第7章多元函数积分学11-16(7.2.3 Green格林公式及其应用)-郑

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第7章多元函数积分学高等数学A7.2曲线曲面积分7.2.3Green公式及其应用格林(Green)公式7.2曲线曲面积分格林简介区域的连通性格林(Green)公式Green公式的应用应用习例1-2应用习例3-4应用习例5应用习例6求平面区域的面积曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件应用习例7-9平面上曲线积分与路径无关的等价条件应用习例10-12二元函数的全微分应用习例13-15小结Green公式及其应用格林（Green）公式：平面区域的二重积分与沿此区域的第二类曲线积分的关系。

意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件，在积分理论的发展中起了重要的作用。

*格林（Green）[英]1793-1841物理学家，数学家,自学成才英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到40岁，父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。一、格林公式及其应用

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD1、区域连通性(不含有“洞”或“点洞”)(含有“洞”或“点洞”)当观察者沿L的正向行走时,区域D内离他近处的那一部分总在他的左边.定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,则有(Green公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,2、Green公式证明依赖于区域的形状证明(1)yxoabDcdABCE思路:公式两边化为同一定积分.从简单情形出发.同理可证yxodDcCEBA证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知注意:格林公式的应用条件L为封闭曲线（取正向）Ｐ，Ｑ在L所围的区域Ｄ内有一阶连续偏导数注意:(1)便于记忆形式:(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号前添“”号!(3)应用Green公式条件缺一不可.3、格林公式的简单应用(1)直接用：当L是封闭曲线时，应用格林公式简化曲线积分注意：还应满足用格林公式的条件例1(简化曲线积分)例1解：(2)间接用：当L不是封闭曲线时，但可添加辅助曲线使之封闭，再用Green公式简化计算。例3例4xyoLAB解1

代入法,例3注意：L的方向为顺时针方向，即L的反向xyoLABOAB例4（3）不能用：方法一：简化被积函数后再用方法二：在D内有使P，Q不连续的点存在，不能直接用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖去不连续点，再用格林公式。例6三格林公式的简单应用例5例5解2：不符合Green公式的条件,但是可以先将曲线方程代入被积表达式的分母，化简后可用格林公式.解1：代入法，见练习题解xyoLyxoL例6yxoLxyoL符合Green公式的条件.在D1上符合Green公式的条件.注意:(4)简化二重积分计算例7解xyo例7(5)计算有界平面区域的面积GyxoBA如果在区域G内有二、平面曲线积分与路径无关1、平面曲线积分与路径无关的定义2、曲线积分与路径无关的条件定理

1证充分性在G

内任取一条闭曲线C,C所围的闭区域为D。G

是单连通的，因此，于是，在D

内应用Green公式，有即，在G

内曲线积分与路径无关。必要性用反证法假设在G

内存在使的点

M0，即不妨设由于P，Q

具有一阶连续偏导数，因此在G

内必有点

M0的一个小邻域D′,在D′内应用Green公式，有于是，矛盾。因此，在G

内恒有两条件缺一不可有关定理的说明：即选择较简便的路径计算应用(直接应用，简化曲线积分的计算)说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为曲线积分与路径无关的条件应用习例应用1(直接应用，简化曲线积分的计算)例10解故原式=解例10定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(2)(3)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即(4)沿D中任意光滑闭曲线

L,有3、平面上曲线积分与路径无关的等价条件证明(1)(2)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,证明(2)(3)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(3)(4)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(4)(1)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(4))证毕注意:(1)曲线积分与路径无关要求在单连通区域内考虑，而Green公式只要求封闭路径；具体求法为：或者曲线积分与路径无关的条件应用习例例12解所以积分与路径无关.或者例12解由Green公式有,(3)如图,由积分与路径无关，三、全微分准则、原函数定理

若在单连通区域G内函数u(x,y)是Pdx+Qdy的原函数，而是G内的任意两点，则证明：在Ｇ内任取连接点Ａ到点Ｂ的光滑曲线Ｌ：证毕进一步问：求u(x,y)的其它方法（用凑微分法不易行）－－借助Ⅱ型曲线积分中取定一点在定理5.5的公式例15在右半平面(x>0)有原函数，并求之.例14

全微分准则习例例14

例15在右半平面(x>0)有原函数，并求之.