第17章压杆稳定

第17章压杆稳定(stability)4学时§17.1概述17.1.1压杆稳定性的概念17.1.2弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲17.1.3研究压杆稳定性的方法§17.2静力法§17.3能量法（不要求）§17.4不同支承条件下细长压杆的临界载荷§17.5柔度临界应力总图17.5.1临界应力和柔度17.5.2欧拉公式的适用范围17.5.3大柔度杆中柔度杆小柔度杆17.5.4中柔度杆的临界应力公式临界应力总图§17.6压杆的稳定计算§17.7提高压杆稳形的措施17.7.1减小柔度17.7.2合理选用材料§17.8其他形式构件的失稳问题作业17.117.217.417.617.917.1017.1117.1317.181第17章压杆稳定(stability)物体平衡存在稳定与不稳定问题。本章主要内容：(1)介绍受压杆件稳定性的基本概念；(2)介绍确定压杆临界载荷的两种方法：静力法和能量法；(3)不同支承条件下弹性压杆的临界载荷公式；(4)压杆的临界应力总图；(5)介绍压杆的稳定性校核及设计准则。2第17章压杆稳定(stability)§17.1概述17.1.1压杆稳定性的概念稳定与失稳(stabilityandloststability)细长直杆在轴向压力作用下处于平衡状态。当压力小于一定数值时，压杆一直处于直线形式的平衡，微小的外界扰动使其偏离平衡位置，发生微小的弯曲变形，但扰动解除后，仍能恢复到初始直线平衡位置，这时称压杆直线形式的平衡状态为稳定的。当压力达到一定数值时，外界扰动使其发生微小弯曲变形，扰动解除后，它将处于微弯状态下的平衡，而不能恢复到初始直线平衡位置，这时称压杆直线形式的平衡状态为不稳定的。3压杆丧失直线形式的平衡状态转变为曲线形式的平衡状态，这一过程称为失稳。临界载荷(criticalloading)压杆由直线形式的平衡状态转变为曲线形式的平衡状态，其必须承受“一定数值”的压力，这一压力称为压杆的临界载荷或临界力，用Fcr表示。屈曲(buckling)失稳又称为屈曲。从几何形态的变化上考虑，横力弯称为“弯曲”，纵力弯称为“屈曲”，两者变形都是杆轴线由直线变为曲线。弹性压杆对于细长杆，当压力达到临界载荷时，横截面上的应力并不很高，不高于比例极限。细长杆是在弹性范围内失稳的，所以细长压杆也称为弹性压杆。417.1.2弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲FF当F<Fcr时，压杆直线平衡形式，无挠度，稳定平衡。当F≥Fcr时，(1)直线平衡形式：wmaxF-wmax的关系由图中的竖直线OA表示。wmaxFOFcrAwmax=0(2)曲线平衡形式：BF-wmax的关系由图中的竖虚线AB表示。wmax≠0F-wmax的关系由图中的实曲线AC或AD表示。CD当F≥Fcr时，压杆直线平衡形式变为不稳定的曲线平衡形式，稍有扰动就变为屈曲。F-wmax曲线称为压杆的平衡路径，点A称为平衡路径的分叉点，因而细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲，其临界载荷又称为分叉载荷。517.1.3研究压杆稳定性的方法压杆是工程实际中经常遇到的构件，例如千斤顶的丝杠，各种活塞杆，发动机的连杆，桥梁结构及房屋建筑所用桁架中的抗压杆等。由于压杆失稳导致整个结构破坏的情况时有发生，因此稳定性问题是不可忽视的。确定临界载荷的方法受压杆件在正常工作时，应满足强度、刚度和稳定性条件。满足稳定性条件，即F<Fcr。因此确定临界载荷Fcr是稳定性分析的关键问题，临界载荷的确定方法可分为两类：(1)静力法：(2)能量法：根据压杆处于临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。6§17.2静力法在小变形情况下，平衡条件始终是在未变形形态下应用的。如果压杆是弹性稳定的，而且并不处于分叉点附近，可以应用未变形形态的平衡条件。但是为了研究稳定性，求出临界载荷，即使变形很小，也必须应用变形后形态下的平衡条件。研究稳定性问题的特点7结构稳定结构不稳定稳定与不稳定的分界发生在F=2kl，这就是临界载荷。举例说明临界载荷不计重量的刚性杆AB，如图所示。ABFkkl在铅垂位置，两弹簧不变形。F恢复力矩偏离力矩外界扰动8静力法的原理和步骤（欧拉公式的推导）两端铰支等截面细长压杆为例。当F=Fcr时，杆件可能有两种平衡形式：(1)直线：不稳定，稍有外界扰动转变为曲线平衡；(2)屈曲：取微弯状态下的平衡来研究。FcrFcrABAFlBwxFcrFcrxxAwxwM(x)挠曲线方程弯矩为“+”，挠度为“-”小变形，截面应力不超过比例极限令9二阶齐次常微分方程，其通解为A、B为待定常数边界条件：x=0，w=0；x=l，w=0平凡解（无聊解），表示w=0杆仍处于直线平衡状态，舍去若w≠0，A和B不能同时为零，则稳定特征方程(characteristicequation)n=0，得到Fcr=0，平凡解（无聊解），舍去非零解称为原平衡微分方程的本征值10可见杆的正弦曲线拐点越多，所对应的临界载荷越大。临界载荷应是本征值中最小的本征值，即(17.1)两端铰支细长压杆的临界载荷计算公式欧拉公式(Euler’sformula)欧拉公式的讨论和说明(1)压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内首先失稳，因此当各个弯曲平面内约束相同时，欧拉公式中的I值应取压杆横截面的最小惯性矩Imin。(2)2个半波正弦曲线3个半波正弦曲线……11但是实际上只有挠曲线的拐点处存在夹持时，压杆失稳状态才有可能出现上述挠曲线形状，如图所示。Fcrl/4l/4l/4l/4n=4个半波正弦曲线Fcrl/3l/3l/3n=3个半波正弦曲线Fcrl/2l/2n=2个半波正弦曲线如果去掉夹持的约束，虽然在理论上压杆可以维持上述挠曲线形状，但是只要稍有外界干扰，这些曲线平衡形式就立即消失。12由于实际压杆中，不可避免地存在各种干扰因素，如杆的初曲率、外力作用的偏心等，所以上述各种临界状态是不可能存在的。因此工程上具有实际意义的临界载荷，是取n=1时的最小临界载荷(3)当n=1时，其中A——杆中点的挠度，无法确定的常数。这是因为在推导过程中使用的是挠曲线近似微分方程，如果用精确微分方程就可以确定A的值了，只是计算过程非常复杂。13(4)欧拉公式是在理想条件下得出的，即压杆材料均匀，无初曲率，压力作用线与杆轴重合等。但是实际上理想条件是不存在的。理论分析和实验证明，当上述影响因素并不明显时，可以认为欧拉公式对小偏心杆或小曲率杆仍然适用，由此引起的差异可由选择的安全因数来调整。例题17.114不要求§17.3能量法15§17.4不同支承条件下细长压杆的临界载荷各种不同支承条件下的临界载荷的通用形式欧拉公式的普遍形式(17.4)其中——不同支承条件下压杆失稳时挠曲线正弦半波的长度，称为相当长度(equivalentlength)。——长度因数(factoroflength)。解释：(1)压杆的临界载荷值对两端支承条件是十分敏感的，如图所示；(2)压杆的不同支承情况可用不同的长度因数来反映，其值可查设计手册和规范，或用判断和经验对已有结果进行内插值得到。16Fcrl(a)Fcrl(b)Fcrl(c)Fcrl(d)17铰支弹簧端支承的长度因数简单介绍一个两端联结在其他弹性杆件上的等直压杆，假设其水平方向不能移动，而两个端截面的转动受到与其相连的其他杆件的弹性约束，其端弯矩与转角成正比这种情况可以看作铰支弹簧端，如图所示。FcrlAB这是一种介于固定端和铰支座之间的弹性支承，当时，相当于铰支座，当时，相当于固定端，当时，。18§17.5柔度临界应力总图17.5.1临界应力和柔度临界应力(criticalstress)临界载荷作用下，压杆在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。截面惯性半径令柔度(column)（长细比）反映了压杆长度、约束条件、截面形状和尺寸对压杆临界应力的影响。在压杆稳定分析中，柔度是一个很重要的参数。柔度（长细比）(17.5)19临界应力为(17.6)欧拉公式的另一种形式17.5.2欧拉公式的适用范围欧拉公式是由挠曲线近似微分方程导出的，而此方程又是以胡克定律为基础的，因此欧拉公式只有在临界应力不超过材料的比例极限时才有效。当时，(17.7)于是欧拉公式的适用范围可表示为可见，与材料的力学性能有关，因此对不同的材料，欧拉公式适用的范围也不同。例如：Q235A钢，E=206GPa，σp=200MPa，λp≈100，即λ≥100可用欧拉公式。2017.5.3大柔度杆中柔度杆小柔度杆(1)大柔度杆(longcolumn)（细长杆）大柔度杆（细长杆）发生弹性失稳欧拉公式(2)中柔度杆(intermediatecolumns)（中长杆）中柔度杆（中长杆）发生非弹性失稳出现塑性变形欧拉公式不适用，而采用经验公式。某一数值(3)小柔度杆(shortcolumns)（短粗杆）小柔度杆（短粗杆）不发生失稳小柔度杆的破坏是由于压应力达到屈服极限（塑性材料）或强度极限（脆性材料）而引起的，是一个强度问题，其“临界应力”是屈服极限或强度极限。21AB17.5.4中柔度杆的临界应力公式临界应力总图以实验为依据给出了计算中柔度杆临界应力的经验公式。常用的有直线公式和抛物线公式。(1)直线公式(17.8)λ——压杆的实际柔度，a、b——与材料相关的常数，（查表P126表17.1）。临界应力总图采用直线公式计算中柔度杆的临界应力时，σcr—λ曲线，称为临界应力总图。OCD强度问题直线公式欧拉公式(17.9)小柔度中柔度大柔度22计算临界应力的步骤：(1)由压杆所用材料计算(2)由压杆的尺寸及支承条件计算出压杆的实际柔度若在各个弯曲平面内的柔度不同，则取。(3)用

与，相比较，选用临界应力的计算公式大柔度杆欧拉公式临界应力总图的曲线CD段中柔度杆直线公式临界应力总图的斜直线BC段小柔度杆强度条件临界应力总图的水平线AB段若压杆由脆性材料制成，只要将换成即可。23(2)抛物线公式a1、b1——与材料相关的常数我国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式：(17.10)(17.11)Q235A钢：(17.12)16锰钢：(17.13)24临界应力总图O计算临界应力的步骤：与直线公式计算临界应力的步骤基本相同。说明：临界力的大小是压杆整体的变形所决定的。压杆上因存在钉孔等造成的局部消弱对杆件的整体变形影响很小，因此计算临界力或临界应力时，一律采用未消弱的横截面形状和尺寸。例题17.3例题17.4小中柔度大柔度25§17.6压杆稳定的计算大柔度杆欧拉公式中柔度杆直线公式小柔度杆强度条件抛物线公式26(3)设计压杆安全工作的尺寸压杆稳定条件压杆稳定的计算压杆的稳定计算(1)校核压杆的稳定性(2)计算许可载荷压杆稳定条件临界力Fcr相当于压杆稳定性的破坏载荷或极限载荷。为了保证压杆不会丧失稳定性，必须使其具有足够的稳定安全储备，即压杆承受的工作压力F满足如下条件：(17.14)[Fst]为压杆稳定许用载荷[nst]为压杆稳定安全因数27压杆稳定安全因数压杆稳定安全因数[nst]一般要大于强度安全因数。

其原因是实际压杆不是理想压杆，难免存在初曲率、载荷偏心及材料不均匀、有钉孔等，都会使压杆的临界载荷降低。而且柔度越大，上述因素影响也越大，所以压杆稳定安全因数[nst]的值也将随着λ的增大而提高。一般情况下，钢材：[nst]=1.8~3.0；铸铁：[nst]=5.0~5.5；木材：[nst]=2.8~3.2，但这些取值也不是绝对的，稳定安全因数还与压杆的工作条件有关，例如钢制的磨床油缸活塞杆，[nst]=4~6。不同情况可查专业手册。(17.15)nst为临界载荷与实际工作压力的比值，称为工作安全数，表示压杆实际具备的安全因数。

上式的含义：压杆实际具备的稳定安全因数不能小于规定的稳定安全因数。利用上式进行稳定计算的方法称为安全因数法。28例题17.5例题17.6例题17.7例题17.8例题17.929§17.7提高压杆稳定的措施

临界载荷Fcr的值越大，压杆的稳定性越好。提高压杆稳定性，就得研究影响临界载荷的诸多因素。（细长杆）或（中长杆）柔度λ在不改变横截面面积的情况下，对细长杆和中长杆来说，合理选用材料，也可以提高压杆稳定性3017.7.1减小柔度λ(1)改革支承条件，增强支承的刚性使压杆长度因数μ的数值降低，从而达到减小柔度λ。若将两端铰支改为两端固定，细长压杆的临界载荷可达到原来的4倍。例如：滑动轴承的长短对轴的约束也不同，滑动轴承较长，则约束越接近固定端；轴承较短，则接近铰支承。因此在条件许可的情况下，应适当增加轴承长度，以提高压杆稳定性。(2)减小压杆长度由于柔度λ与杆长l成正比，所以在结构许可的情况下，尽可能减小压杆长度，能显著提高压杆的稳定性。31如果结构不允许减小杆长，也可通过增加支承的办法，达到同样的目的。如果在两端铰支细长压杆的中点增加一个铰支承，其临界载荷可增加到原来的4倍。实际中为了提高稳定性，大型车床的丝杠上都设有若干中间支承。(3)合理选择截面形状和尺寸当截面面积A一定时，提高惯性矩I，可以增大惯性半径i，从而达到减小柔度λ的目的。提高惯性矩I，最经济的办法是采用空的截面，如空心圆截面或采用型钢制成的组合截面。如图所示，用两根槽钢组成的压杆，方案(b)和方案(c)显然比方案(a)合理。zy(a)zyb(b)zyc(c)32但要注意，不能使空心圆截面的杆壁太薄，否则会引起局部失稳；也不能使组合截面中型钢之间距离过大，否则连接变弱，整体性能变坏，各型钢近似为独立的压杆，稳定性大大降低。(4)等稳定性问题

等稳定性就是让各个弯曲平面内的柔度相等，因为失稳总是首先发生在柔度最大的弯曲平面内，其他弯曲平面内柔度再小也不能提高压杆的承载能力，所以等稳定性是最经济的设计方法。

等稳定性的思路：(1)若压杆在各个弯曲平面内约束条件相同，即μ相同，则应选用空心圆形，空心正方形等截面形状。对于组合截面压杆，如图所示，也应按照Iy=Iz的原则，调整b的值。zyb33zyc(2)若压杆在不同弯曲平面内约束条件不同，即μ不同，则应选用Iy≠Iz的截面形状，例如矩形截面，并在具有较刚性约束的平面内使主惯性矩较小，力求使两个主惯性平面内柔度值相互接近。对于组合截面压杆，如图所示，则应调节c值，以使xy及xz平面内的柔度λ值相等或接近。17.7.2合理选用材料(1)大柔度杆选用弹性模量E的数值大的材料，可以提高压杆的稳定性。例如其他条件均相同时，钢杆的临界载荷大于铸铁杆的临界载荷。但是要注意，包括普通低碳钢、合金钢及高强度钢在内的各种钢材，弹性模量E大致相同，约在200~210GPa，因此试图选用高