第15章压杆稳定

建筑力学欢迎使用工程力学系多媒体教学课件系列之五第15章压杆稳定水利土木工程学院结构力学课程组第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述轴向拉、压杆的强度条件为例：长为600mm的钢板尺，横截面尺寸为32mm1mm。钢的屈服应力为[]=170MPa。按强度条件计算得钢尺所能承受的轴向压力为[F]=A[]=5540N实际上，当压力不到

15N

时，钢板尺就被压弯。可见，钢板尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与

受压时变弯

有关。引例max≤[]1mm32mm水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述压杆在实际工作过程中，不可避免地存在与设计不相符的工作状态，例如：①压杆在制作时其轴线存在初弯曲；②外力作用线不可能毫无偏差的与杆轴线相重合；③压杆材料的存在不均匀连续性。上述因素都不可避免地引起外加压力的偏心作用。受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形——弯曲变形将随压力的增大而加速增长，并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。④工作过程出现的其它可能因素。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述由于影响压杆稳定性的因素很多，我们不可能在建立力学模型时将所有的因素都考虑进去。本章中压杆稳定性的研究对象不是实际压杆，而是理想压杆。理想压杆：

杆的材料均匀，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线重合，不存初弯曲、初应力和初偏心。研究方法：

当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力，通过理论或实验讨论压杆的受力和变形特征，研究其承载能力。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述压杆的的稳定平衡和不稳定平衡状态不稳定平衡稳定平衡水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述稳定平衡状态临界平衡状态不稳定平衡状态失稳(a)FPFPFQ<Fcr(b)FPFPFQ=Fcr(c)FPFPFQ>Fcr水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述塔吊中的压杆水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述脚手架中的压杆水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述西安脚手架倒塌事故现场

水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述高压输电线路中的受压构件高压架空线是无绝缘、裸露的金属导体，以绝缘子串固定在铁塔上，以空气为绝缘。在一般情况下架设高度是人接触不到的，是相对安全的，所以不加绝缘皮，这样不但成本低，而且重量轻，架设也比较方便；另外，当电压高到几十千伏时，就算有绝缘，高电压也能将其击穿，绝缘体也没有任何作用。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述

1907年8月29日晨，当主跨悬臂已悬拼至接近完成时，南侧一下弦杆由于缀条薄弱等原因突然压溃，导致悬臂坠入河中，当时桥上的86人中有75人身亡。

1916年9月11日第二次发生事故，造成6人遇难，原因是当新的锚固孔及悬臂均已建成，用千斤顶提升悬挂孔（重5000吨的钢梁）时，悬挂孔下面的支承铸件突然破裂，导致悬挂孔倾斜，滑落水中。加拿大圣劳伦斯河魁北克桥(建于1904～1918年)水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述于是谣言四起，有一个流传最广。据说建桥时政府不顾印第安人的反对，推倒了岸边81座印第安人的祖坟。于是印第安人的巫师对此桥下了咒语，说这桥一定要倒塌3次。没想到1907和1916年,魁北克桥果然坍塌两次，死亡人数正好是81人，成为加拿大桥梁史上难以磨灭的悲剧。也许是惧怕第三次的倒塌,，魁北克市在同一地点修建了第二座大桥。为了接受这个教训，加拿大政府把断桥上的铁打制成了一枚枚铁戒指，赠送给全国每一个攻读土木工程专业的大学生。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.1压杆稳定概述其它形式的构件也存在稳定性问题：第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长理想压杆，忽略杆的轴向变形和剪切变形的影响，研究其临界力Fcr的计算公式。

两端铰支的细长压杆的临界力由于细长理想压杆在临界状态时，可以保持直线和微弯两种形式的平衡状态。在线弹性范围内，可利用梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程来研究。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支的细长压杆的临界力该二阶常微分方程的通解为水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支的细长压杆的临界力水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支的细长压杆的临界力水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支的细长压杆的临界力欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

不同支承约束下的细长压杆的临界力对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：称为长度系数，与杆端的约束情况有关；L称为计算长度，代表压杆失稳时挠曲线上两拐点之间的长度；EI为杆件的抗弯刚度，其中E为弹性模量，I为截面的最小的形心主惯性矩。式中：水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

不同支承约束下的细长压杆的临界力水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式

不同支承约束下的细长压杆的临界力验证：长为600mm的钢板尺，横截面尺寸为

32mm1mm。利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界力。1mm32mm水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式FFFa(a)1.3a(b)1.6a(c)2aF(d)各杆均为圆截面细长压杆(>P)，且所用的材料和截面均相同，试比较各杆的承载力大小。各杆均为细长杆且材料和截面相同，都可用欧拉公式计算临界力并只需比较各杆的计算长度l即可。根据欧拉公式杆a：l=2×a=2a杆b：l=1×1.3a=1.3a杆c：l=0.7×1.6a=1.12a杆d：l=0.5×2a=aFcra<Fcrb<Fcrc<Fcrd

【例15-1】【解】水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.2细长压杆临界力的欧拉公式ABC0.5aFa故取已知图示圆截面压杆的抗弯刚度为EI，试求压杆的临界压力。在这种情况下，关键是必须明确压杆两端的支承约束类型和长度系数，以便确定每段压杆的计算长度。

【例15-2】【解】第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图细长压杆受临界力FPcr作用而仍在直线平衡形态下维持平衡时，横截面上的平均压应力称为压杆的临界应力，通常用cr表示，即注意到为压杆横截面对中性轴的惯性半径，有临界应力－欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图引入压杆的长细比或柔度的概念，即临界应力－欧拉公式代入压杆的临界应力计算公式中，得由于欧拉临界力计算公式是根据挠曲线近似微分方程推导得出的，是建立在胡克定律基础上的，因此只有材料在线弹性范围内工作时，欧拉公式才能适用。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图临界应力－欧拉公式材料在线弹性范围内工作时，令所以只有欧拉公式的适用范围可表示为其中是与材料的力学性质有关的物理量。对于同一种材料一般可认为是一个常数，可以在相关的规范或工程手册中查到。因此，当p时，欧拉公式不适用。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图临界应力－欧拉公式关于柔度（长细比）与惯性半径

压杆的柔度（长细比）集中地反映了压杆的长度、杆端约束、截面尺寸和形状对临界应力的影响。越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按柔度较大者计算压杆的临界应力cr。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图1.

大柔度杆或细长杆压杆将发生弹性屈曲，此时压杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限。根据柔度的大小可将压杆分为三类:临界应力总图水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图2.

中长杆压杆亦发生屈曲，压杆在横截面上的正应力已超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态，为非弹性屈曲。临界应力总图水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图临界应力总图细长杆中长杆粗短杆3.

粗短杆此时压杆不会发生屈曲，但会发生屈服失效，是一个强度问题。临界应力总图其中也与材料的力学性质有关。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图临界应力总图一些常用材料的a、b、p、s值水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图

Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（a为正视图，b为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知L=2300mm，b=40mm，h=60mm。材料的弹性模量E=205GPa。试求此杆的临界力和临界应力。

【例15-3】水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图【解】正视图：水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图【解】俯视图：水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图【解】第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。压杆的稳定性设计主要采用安全系数法与折减系数法。首先介绍安全系数法。采用安全系数法时，稳定性安全条件一般可表示为式中nw

为工作安全系数，nst为容许安全系数，cr和Fcr分别为临界力和临界应力，w

为实际工作应力，FN为压杆的实际轴力。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计下面介绍压杆稳定性设计的折减系数法(稳定系数法)。定义稳定容许应力为式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。是的函数，即=()

，其值在0～1之间。定义折减系数或稳定系数为

稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，规定强度安全系数为1.4~1.7，稳定安全系数为1.5~2.2。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计即或

折减系数法(稳定系数法)

的稳定条件可表述为压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]，有注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计稳定性设计（stabilitydesign）一般包括三类问题：确定容许载荷当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的容许载荷。稳定性安全校核当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。选择截面尺寸当外加载荷、约束以及材料性能均为已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，选择压杆的截面尺寸。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计

★

根据材料的弹性模量与比例极限E、P，计算或查表得到p

和s，再根据杆长l、截面的惯性矩I和面积A，以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比

。

★

然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界应力。

★

最后，根据压杆的稳定性安全条件，进行稳定性设计。

★

对于一个系统，应用平衡方程求出压杆所受的轴力或轴力与外力的关系。稳定性设计一般过程：水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计结构如图，二杆的直径均为d=20mm，材料相同，材料的弹性模量E=210GPa，比例极限P=200MPa，屈服极限s=240MPa，强度安全系数n=2，规定的稳定安全系数nst=2.5，试校核结构是否安全。

【例15-4】FN1FN2【解】1、

求两杆的轴力FN1=1.414F=21.21kN，FN2=F=15kN2、强度校核水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.4压杆的稳定设计FN1FN2【解】3、

压杆稳定性校核结构安全。

第15章水利土木工程学院结构力学课程组压杆稳定15.3临界应力和临界应力总图15.4压杆的稳定设计15.5提高压杆承载能力的主要措施15.1压杆稳定概述15.2细长压杆临界力的欧拉公式水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.5提高压杆承载能力的主要措施影响压杆承载能力的因素:1.细长杆与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。2.中长杆主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比及压杆的横截面面积。3.粗短杆主要取决于材料的屈服极限和杆件的横截面面积。水利土木工程学院结构力学课程组第15章压杆稳定15.5提高压杆承载能力的主要措施1.

尽量减少压杆杆长对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减