动点问题探究方法

运动型问题探究动态几何问题就是以几何知识为背景，渗入运动变化观点的一类问题，它通常分为三种类型：（1）动点问题（常见形式是：点在线段或弧线上运动）（2）动线问题（东城一模23）（3）动形问题。（动形问题通常是图形的翻转，平移、旋转变换问题）一、动态几何的分类

1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性。2、动静变化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系。3、以动制动：就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系。二、动点问题的解题策略（一）动点在直线上运动三、动点问题的分类（二）动点在抛物线、弧上运动1、如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？P能力准备：1、将线段的长度用时间t和速度v表示出来。AP=t×1,BP=7-t2、弄清点的运动方向，可以用箭头表明。则PB=BC∴7-t=4∴t=3（一）动点在直线上运动变式：如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4∠A=30°(2)若点P从点A沿AB运动，速度仍是1cm/s当t为何值时，△PBC为等腰三角形？74射线（一）动点在直线上运动1、如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°P74当BP=BC时P7430°当CB=CP时∟EP当PB=PC时74PE74当BP=BC时(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论.∴t=3或11或7+或/3时△PBC为等腰三角形（一）动点在直线上运动（10年密云一模）如图，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．MC=NC时，10-2t=t（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（10年密云一模）如图，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．MN=NC时，△NGC∽△DHCNC:DC=NG:DHt:5=(5-t):3GH（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（10年密云一模）如图，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．MN=MC时，△MEC∽△DHCEC:HC=MC:DC（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（10年密云一模）如图，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．∠C既在△EMC中，又在△DHC中，所以从解直角三角形的角度也可解cos∠C=EC:MC=HC:DC（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（2010年北京中考24题）在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=x2/45x/2与x轴的交点分别为原点O和点A(10,0)，点B(2，4)在这条拋物线上。点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)

当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此拋物线上时，求OP的长；

（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（2010年北京中考24题）在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=x2/45x/2与x轴的交点分别为原点O和点A(10,0)，点B(2，4)在这条拋物线上。若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。

（一）动点在直线上运动----中考模拟试题（2010年朝阳一模8题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=60o,AB=AD=BO=4,OC=8,点P从B点出发，沿四边形ABCD的边BA→AD→DC以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t,△POD的面积为S，则S与t的函数图象大致为（）（一）动点在直线上运动----中考模拟试题D1、平面直角坐标系中，矩形ABCD，A(3，0)，B(3，4)，动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中M沿OA向终点A运动，N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。(1)P的坐标为(用含x的代数式表示)；OMABNyCPx（一）动点在直线上运动----强化练习(2)请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？··ABA’P----最短距离问题（一）动点在直线上运动··ABA’PB’·----最短距离问题（一）动点在直线上运动【2009北京中考】如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则△ＰＢＱ周长的最小值是()cm(结果不取近似值）AD

BQCP----最短距离问题（一）动点在直线上运动【2006北京中考】已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

[分析]这是一道由轴对称的典型例题改编的“台球两次碰壁问题”；台球由点M击出，经过x轴、抛物线的对称轴两次碰壁后，恰好经过点A，求台球经过的路径．如图，设点M关于x轴对称的点为M′，点A关于抛物线的对称轴对称的点为A′，连结M′A′，则M′A′的长为ME＋EF＋FA的最小值．----最短距离问题（一）动点在直线上运动【2006北京中考】已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

【2010年丰台一模】已知二次函数．（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．----最短距离问题（一）动点在直线上运动（2009中考25）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个点的坐标分别为A（-6,0），B（6,0）延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点（出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。----最短距离问题（一）动点在直线上运动【2009中考25】（）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个点的坐标分别为A（-6,0），B（6,0）延长AC到点D,使CD=，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。【2010崇文一模】已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．----最短距离问题（一）动点在直线上运动----总结提升（1）等腰三角形的问题要分类讨论（2）可通过相似列出方程，将求时间的问题转化为求线段的问题。所以，相似是解决动点问题的一种重要方法。（3）在直角三角形中可以从相似和解直两个不同角度解题。（一）动点在直线上运动（10年通州一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积.（二）动点在曲线上运动【大兴一模】如图2，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒,∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）（二）动点在曲线上运动C【昌平一模】如图，在半径为1的⊙O中，直径把⊙O分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合）