第11章(压杆稳定-5wang)

第11章

压杆的稳定性§11-1压杆稳定的概念平衡的稳定性稳定平衡不稳定平衡随遇平衡mgmgmgF<Fcr(a)压杆的稳定平衡(c)F<Fcr(b)干扰力F<Fcr(1)当F＜Fcr时，撤去横向干扰力后，压杆仍能恢复原有的直线平衡状态——稳定平衡。Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力，即临界压力（临界荷载）。（2）当F≥Fcr时，在干扰力除去后，杆件不能恢复到原直线位置。——失稳。(d)F≥Fcr(c)F≥Fcr压杆的不稳定平衡杆件在原直线状态的平衡——不稳定平衡。其它失稳的工程例子梁压力管道拱2010年11月18日上午9时15分，浙江嘉兴电厂三期码头取水口工地，一名工人在水下钻孔钢护筒内作业时，因海水涨潮，水压增大致使护筒突然发生变形，工人被困在24米深的护筒底部，在这名工人被困77小时后，救援队将围困工人的钢桶整体吊出水面并进行切割，救出该名工人。弯曲失稳的主要因素（干扰）：荷载不可避免地有一定的偏心；杆轴线有一定初曲率；材料本身的不均匀性。压杆正常工作要满足稳定性条件。建立稳定性条件，关键是要确定压杆的临界压力Fcr。F≥FcrFcr与哪些因素有关？F≥Fcr材料几何尺寸约束?§11-2细长压杆的临界荷载一、两端铰支的临界压力FcrM(x)Fcr=FM(x)=Fcrw(x)（a）EIw″(x)=-M(x)（b）得:EIw″(x)=-Fcrw

(x)令:k2=Fcr/EI得:w″+k2w=0（c）

w(x)=Asinkx+Bcoskx（d）FcrxxyOlw0二个边界条件:（1）x=0，w=0（2）x=l，w=0sinkl=0w(x)=Asinkx+Bcoskxk2=Fcr/EIFcrxxyOlw0B=0w=Asinπx/l…………（f）

w0=w│x=l/2=A………（g）

n=1时（Fcr最小）：FcrxxyOlw0w(x)=AsinkxFcr与w0的关系。FcrxxyOlw0Fw0OFcr简化模型.精确模型.实际情况.w=Asinπx/l…………（f）

w0=w│x=l/2=A………（g）

w(x)=Asinkx二、不同杆端约束下压杆的临界压力Fcr

统一形式：μ——长度系数，μl——相当长度Fcrμ=1lFcrμ=2l2lFcrμ=0.5l/2l/4l/4Fcrμ=0.70.7l0.3l0.67l0.33l结论：（1）Fcr与EI成正比，与l2成反比，且与杆端约束有关。Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过长度系数μ来实现的。要根据实际情况选择适当的μ。μ——长度系数，μl——相当长度（3）当杆端各个方向受到的约束情况相同时，则失稳一定发生在最小刚度平面，即I最小的纵向平面。

（4）若杆端约束在不同方向不相同时，要分别取μl和I，计算Fcr，选Fcrmin进行稳定分析。（5）假设压杆是均质的直杆，且中心受压—理想压杆。柱形铰§11-4欧拉公式的适用范围和非弹性失稳的压杆一、压杆的临界应力λ=μl/i——柔度，细长比。λ越大，压杆越细长，σcr

越小，Fcr越小，越不稳定。Fcr二、欧拉公式的适用范围（线弹性失稳）适用条件：σcr

=π2E/λ2≤σP

σP

——材料的比例极限——细长杆（大柔度杆）Fcrλ=μl/i——柔度。小柔度杆（粗细杆）中柔度杆（中长杆）大柔度杆（细长杆）三、非弹性失稳的压杆低碳钢压杆试验结果FEuler公式临界应力与柔度关系的简化模型直线型二次曲线小柔度杆（粗细杆）中柔度杆（中长杆）大柔度杆（细长杆）(1)大柔度杆(2)中柔度杆(3)小柔度杆强度破坏非弹性失稳直线型公式系数a,b和柔度系数λP,λu材料(σs,σb/Mpa)a/MPab/MPaλPλuQ235(σs=235,σb≥372)3041.1210060优质低碳钢(σs=306,σb≥470)4602.5710060硅钢(σs=353,σb≥510)5773.7410060铬钼钢9805.2955硬铝3923.2650铸铁3321.4580松木28.70.259抛物线型公式我国钢结构规范对中小柔度杆件采用抛物线型实验公式。式中：如Q235钢：压杆承载力计算的三种情况Fλ≤λu小柔度杆Fλu<λ<λP中柔度杆FλP

≤λ大柔度杆λ=μl/i四、临界应力总图（压杆破坏时的极限应力）（1）0＜λ≤λu，小柔度杆，σcr=σu；（2）λu

＜λ≤λP，中柔度杆，σcr=a-bλ

；（3）λ＞λP，大柔度杆，σcr=π2E/λ2

。临界应力图Oλ小柔度杆中柔度杆大柔度杆强度破坏区非线性弹性失稳破坏区弹性失稳破坏区λ=μl/i例1.图示两根压杆，其直径均为d，都是A3钢，但二者的长度和约束条件不同(a)图压杆两端为球铰约束。(b)图压杆两端为固定约束。试求:(1)哪一根压杆的临界力大？(2)当d=0.16m时，各杆的临界力。解：（1）二杆均为圆截面（a）（b）由于(a)、(b)约束不同，且长度也不同。（a）（b）可见，二杆均为大柔度杆件。由欧拉公式:（a）（b）（a）（b）作业11-2(b)11-411-12（1）0＜λ≤λu，小柔度杆，σcr=σu；（2）λu

＜λ≤λP，中柔度杆，σcr=a-bλ

；（3）λ＞λP，大柔度杆，σcr=π2E/λ2

。临界应力图Oλ小柔度杆中柔度杆大柔度杆强度破坏区非线性弹性失稳破坏区弹性失稳破坏区Fcr欧拉公式：例2.一压杆长l=2m，截面为10号工字钢，材料为Q235钢，σs=235MPa，E=206GPa，σp=200MPa。压杆两端为柱形铰，试求压杆的Fcr。解：(1)xz面内，两端视作铰支，u=1，查表iy=4.14cm(2)xy面内，两端视作固定端，u=0.5，查表iz=1.52cm所以压杆将先在xy平面内失稳。显然λy＜λz，查表可有a=304Mpa,b=1.12Mpa§11-5压杆的稳定计算及提高稳定性措施一、压杆的稳定条件F压杆不失稳的条件：工作压力F≤

Fcr

或工作应力σ≤σcr[Fst]＝Fcr/nst——稳定容许压力[σst]=σcr/nst——稳定容许应力安全余度（储备）的需要引入稳定安全因数nst.压杆稳定性条件：nst的取值一般比强度安全因数大。钢1.8~3.0,铸铁5.0~5.5，松木2.8~3.2F[σ]、[σst]的区别？二、压杆的稳定性计算1、安全系数法稳定性校核；压杆截面设计；求容许荷载（压力）。F2、折减系数法Fcr钢结构设计规范(GBJ17—88)木结构设计规范(GBJ5—88)树种强度等级为TC17，TC25及TＣ20时：树种等级为TC13，TC11，TB17及TB15时：TC17:柏木、东北落叶松等TC25:红杉、云杉等TC13:红松、马尾松等TC11:西北云杉、冷杉等TB20:栎木、桐木等TB17:水曲柳等TB15:桦木、栲木等对于压杆重点要进行稳定性校核，少数情况也要进行强度校核。Fcr例1：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截面为b类。截面上有四个直径为30mm的螺栓孔。μ=1.3，FN=270kN，[σ]=170MPa。（1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。解（1）求h∵钢柱各方向的约束均相同。∴合理的设计应使Iy=Iz。查单根16b号槽钢，得：A=25.15cm2，Iz=934.5cm4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，δ=10mmA=25.15cm2，Iz=934.5cm4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，δ=10mm由平行移轴公式Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Izh=8.23cm(2)校核钢柱的稳定性和强度条件.查表,φ=0.308,[σst]=φ[σ]=52.4MPaσ=F/A=53.7MPaσ虽大于φ[σ],但不超过5%,故满足稳定性要求.σ=F/(2A-4dδ)=70.5Mpa＜

[σ]=[170]Mpa故满足强度条件.薄弱截面处的强度校核安全系数法：压杆稳定性计算：折减系数法：例2。桁架上弦杆AB为Q235工字钢，截面类型为b类，[σ]=170MPa，F=250kN。试选择工字钢的型号。L=4m。AB4m解：1.设φ=0.5AB4mAB4m例题3图所示结构中，AB杆为14号工字钢，CD为圆截面直杆，直径d=20mm，二者材料均为Q235钢，弹性模量E=206GPa，若已知F=25kN，l1=1.25m,l2=0.55m，强度安全因素n=1.45，稳定安全因素nst=1.8。试校核此结构是否安全。（1）校核AB杆的强度。AB为拉弯组合变形杆件，分析计算其内力。轴力：FNAB=Fcos300=25×cos300=21.65kN截面C处弯矩最大：Mmax＝F×sin300×l1＝25×0.5×1.25＝15.63kN·m由型钢表查得14号工字钢Wz＝102cm3，A＝21.5cm2。Q235钢的容许应力为：σmax略大于［σ］，但不超过5%，工程上仍认为是安全的。（2）校核CD杆的稳定性。由平衡方程求得压杆CD的轴力为：FN=2Fsin300=F=25kN柔度：故CD杆为细长杆，按欧拉公式计算临界力：所以压杆CD是稳定的。故整个结构是安全的。稳定容许压力：因为FN=25kN＜29.3kN.三、

提高压杆稳定性的措施一、选择合理的截面形式1、使Iy=Iz，或λy=λz

2、当Iy=Iz时，尽可能在面积一定的情况下，增大I。3、使每个分支和整体具有相同的稳定性。

λ分支=λ整体二、减少相当长度和增强杆端约束2、增强约束；1、设置中间支撑。三、合理选用材料选用弹模较大的材料，可提高杆的稳定性。WW作业11-1311-1611-1811-19§11-5按折算弹性模量理论分析非弹性失稳的压杆§11-6纵横弯曲问题qFFABCwmax=w0wxl/2ly当EI比较小时，F、q对梁产生的挠度有相互影响，不能用叠加原理分析。弯矩方程：挠曲线近似微分方程：令：k2=F/EI，则有：其通解为：由边界条件x=0,l时w=0得解为：跨中最大挠度：将k=2u/l代入，化简得：当u<900，将sec(u)展开为级数，整理后得：求得挠度后，可得弯矩方程：可见挠度和弯矩与荷载不再成线性关系。将secu展开成级数，求得跨中最大弯矩：横截面上的最大正应力仍可用叠加原理计算：不满足强度条件。杆件失稳！§11-7大柔度杆件小偏心距压缩eFABCw0wxl/2lyF当EI比较小时，F、M(=Fe)对梁产生的挠度有相互影响，不能用叠加原理分析。弯矩方程：梁挠曲线近似微分方程：令k2=F/EI，则有：微分方程的通解：由边界条件x=0、l时w=0，确定积分常数：eFABCw0wxl/2lyF挠曲线方程为：跨中最大挠度w0：最大弯矩（跨中）：最大应力：小柔度杆件：可见可用叠加原理。eFABCw0wxl/2lyF(1)e=0时，sec(kl/2)→∞，w0可以是任意值。kl/2→π/2，即有：(2)e>0，当w0→∞时，有：kl/2→π/2，即有：Fw0ABOe1e2e3e1>e2>e3谢谢！试讨论如何分析临界压力。yz横截面bh