移变）系统。●线性非时变系统的因果性的充要条件为：单位样值响应h(n)=0(n<0)●线性非时变系统的稳定性充要条件为：单位样值响应绝对可积（或称绝对可和），即二、系统模型——差分方程式●既满足因果性又满足稳定性的系统，其单位样值响应是单边的、有界的，即满足条件：差分方程式：是处理离散变量函数关系的一种数学工具，其基本运算是延时(移位)、乘法、加法等。构成差分方程的基本单元是延时器、乘法器、加法器.描述该系统的输出y(n)与输入x(n)的关系式为或延时器Z-1y(n)y(n-1)Σ相加x(n)y(n)x(n)+y(n)ax(n)ax(n)乘系数基本单元一般描述离散时间系统的线性差分方程为a和b是常数；M为已知函数x(n)的位移阶次；N为未知函数y(n)的位移阶次，对于一个可实现系统N≥M。▲差分方程式的阶数——未知序列变量序号的最高与最低值之差，即N。

补充知识：常系数线性差分方程的解法

一般情况下，线性时不变离散系统由常系数线性差分方程描述，方程的求解方法有下列几种：

1、递推解法（迭代法）

以y(n)-ay(n-1)=x(n)为例

设输入x(n)=δ(n)，并假设y(-1)=0，从而有

y(0)=x(0)+ay(-1)=1y(1)=x(1)+ay(0)=ay(2)=x(2)+ay(1)=a2

···

y(n)=x(n)+ay(n-1)=an

此范围仅限于n≥0，故应将y(n)写作

y(n)=anu(n)

该方法是解差分方程的一种原始方法，用计算机实现较方便，且方法简单、概念清楚。但一般只能得出有限数值解，而不能直接给出完整的解析解.

2、时域经典法类似于微分方程的经典解法，分别求出方程的齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数，该法也是基本方法之一。优点：便于从物理概念上说明各响应分量之间的关系。缺点：但求解过程较繁，在解决具体问题时已较少采用。但其求齐次解的思路则被利用来求解系统的零输入响应和单位样值响应。

3、零输入、零状态响应解法利用线性系统的可分解性，将系统响应分解为零输入与零状态两部分，利用时域经典法求解零输入响应，用离散线性卷积的方法求解零状态响应。这也是现今通行的时域解法。

4、z变换法

这是实际应用中简便有效的方法。类似于用拉普拉斯变换解连续时间系统的微分方程。利用z变换求解离散系统的差分方程，不仅可求出差分方程的零状态解，而且可求出零输入解。更进一步，z变换法还可以用于研究离散系统的频率响应等诸多其他特性，并使离散系统的物理意义更清晰。

5、状态空间分析法

近代控制理论中常用的方法之一。人们对控制系统不再只满足于研究输入输出关系或系统的整体外特性，而要同时知道系统内部某些环节的状态或变化过程参数，以便设计和控制这些内部参数达到预定的控制目的。离散系统的状态空间描述方法，实质上是用一组一阶线性常系数差分方程组表示系统。通过解此一阶差分方程组，得出系统的诸多输出或内部环节状态变量。用求和符号表示

根据经典解法，上式的解由齐次解(homogeneoussolution)和特解(particularsolution)组成。上式所对应的齐次方程形式为该方程的解就是齐次解齐次解的求解方法：1）一阶线性齐次差分方程求解若y(n-1)≠0表明序列y(n)构成一个以常数a为公比的等比级数C由边界条件确定的待定常数设边界条件为y(0)＝b齐次解为2）N阶齐次差分方程的解可以证明式的解是由N项形如Cdn的指数序列叠加而成的。y(n)=Cdn消去常数C，并逐项除以dn-N

从而得到一个一元N次方程，如果dk是上述一元N次方程的根，则y(n)=Cdkn

必定满足N阶齐次差分方程。通常，称式为式的特征方程，而称特征方程的根d1,d2,…,dN为差分方程的特征根。▲在特征根无重根的情况下，差分方程的齐次解为系数C1,C2,…,CN取决于边界条件▲在特征方程有重根的情况下，齐次解的形式略有不同。假定d1是特征方程式的K重根，那么在齐次解中，相应于d1的部分将有K项

显然，式中最后一项CKd1n一定满足式

，若分别将其他各项C1nK-1d1n,C2nK-2d1n,…,CK-1nd1n代入式，则容易证明它们满足式。特解的求解方法：

线性非齐次差分方程式的特解很容易求得。首先将激励序列x(n)代入方程式右端（称为自由项），观察自由项的形式来选择含有待定系数的特解形式，将此特解代入原非齐次差分方程后，通过与方程右端的自由项比较，求得特解中的待定系数。一般来讲，已知自由项的形式，则特解形式可按下表确定（但不完全如此，有特例）。自由项特解形式C（常数）B（常数）nC0+C1nnkC0+C1n+C2n2+…+Ck-1nk-1+Cknkeαk(α为实数）C

eαkejωkA

ejωk(A为复数）sinωn(或cos

ωn)C1sinωn+C2cosωndkCdk(d不是方程的特征根）dk(C0+C1n+C2n2+…+Cr-1nr-1+Crnr)dk(d是方程的r重特征根)

【例】

求差分方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)的完全解。其中激励信号为x(n)=n2，且边界条件为y(-1)=-1。解：1）齐次解为yh(n)=C(-2)n2)

将x(n)=n2代入差分方程的右端，得自由项为2n-1。从而特解为其中，D1和D2为待定系数，代入原方程得比较两端系数得到D1=2/3，D2=1/9

完全解3）代入边界条件，求出C=8/9边界条件y(-1)=-1完全响应▲注意1：利用边界条件确定齐次解中的待定系数，一般情况下，对于N阶差分方程，应给定N个边界条件，例如，取y(0),y(1),…,y(N-1)。利用这些条件，代入完全解的表达式中，构成一联立方程组，求得N个系数C1,C2,…,CN。▲注意2：差分方程式和微分方程式之间存在着很多相似之处。微分方程的齐次解一般具有eαmt的形式，而差分方程的齐次解一般具有αmn的形式。它们的特解都与各自自由项的形式相同，而且齐次解中的待定系数也都是边界条件代入完全解中求解得到。参见ppt.11三、离散系统的卷积和描述及解卷1、卷积和描述

▲连续时间系统与卷积可以运用卷积积分方法求连续时间系统在任意输入信号下所引起的响应（又称零状态响应）。卷积积分的物理意义：将激励信号x(t)分解为脉冲序列，令每一脉冲作用于系统，求其冲激响应，所有脉冲冲击响应的叠加，即为系统对此激励信号的零状态响应.

▲离散时间系统与卷积和由于激励信号与响应信号均为离散时间序列，卷积积分→求卷积和，故有h(n)为系统对δ(n)的单位样值响应由因果性，有x(n)=0(n<0),y(n)=0(n<0)要点1：用卷积和公式求因果系统的输出响应时，只考虑外加激励作用下的零状态响应，它要求序列输入之前初值为零，即系统初始不贮能。

要点2：离散时间系统的输出与输入的关系，既可用差分方程描述，又可用离散卷积和描述，不同之处在于后者的即时输出为输入序列的线性组合，即输出与输入之间存在非递归关系。此外，卷积和运算由于引入表征系统动态特性的h(n)，物理意义明显.卷积和确立了输入x(n)、y(n)和h(n)三者之间的关系，知其二可求另一个。2、解卷矩阵形式解卷第三节Z变换一、Z变换

●Z变换的定义1）由采样信号的拉普拉斯(Laplace)变换引出；2）直接对离散信号给予定义。连续时间系统：微分方程代数方程LT理想采样信号的LT：连续因果信号x(t)经理想脉冲采样，采样信号为采样间隔离散时间系统：差分方程代数方程Z变换LT引入复变量z=esT，即s=lnz/T通常令T=1离散信号x(n)的Z变换表达式式表明，X(z)是复变量z-1的幂级数（亦称罗朗级数），其系数是序列x(n)的值，即x(n)的Z变换▲单边与双边Z变换之分

x(n)的双边Z变换定义为1、z平面与s平面的映射关系n=0为单边Z变换。如果x(n)为因果序列，单边与双边Z变换相同二、Z变换（ZL）与Laplace变换（LT）▲采样序列的Z变换X(z)就是理想采样信号的拉氏变换Xs(s)。两者是由复变量s平面到复变量z平面的映射变换，映射关系为：矢径r=eσT=e2πσ/ωs矢角θ=ωT=2πω/ωsT采样间隔可见，复变量z的模r对应了s的实部；z的辐角θ对应了s的虚部ω。z平面与s平面的映射关系θθθθθθθ2、LT与ZT的周期性设模拟信号x(t)的LT为X(s)，其理想采样信号xs(t)的LT为Xs(s)，可以证明二者之间的关系为：采样频率ωs=2π/T,T为采样间隔

此式表明，Xs(s)在s平面上是X(s)沿虚轴的周期延拓，其周期为ωs。由z-s的映射关系，在s平面上沿虚轴周期移动，相应于在z平面上沿单位圆周期性旋转；并且z平面上的旋转矢rejθ是以ωs为周期的周期函数。因此，在s平面上每移动ωs，则在z平面为沿单位圆旋转一周。这表明z-s映射并不是单值的。为了说明这个问题，不妨把z平面想象为以原点为中心的无穷层叠在一起的螺旋面（螺距为无穷小）。当s平面上沿jω轴变化时，映射到z平面上则是随着辐角θ的增加，沿螺旋面变化。即当ω每增加一个采样频率ωs时，辐角θ增加2π，相应螺旋面重复旋转一周。三、Z变换与Fourier变换

FT是LT在s平面虚轴上的特例，即s=jω。因此，连续信号的FT(X(ω))与理想采样信号FT(Xs(ω))的关系为：即Xs(ω)是X(ω)沿虚轴的延拓。由于s平面上的虚轴映射到z平面上是单位圆，因此，采样序列的Z变换：此式表明，采样序列在单位圆上的ZT就等于理想采样信号的FT（即其频谱）。已知理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，这种频谱周期重复的现象，体现在ZT中则是ejωT为ω的周期函数，即ejωT是ω的变化而表现在单位圆上的重复循环，亦可想象为直径等于1而螺距为无穷小的螺旋线。理想采样信号xs(t)、理想采样信号的频谱Xs(ω)、采样序列的Z变换X(ejω)之间的关系如上图。四、Z变换与离散Fourier变换

DFT是ZT的一种特例。因为ZT是采样序列x(n)的复频谱X(z)。当ZT值限定在z平面的单位圆(z=ejωT)上时，X(z)就转化为该序列的FT

X(ejωT)。如果在该单位圆上按等分角进行频率抽样，即ωT=2πk/N，k=0,1,2,…,N–1,则相应采样点的FT值X(ej2πk/N)就是序列的DFTX(k)。它表示序列x(n)的稳态谱或实频谱。五、逆Z变换（IZT）

计算IZT最直接的方法是查变换表，但该方法往往不敷实际应用。常用的有幂级数法、部分分式展开法和留数定理法。ZTZ[x(n)]IZTZ-1[x(n)]补充知识（1）：Z变换的收敛问题只有当收敛，z变换才有意义。★任意有界序列x(n)，其z变换收敛的充要条件为正项级数判别正项级数收敛性的常用方法有比值判定法和根值判定法。1）比值判定法（达朗贝尔D’Alembert判定法）

设正项级数的后项与前项比值的极限等于,则当ρ<1时级数收敛，ρ>1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。2）根值判定法（达朗贝尔D’Alembert判定法）

设为正项级数，如果，则当ρ<1时级数收敛，ρ>1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。补充知识（2）：幂级数及其收敛性1、定义形如的级数称为幂级数，an为幂级数系数。2、收敛性例如级数当|x|<1时收敛，当|x|≥1时发散；收敛域(-1,1)；发散域(-∞,-1]和[1,+∞)。定理1（Abel定理）如果级数在x=x0(x0≠0)处收敛，则它在满足不等式|x|<|x0|的一切x处绝对收敛。如果级数在x=x0处发散，则它在满足不等式|x|>|x0|的一切x处发散。证明：

（1）因为收敛，则,存在M，使|anx0n|≤M(n=0,1,2,…)

（如果数列的极限存在，则该数列有界）因为当|x/x0|<1时，等比级数收敛,所以收敛，即级数绝对收敛。（2）假设当x=x0时发散，而有一点x1满足|x1|>|x0|使级数收敛，由（1）中结论，则级数当x=x0时应收敛，这与所设矛盾。几何说明收敛区域发散区域发散区域0R-R推论：如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：1)当|x|<R，幂级数绝对收敛；2)当|x|>R，幂级数发散；3)当x=R与x=-R，幂级数可能收敛也可能发散。R为收敛半径。收敛区间的四种可能的情况：(-R,R)，[-R,R)，(-R,R]，[-R,R]规定：1）幂级数只在x=0处收敛时，R=02）幂级数对一切x都收敛，R=+∞问题：如何求幂级数的收敛半径?则，1）当ρ≠0时，R=1/ρ；2）当ρ=0时，R=∞；3）当ρ=+∞时，R=0定理2：如果幂级数的所有系数an≠0，补充知识（3）：利用根值判定法讨论几类序列的z变换的收敛域1、有限长序列

有限长序列是指只在有限的区间（如n1≤n≤n2)具有非零的有限值的时间序列,此时，其z变换为由于n1，n2是有限整数，因而上式是一个有限项级数。

当n1≥0时，X(z)除了z=0点外，在z平面上处处收敛，其收敛域可表示为|z|>0

当n2≤0时，X(z)除了z=∞点外，在z平面上处处收敛，从而收敛域可表示为|z|<∞；

当n1<0，n2>0时，X(z)除了在z=0和z=∞两点外，在z平面上处处收敛，因而收敛域可表示为0<|z|<∞。

所以有限长序列的z变换的收敛域至少为0<|z|<∞，但可能还包括z=0或z=∞,这由序列的形式所决定。2、右边序列（又称有始无终序列）右边序列是当n<n1时x(n)=0。此时z变换为若满足即则该级数收敛，其中Rx1为级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。如果n1≥0，则收敛域包括z=∞，即|z|>Rx1；如果n1<0，则收敛域不包括z=∞，即收敛域为Rx1<|z|<∞。显然，当n1≥0时，右边序列就为因果序列，即，因果序列是右边序列的一种特例，它的收敛域是|z|>Rx1。3、左边序列（又称无始有终序列）左边序列是当n>n2时，x(n)=0。此时z变换为令m=-nm→n若满足即则该级数收敛。可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的收敛圆的内部。如果n2>0，则收敛域不包括z=0(原点)，即0<|z|<Rx2。如果n2≤0，则收敛域包括z=0，即|z|<Rx2。4、双边序列（又称无始无终序列）双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列，其z变换可写成显然，可以把它看成是左边序列与右边序列z变换的叠加。上式右边第一个级数是左边序列的z变换，其收敛域为|z|<Rx2；第二个级数是右边序列的z变换，其收敛域为|z|>Rx1；因而双边序列的收敛域是左边序列与右边序列两个收敛域的交叠部分。如果Rx2>Rx1，则双边序列x(n)的z变换X(z)的收敛域是Rx1<|z|<Rx2。即双边序列的收敛域是一个环形区域。如果Rx2≤Rx1，即两个收敛域不交叠，因而双边序列X(z)的收敛域不存在，也即序列x(n)的双边z变换不存在。注意：上面讨论了各种序列的双边z变换的收敛域，显然，收敛域取决于序列的形式。为便于对比，将上述几类序列的双边z变换收敛域列于下表。

应当指出，任何序列的单边z变换的收敛域和因果序列的收敛域相同，它们都是|z|>Rx1。只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。1、幂级数法因为x(n)的ZT为z-1的幂级数，即●一般情况下，X(z)是有理函数(有理函数——通过多项式的加减乘除得到的函数)，令分子多项式和分母多项式分别为B(z)和A(z)。1）如果X(z)的收敛域是|z|>Rx1，则x(n)必然是因果序列，此时将B(z)和A(z)按z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。2）如果收敛域是|z|<Rx2，则x(n)必然是左边序列，此时将B(z)和A(z)按z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。然后利用长除法，便可将X(z)展成幂级数，从而得到x(n)。

解：（1）对于收敛域|z|>1，x(n)是因果序列，这时X(z)按z-1的升幂次序进行排列，并列写长除式如下：【例】求收敛域分别为（1）|z|>1和（2）|z|<1两种情况下,

的逆变换x(n)补充知识（4）：求X(z)的逆变换x(n)所以从而得到表明因果序列（2）若收敛域|z|<1，则x[n]是左边序列，这时X(z)按z.1的降幂次序进行排列，并列写长除式：所以从而得到降幂次序排列升幂次序排列2、部分分式展开法实际上，序列的z变换通常是z的有理函数，一般可以表示成有理分式形式可以先将X(z)展开成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，再把各逆变换相加即可得到x(n)。z变换最基本的形式是z/(z-zm)

，在利用z变换的部分分式展开法的时候，通常先将X(z)/z

展开，然后每个分式乘以z，这样对于一阶极点，X(z)便可展开成z/(z-zm)的形式。将X(z)/z

进行部分分式展开的方法和拉氏变换中将F(s)展开成部分分式的方法相同。在上述展开式中，部分分式的基本形式除z/(z-a)形式外，还具有z/(z-a)2,…,z/(z-a)m或zm/(z-a)m等形式，下表列出了这些形式的相应的逆变换。但要注意的是，如果是非因果序列，展开后每一项分式所对应的序列是右边序列还是左边序列，要根据给定的收敛域进行判断。附表列出了左边序列的这些形式的相应的逆变换和常用序列的双边z变换(因果序列)

【例1】求函数X(z)=1/(z2-0.8z+0.15)(|z|>0.5)

的逆变换x(n)解：将X(z)/z展开成部分分式为其中所以因为收敛域为|z|>0.5，因此对应的x(n)为因果序列，得到【例2】求函数X(z)=12/[(z+1)(z-2)(z-3)](1<|z|<2)

的逆变换x(n)解：将X(z)/z展开成部分分式为所以根据给定的收敛域1<|z|<2可以判断出，上式前两项的收敛域都满足|z|>1，因而它们对应的逆变换应是右边序列，而后两者的收敛域都满足|z|<2，故它们对应的逆变换应是左边序列。查表得到解：X(z)中包含一阶极点z=4和三阶极点z=2，可将X(z)/z展开成如下部分分式所以由收敛域|z|>4可知，X(z)对应的逆变换x(n)是因果序列。查表求出其逆变换【例3】求的逆变换x(n)3、留数定理法●

X(z)的逆变换可由围线积分给出，即

C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，通常选择z平面收敛域内以原点为中心的圆。公式推导：由z变换定义因为上述推导过程中，并未规定m及n的正负，故上式对正与负的n值都是正确的。式两边各乘以zm-1，沿C积分根据复变函数理论中的柯西定理该围线积分只有当n=m时为2πj，而对其余的n均为零，故等号右边只剩下2πjx(m)●利用留数定理求逆z变换如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，它的留数由下式确定式中Res表示极点的留数值，z=zm为X(z)zn-1的极点。

▲在应用上述公式时，应注意围线所包围的极点情况，特别是对于不同的n值，在z=0处的极点可能具有不同的阶次。表示为围线C内所包含X(z)zn-1的各极点留数之和，即借助于复变函数的留数定理，可将式的积分或若只含一阶极点，即s=1这里，沿C的积分是按关于D正向取的。

因此：Res(f,z0)=α-1。当z0为f(z)可去极点时，Res(f,z0)=0。●留数与留数定理留数定义:设函数f(z)在区域0<|z–z0|<R内解析，取r满足0<r<R，作圆C：|z–z0|=r，则称积分为f(z)在孤立极点z0的留数，记作Res(f,z0)，(C取正向)。易知Res(f，z0)与r无关。在0<|z-z0|<R，设在C上一致收敛，逐项可积，所以

留数定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C。设函数f(z)在D内除去有孤立极点z1,z2,,zn外，在每一点都解析，并且它在C上每一点也解析，则有第四节离散时间系统的z域分析一、系统函数线性非移变离散系统的差分方程式为令a0=1对于因果系统，初始为零状态，式两边取Z变换令H(z)=Y(z)/X(z)H(z)为系统函数，表示系统的零状态响应与激励的Z变换之比值。分子分母分解因式

▲cr是H(z)在z平面的零点，dk是H(z)在z平面的极点。因此，除了比例常数A外，整个系统函数可以由它的全部零极点来唯一确定。二、系统的频率响应

▲系统对正弦激励的输出响应，其频率与输入频率相同，幅度等于输入的幅度乘以系统函数在激励信号频率下的幅度，相移等于系统函数的相角。▲结论：单位圆上的系统函数就是系统的频响，系统的频响也就是系统单位样值响应的傅氏变换。对稳定的因果系统，若输入频率为ω0的复正弦序列，其输出

离散系统的幅度响应相位响应由于H(ejω0)是系统对频率为ω0的正弦激励的响应，所以系统函数在z平面单位圆上的值，就是系统的频率响应。这一点也可对卷积式两端直接取离散傅氏变换得到，即

三、系统频响的几何确定方法在z平面上，ejω-cr可用一根由零点cr指向单位圆上ejω点的向量Cr（又称零矢量）来表示；ejω-dk可用一根由极点dk指向单位圆上ejω点的向量Dk（又称极矢量）来表示，由此得到系统函数的零极点表示系统的频率响应极坐标表示极坐标表示

▲系统频率响应的幅度可由零点、极点指向ejω点的向量的幅度来确定；而频率响应的相位则由这些向量的辐角来确定。

▲当频率ω由0~2π时，这些向量的终端沿单位圆反时针方向旋转一周，可以估算出整个系统的频响。

▲图示分析：具有两个极点、一个零点的系统的频率响应。

1）极点当ejω在某个极点dk附近时，|Dk|最短，因而频响|H(ejω)|在这附近出现峰值。极点dk距离单位圆的|Dk|值越小，频率响应出现的峰值越尖锐。显然，当极点dk处在单位圆上时，|Dk|值为零，这时在dk所在点的频响将出现无穷大，这相当于在该频率点出现无耗(Q→∞)谐振。当极点越出单位圆时，系统将处于不稳定状态。

2）零点零点ck的位置与频响的关系则正好相反，当ejω点越靠近某零点ck时，频响就越低，这时频率响应|H(ejω)|将出现谷点。零点越靠近单位圆，谷点越接近零；当零点处在单位圆上时，谷点为零。【例】一阶系统分析一阶系统的差分方程式为可见，该系统有一个零点z=0；一个极点z=a1。系统的单位样值响应:系统的频率响应幅度响应

相位响应

▲几何方法分析：因为零点(z=0)位于中心，故零矢量的|Cr|=1是一个定值。所以频响|H(ejω)|值决定于极矢量变化。当ω=0，2π，4π，…时，极点a1最靠近单位圆，此时|H(ejω)|具有最大值(峰值)；当ω=π，3π,…时，|H(ejω)|具有最小值(谷值).

显然，为保证该系统稳定，要求|a1|<1，即极点在圆内。进一步分析可知，如果0<a1<1，则系统呈“低通”特性；若-1<a1<0，则系统呈“高通”特性；若a1=0，则呈“全通”特性。

参见ppt.35第五节数字滤波器的原理与结构一、数字滤波器的分类1、按频率响应特性，分低通、高通、带通、带阻滤波器2、按单位样值响应h(n)的时间特性，分无限冲激响应、有限冲激响应滤波器

（1）无限冲激响应（Infiniteimpulseresponse，简称IIR）滤波器（2）有限冲激响应（Finiteimpulseresponse，简称FIR）滤波器3、按可实现滤波的方法，分递归滤波器与非递归滤波器

h(n)包含无限个非零值，持续时间无限长输入为单位样值函数δ(n)

▲特点：其系统函数一般包含零点和极点。因系统含有反馈环路，系统在一定条件下才稳定，且h(n)通常是无限长的，此类滤波器一般属于IIR滤波器.（2）非递归滤波器

▲

H(z)除z=0点外，只有零点，没有极点，它属于全零点数字滤波器，所以这个系统是稳定的。（1）递归滤波器其差分方程式为y(n)不仅取决于输入值(包括即时输入与过去的输入)，而且取决于以前的输出值系统函数为▲其h(n)等于差分方程的系数，且为有限长，故此类滤波器属于FIR滤波器此外，按滤波器可实现的方法，分数字网络方法与FFT方法。递归与非递归滤波均属数字网络方法；快速卷积即为FFT方法。【例】

数字滤波器的差分方程和系统函数如下，其硬件实现方法见图二、数字滤波器的结构1、数字滤波器的硬件、软件实现

●实现数字滤波器的两种方法：硬件实现——用数字硬件组装成专用设备，称为数字信号处理机；软件＋计算机——将所需运算编程，用软件实现.2、数字滤波器的运算结构图

▲用信号流程图法分析IIR滤波器及FIR滤波器的运算结构图中的一阶数字滤波器信号流程图，是具有六节点的简单图，每个节点的信号值：①x(n)；②x(n-1)；⑤y(n-1)；⑥b1x(n-1)+a1y(n-1)；④=③；③b0x(n)+[b1x(n-1)+a1y(n-1)]=y(n)。数字滤波系统差分方程式表示h(n)表示H(z)表示运算结构图表示方块图特鲁克萨尔(Truxal)信号流图一阶数字滤波器信号流程图方块图按流入节点的信号计算【例】

差分方程和系统函数如下（1）IIR

滤波器的结构

特点：其H(z)在有限z平面上有极点存在，h(n)延续到无限长，其结构特点——属递归型结构，存在反馈回路。而且，具体实现起来，结构并不是唯一的。同一个系统函数H(z)，可以有各种不同结构形式。直接型结构：y(n)由两部分组成，1）对x(n)的M节延时链的横向结构网络，每节延时抽头后加权相加；2）对y(n)的N节延时链的横向结构网络，它是一个反馈网络。这两部分相加构成输出。实现这种直接型结构，需用2N（N=M）级延时单元。正准型结构：运算结构使延时单元节省一半，可减少硬件(寄存器、延时器)数量，软件法实现可节省占用的存贮单元.

此外，还有级联型、并联型等,不同结构的精度、稳定性、经济性以及运算速度等有所不同（2）FIR

滤波器的结构

特点：其h(n)为有限长序列；y(n)只与输入x(n)，x(n-1)，…有关；H(z)除z=0点外，只有零点没有极点，是全零点数字滤波器，系统稳定。▲由于系统的稳定性，滤波器的输出可用卷积和来描述，即

h(n)是有限长的滤波因子，它与所要滤波的信号卷积，即可实现滤波过程，故FIR滤波器又称卷积滤波器，其输出是有限个输入信号取样值的加权线性和.★频率采样型FIR滤波器结构，是较为复杂的、高度模块化结构，需要较多存贮器和乘法器。只要适当改变加权值，就可构成不同的滤波器组，如用它来代替信号频谱分析仪中一群并列的滤波器，可方便地过滤信号中各频率分量.

★这里的y(n)=x(n)*h(n)是有限长序列的线卷积问题，可转化为圆卷积来求解，而圆卷积可利用FFT技术实现快速运算，故可得到图6-27所示的快速卷积型FIR滤波器结构。这种结构首先通过增添零值的方法延长序列x(n)和h(n)的长度，然后分别求延长了的x(n)和h(n)的FFT，得X(k)和H(k)，最后求X(k)·H(k)的IFFT便得到系统的输出y(n)。该结构的特点是能对信号进行高速处理。★直接型FIR滤波器结构,其差分方程式也就是信号的卷积形式.

∞改为M第六节数字滤波器的设计方法概述一、IIR滤波器设计方法的特点设计过程大致分三步：（1）确定滤波器的性能要求；（2）利用因果性系统函数去逼近性能要求；（3）利用有限精度算法去实现系统函数。

●设计数字滤波器的关键是根据给定的技术指标来确定可实现的H(z)。因为H(z)不仅描述系统的传输特性，而且可用来估计系统的数学模型能否实现.根据数字滤波器的采样性质，其频响H(ejω)是一个以2π为周期的连续函数（频谱延拓），这与模拟滤波器不同。一般情况下，具有实系数而可实现的传输函数，其幅频特性是频率的偶函数，相位特性是频率的奇函数，即1、IIR滤波器设计的基本条件●数字滤波器的设计应满足：

因果性条件

h(n)=0(n<0)

；稳定性条件低通高通带通带阻全通

说明：1）为满足因果条件，H(z)应为有限函数，分母多项式的阶次必须大于或至少等于分子多项式的阶次，即N≥M。因为只有这样，才能使与它相应的差分方程式代表因果系统。2）为满足稳定性条件，H(z)的极点必须分布在z平面的单位圆内，同时要求H(z)是具有实系数的有理分式，极点的分布具有共轭对称性。否则，序列的延迟单元、加法器等，因不是实数而难以实现运算.2、IIR滤波器的设计方法（1）脉冲响应不变法（又称为时域采样法）

●主要有两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计，该方法又分为脉冲响应不变法和双线性变换法等；2）计算机辅助设计，即采用最优技术进行设计。这里只介绍第一种方法。

基本思路：先根据给定的滤波指标，设计一模拟滤波器→对模拟滤波器的脉冲响应作均匀采样→求得数字滤波器的系统函数，即

设计原则：使h(n)与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即h(n)=ha(nT)，T为采样周期。根据采样序列的Z变换与模拟信号拉氏变换的关系，得到参见：LT与ZT的周期性显然，将模拟滤波器变为数字滤波器，就是从s平面到z平面的变换过程。由于是均匀采样，所以数字滤波器的频响是模拟滤波频响的周期延拓，即这时才可能使数字滤波器的频响不失真地重现模拟滤波器的频响，即根据s平面到z平面的影射关系，jω轴上每一个周期间隔(ωs=2π/T)都对应于z平面上绕单位圆转一周，见图。因此，如果模拟滤波器的频响是带限于折叠频率以内(ωc≤ωs/2)的，则有

★任一实际模拟滤波器的频响都不可能是真正带限的，这就不可避免地要出现频谱交叠，即频混现象。这时，数字滤波器的频响就不同于模拟滤波器的频响，产生失真。模拟滤波器的频响在折叠频率以上衰减越大，此失真就越小，采用脉冲响应不变法设计数字滤波器方能得到较好效果。故这种方法仅适于设计带通有限的窄带滤波器。模拟滤波器频响数字滤波器频响ω/T?更正（2）双线性变换法出发点：克服脉冲响应不变法的频率混叠。▲

如何将s平面的jω轴压缩到s1平面的jω1轴上的-π/T~π/T一段上？方法：正切变换，即ω=tan(ω1T/2)将这个关系解析延拓到整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：s1产生混叠的原因：从s平面到z平面影射变换(z=esT)的多值对应关系。基本思路：分两步进行变换，第一步，先将整个s平面压缩到s1平面的一条横带里；第二步，将此横带变换到整个z平面上去，使s平面与z平面建立一一对应的单值关系，即可消除频率混叠现象。因此，当σ=0，|z|=1，s平面的jω轴映射到z平面的单位圆上；当σ<0，|z|<1，s平面的左半部分映射到z平面的单位圆内；当σ>0，s平面的右半部分映射到z平面的单位圆以外。▲上述变换符合前面所提出的映射变换的总要求，因为即s平面的虚轴影射到z平面正是单位圆。

s平面→z平面的单值映射：此式称为线性分式变换此式也为线性分式函数双线性变换s平面→s1平面的映射：s1平面→z平面的映射：当当▲注意

二、FIR滤波器设计的特点

问题：IIR滤波器的设计方法能够使IIR滤波器具有优良的幅频特性，但忽略了相位条件。例如，用巴特沃兹、切比雪夫函数逼近，就属于这一情况。但在实际应用中，如数据传输、图像处理等系统，对数字滤波器既要求有线性相移，又要满足给定的幅频特性。这时，IIR滤波器设计方法不能满足设计的预定要求。1、FIR滤波器具有线性相位的充要条件

FIR滤波器的设计方法：最大特点是与模拟滤波器设计无关，相移特性可以设计成具有严格的线性，而幅频特性则是任意的。

1）双线性变换法是一个代数变换，只要将s平面与z平面之间存在的简单代数关系直接代人模拟滤波器传递函数中，就可求得相应数字滤波器的系统函数和频响。因此，模拟滤波器所具有的优良特性就得以保留。

2）从s→s1平面的变换过程中，频率关系不是线性的，只有在低频段近似于线性，而频率ω1越高，ω被压缩得越厉害，因而会出现非线性畸变现象。一般运用“预畸”方法加以校正。对FIR滤波器，有当要求滤波器具有严格线性相位特性，或者说具有相位不失真条件，应有与模拟滤波器相似，数字滤波器的相频特性与滤波器对离散信号的时延有密切的关系。按相时延与群时延的定义有：此式具有傅里叶级数的形式，根据傅氏级数的性质，若能找到解，则这个解是唯一的。利用数学归纳法，可以得到此式的解为由此得这就是FIR滤波器具有严格线性相位的充要条件：单位样值响应为偶对称性序列h(n)=h(N-1-n)，相位延时等于h(n)长度的一半，即(N-1)/2个采样周期。▲对于只要求具有恒定的群时延的滤波器，应满足的相位条件为这时的相频特性仍是一条直线，但信号通过滤波器不仅有(N-1)/2个采样周期的群时延，而且还产生π/2的相移，并且单位样值响应对于中心n=(N-1)/2是奇对称。下图示意了当N取奇数时的偶对称与奇对称的情况。根据h(n)的奇、偶对称性，以及N是奇数或偶数等特点，有如下四种情况：

(a)

N为奇数，偶对称(b)

N为奇数，奇对称▲关于FIR滤波器的幅度响应特性

第一种：h(n)为偶对称，N为奇数第二种：h(n)为偶对称，N为偶数第三种：h(n)为奇对称，N为奇数第四种：h(n)为奇对称，N为偶数下图表示了第一，二种情况。（a）表示了线性相位关系；（b）表示了N为奇数时h(n)的偶对称情况；（c）表示了幅度响应特性；（d）、（e）表示了N为偶数，h(n)为偶对称情况及其幅度响应特性。2、FIR滤波器的设计方法（1）矩形窗口法▲FIR滤波器设计的中心任务是确定有限长冲激响应序列h(n)。考虑到数字滤波器的频响是一个以采样频率ωs=2π/T为周期的周期函数，故可以在频域内将它展开为傅里叶级数。设指标所要求的理想频响为Hd(ejω)，则其傅里叶级数为可见，这样把傅里叶级数与冲激响应联系起来，只要求得系数hd(n)，传输函数的系数也就确定了，故此法又称为傅里叶级数法。▲由于FIR滤波器的h(n)是有限的，而理论上的单位样值响应hd(n)是一个无限长的序列，并且是非因果性的。因此，要想利用h(n)去逼近hd(n)就必须解决两个问题：1）取多少项？，2）因果性问题。1）取多少项?最简单的方法是将hd(n)直接截断，这就相当于傅里叶级数取有限N项，即

hd(n)的项数虽然有限，但其相应的差分方程式将会出现输出先于输入的序列，是非因果性的。表明：一个可实现的因果系统的传输函数，其相应的h(n)是一个有限长度N的序列。以上引入z-M并没有改变HN(z)的幅度特性，只是改变了原来的相位，使时延增加了M（或MT）或(N-1)/2。故h(n)与设计指标所要求的理想冲激响应hd(n)之间存在下列关系：2）解决因果性问题解决方法：利用序列的移位特性，将有限长序列通过一定的时延，得到

▲当有限冲击响应h(n)所取的长度N确定以后，即可根据给定的指标