第6课 正态分布 概率论

若连续型随机变量

X

的概率密度函数为

则称

X

服从参数为和的正态分布，正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态分布，德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.定义3

记为X～N(

,

2

).f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中-

<

<+

,

>

0为常数，

3.正态分布所以通常称为高斯分布.正态分布密度的性质

(1)在x=处取到最大值故f(x)以μ为对称轴，令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分别代入f(x),

可得且f(μ+c)=f(μ-c)f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)x=μσ为

f(x)

的两个拐点的横坐标.(2)正态分布的密度曲线位于x轴的上方,且关于x

=对称，对密度函数求导：=

0，

(3)密度曲线

y

=

f(x)

有拐点即曲线

y

=

f(x)

向左右伸展时,越来越贴近

x

轴.当x

→

∞时，f(x)→

0+,决定了图形中峰的陡峭程度若固定，改变

的值，反之亦然，则密度曲线左右整体平移.

(4)f(x)以x轴为水平渐近线;正态分布N(

,

2

)的密度函数图形的特点:两头低,中间高,左右对称的

“峰”

状若固定

，改变

的值，决定了图形的中心位置

决定图形的中心位置;

但每个因素所起的作用不大.经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布.正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，

从直方图，我们可以初步看出,年降雨量近似服从正态分布.用上海99年降雨量的数据画出了频率直方图.下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.可见,男大学生的身高应服从正态分布.除了上面提到的年降雨量和某地区成年男子的身高、体重外,农作物的产量，小麦的穗长、株高；在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.生物学中同一群体的形态指标，电子元器件的信号噪声、电压、电流；拟合的正态密度曲线有很多分布还可以用正态分布近似.而正态分布自身还有很多良好的性质.若影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，服从正态分布若随机变量X～N(

,

2

)，则正态分布的分布函数X的分布函数下面我们介绍一种最重要的正态分布

——标准正态分布

=0,

=1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

(x)

和

(x)表示：可查表得其值标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.求P(X

<

0.

5),P(X

>

2.

5)及Y

~N(0,1)

设X～N(

,

2

)，P(-1.64

X

<

0.82).解P(X

>

2.

5)=

1-(2.

5)

P(X

<

0.

5)=F(0.

5)查表得=0.6915;=1

-

0.

9938=0.

0062;P(-1.64

X

<

0.82)

=(0.

82)-

(-1.

64)

=(0.

82)-[1-

(1.

64)]=0.7434;=

即若

X～N(

,

2

)

=

只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决正态分布的概率计算问题.例5设X～N(0

,1

)，并求该地区明年

8

月份降雨量超过250mm的概率.例6某地区8月份降雨量

X服从

=185mm

,

=

28mm

的正态分布，∵

X～N(185

,282)，写出X的概率密度，解所求概率为P(X

>

250)

=1-

P(X

250)

=1-(2.

32)

=1-

0.

9898=0.0102

.再看一个应用正态分布的例子上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;可以证明，如果n很大，而p不接近于0或1时，二项分布近似于正态分布.例8

公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在

0.01以下来设计的.问门高度应如何确定?解

设车门高度为hcm,按设计要求应有

P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面求满足上式的最小

h：若男子身高X～N(170,62),∵X～N(170,62),查表得(2.33)

=

0.9901>0.99，

h=170+13.98184.设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若

X～N(

,

2

)时，要求满足

P(X

>x0)=p

的

x0：

P(X

>x0)=p

已知1987年全国普通高校统考物理成绩XN(42,36),这表明有16%的考生成绩超过48分，

如果某考生得48分,求有多少考生名列该考生之前?例9(确定超前百分位数、排定名次)解由条件知即求P(X>48)，查表可知即84%的考生名列该考生之后.=

1-(1),即成绩高于甲的人数应占考生的16.9%,对于录取考试人们最关心的是

①自己能否达到录取分数线？

②自己的名次？某公司招工300名(正式工280,临时工20名),例10

(预测录取分数和考生名次)

解

设考生成绩为X,最低分数线为x0,166,∴

X

N(166,932)，(1)(预测分数线)考后由媒体得知：考试总平均成绩为166分,360分以上的高分考生有31人.

考生甲得256分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？有1657人参加考试,考试满分为400分.高于此线的考生频率为300/1657∵高于360分的考生频率为(2)(预测甲的名次)当X=256时,P(X>256)这表明高于256分的频率应为0.169,排在甲前应有甲大约排在281名.故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大.∴

P(X>360)类似计算可得，=

0.

9974

例11

设X～N(

,

2)，

解求P(|X-|

<

k)k=1,2,3.P(|X-|

<

3)

=

P(

-

3

<

X<

+

3

)

这表明

X的取值几乎全部集中在区间[-

3,

+3]内，这在统计学上称作

3准则(三倍标准差原则).超出这个范围的可能性不到0.3

%

，从而可以忽略不计.为应用方便，下面引入标准正态分布分位数的概念：则称满足等式

P(X>u

)

=

的数

u

为标准正态分布的上侧

分位数；定义4(P147.)设X～N(0

,1

)，0<<1,P(X

>u

)=1-P(Xu

)称满足等式

P(|X|>u/2

)

=

的数

u/2

为标准正态分布的双侧

分位数；

(x)O

xu

(x)O

x

/

2

/

2-u/2u/2=，

=1-(u)

(u)=

1-

，

可查表得值类似可得

(u/2

)=

1-

/2

，

若

X～N(

,

2

)时，要求满足

P(X

>x0

)=

的

x0：(u)=

1-

u

随机变量

X分布函数离散型连续型——分布列——密度函数

复习其图形是右连续的阶梯曲线其图形是连续曲线f(x)常见的分布均匀分布、指数分布、正态分布离散型连续型两点分布、二项分布、泊松分布超几何分布、几何分布x

p(x)0

f(x)x0

特征非负规范至此，我们已介绍了两类重要的随机变量:全部可能的取值取值的概率分布是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件.F(X)=

P(X

x)P{x1<X≤x2

}

=F(

x2)-F(

x1)

在f(x)的连续点，由于改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质,故可在

没意义的点处任意规定f(x)的值.是判定一个函数f

(x)是否为某连续型随机变量X的概率密度的充要条件.P(

X

=

x0

)=0

P(a<Xb)=P(a

Xb)=P(aX<b

)=P(a<Xb

)分布函数概率分布与分布函数的关系?分布函数的特征—F(x)=

P(X

x)F(-

)=0，F(+

)=

1;

F(x)是x的非减函数;

P(a

<

X

b)

=F(b)-

F(a);

P(X

>

a)

=1-

F(a);X

01pk1-

pp只有两个互逆结果的

n次独立重复试验(