第13章 弯曲应力

第13章弯曲应力1纯弯曲：横力弯曲：§13-1纯弯曲时梁横截面上的正应力一.纯弯曲：2在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FS3弯曲变形动画4变形几何关系物理关系静力学关系三个方面:一.几何变形(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb正交；(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。51.平面假设：梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。2.单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。6

梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.中性层中性轴中性层中性层与横截面的交线称为中性轴7几何方程二.物理关系一点的正应力与它到中性层的距离成正比。dx8三.静力学方程横截面对Z轴的静矩设中性轴为zyzM9截面的惯性积（y为对称轴）截面对z轴的惯性矩中性层的曲率公式10横截面上的最大正应力当中性轴是横截面的对称轴时：正应力Wz称为抗弯截面模量111）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。3.简单截面的抗弯模量(1)矩形：y12(2)圆：(3)圆环yxDdZy0D13二.横力弯曲时的正应力三.梁弯曲正应力强度条件上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。14利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷15[例]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？解：16

[例]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？解：主梁AB:MAB17PaCD副梁CD:由得M18[例]受均布载荷的外伸梁材料许用应力

校核该梁的强度。解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全19[例]图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。C截面B截面2.54＜＜＜＜20§13-2梁横截面上的切应力21ts1MFSts2M+dMFS一.矩形截面梁的剪应力22在hb的情况下23结论：243.切应力分布规律bhyzFSy25二.工字形截面梁的剪应力腹板翼缘在腹板上：26

在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。

在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。

腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。对于标准工字钢梁：27三.圆及圆环截面梁的剪应力最大剪应力：1.圆截面2.圆环截面最大剪应力：28四.弯曲剪应力强度条件[例]圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin（第二个强度条件）29解：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：-40kN40kN30§13-3提高梁强度的主要措施31控制梁弯曲强度的主要因素是正应力设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。一.合理的布置支座位置载荷和合理加载1.合理布置支座位置ACB32ACB2.合理布置载荷33合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。W要大同时A要小，W/A最大为好。341）对于[t]=[c]的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘σtmax=σcmax2）对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用中性轴偏于受拉边的截面。35三、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力例如：矩形截面梁，跨中C处受集中力P,截面高h为常数，宽度b可变化，b=b（x）,求b（x）［σ］