第0章 概率论基本知识点

应用数理统计概率论基本知识点主讲：刘朝林《概率论》主要内容一、概率的基本概念二、概率的公理化定义及几种特殊定义

三、一维随机变量四、二维随机变量五、随机变量的数字特征六、大数定律和中心极限定理一、概率的基本概念1、概率统计研究的对象：客观现象确定性现象不确定性现象随机现象模糊现象

高等数学线性代数等概率论数理统计等模糊数学2）随机试验：试验：进行一次观测或测验，称为一次试验；随机试验（简称试验，用E表示）：满足三个条件：1.可重复性；2.试验结果的多样性与明确性；3.具体某次试验结果的随机性（不确定性）。3）随机事件：

一次随机试验中有可能发生，也可能不发生的结果称为此随机试验E的随机事件，简称事件。记为：A,B,…4）必然事件：5）不可能事件：6）样本点（基本事件）：7）样本空间：8）随机事件和样本点：9）必然事件和样本空间：2、事件的关系：

1）子事件：

Ω

BA2）事件相等：3）和（并）事件：

Ω

BA4）积（交）事件：

Ω

BA5）差事件：

Ω

BA6）互斥事件：7）逆（对立）事件：8）完备事件组：称为完备事件组，若

满足:

ΩABAB1、古典概型概率的定义：1）古典概型随机试验：特点：1）样本空间（样本点总数）的有限性；

2）每个样本点出现的等可能性。2）古典概率的定义：设试验E为古典概型的随机试验，样本空间Ω由n个样本点组成。若事件A由r个样本点组成，则定义A的概率为,记为P(A)．即二、概率的公理化定义及其它定义3）有限可加性:设两两互斥

则：。性质：1）非负性:2）规范性:例2．设有40件产品，其中有10件为次品其余为正品，现从中任取5件，求取出的5件产品中至少有4件次品的概率？解：设：:“取出5件产品恰好有件i次品”，

i＝0,1,2,3,4,5；：“取出的5件产品中至少有4件次品”，则：

样本空间的样本点总数:

的样本点总数:A5的样本点总数:所以：2、几何概型概率的定义：设试验E的样本空间为某可量的区域Ω,且Ω中任一区域A出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关,则称E为几何概型的试验,并定义事件A的概率为：

当样本空间为一维、二维、三维时，Ω的几何度量分别是长度、面积、体积。3）有限可加性:设两两互斥

则：。性质：1）非负性:2）规范性:解：以分别表示两人在[0,60]内到达的时刻。设：A:“两人可能会面”等价于“两人到达时间差不超过时间10，即”，

例3．(约会问题)甲、乙两人相约0点到1点在某地会面，先到者等候另一个人最多10分钟，过时就离去。假设两人等可能地在0点到1点这段时间内任一时刻到达，试求两人能够会面的概率。则样本空间：事件A：因此事件A的概率为：60601010xyy=x+10y=x-1003、概率的统计定义：设A为试验E的一个事件，如果随着试验重复次数的增加，A出现的频率在0与1之间某个数p附近摆动，则定义A的概率为p，记为P(A)，即:

3）有限可加性:设两两互斥

则：。性质：1）非负性:2）规范性:4、概率的公理化定义：设Ω是试验E的样本空间，对于试验E中的每个随机事件，有一个实数P(A)与之对应，若P(A)还满足：1)非负性：对事件A,有；2)规范性：P(Ω)=1；3)可列可加性：设为两两互斥的可列无穷多个事件,则：，称：为事件的概率。5、概率的运算性质：1）不可能事件概率为零，即：；2）有限可加性：互斥,3）设A为任一随机事件，则：；4）设A，B为任意两个随机事件，则：当时，；5）单调性：若，则；6）；随机试验摸球1，2，…，10交通红灯，黄灯，绿灯-1011，2，…，10-1011，2，…，101、分布函数：定义：设X为随机变量，为任意实数，称函数∈R

为随机变量X的分布函数。三、一维随机变量：

性质：1）单调不减性：即当时，有；

2）；

3）是右连续函数，即对于任意的x，有；2、分布列：定义：设随机变量X的所有可能取值为且则称此数列为离散型随机变量的分布列。

性质1：性质2：性质3：例4、假定某射手有5发子弹，射击一次命中目标的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用尽，求：1）耗用子弹数X的分布列；2）随机变量X的分布函数；3）最多用3发子弹的概率。解：因X的取值为：k＝1,2,3,4,5

根据题意：在第k次射中时，前k-1次都未射中，令：一次射中概率p=0.9,

则：1）分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.00012）分布函数：3）：略。3、密度函数：定义：如果存在一个非负可积函数，对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，称为X

的分布密度或密度函数。性质1：性质2：性质3：例5、已知连续型随机变量X的密度函数为：求：1）系数常数A；

2）X的分布函数F(x)3)解：1）2）X

的分布函数F(x):3）:4、常见分布：二项分布：

X的分布律：

线性可加性：若，，且相互独立，则：

2）Poisson分布X～P(λ)：3）几何分布X～G(p)：4）均匀分布X～U[a,b]：5）指数分布X～Γ(λ)：6）正态分布X～N(μ,σ)：2正态分布密度函数曲线6.1）标准正态分布X～N(0,1)：1、二维随机变量及其推广：四、二维随机变量1）二维随机变量的分布函数：2）二维离散型随机变量的联合分布列：显然：称：为X

的边缘分布列；为Y

的边缘分布列；3）二维连续型随机变量的联合密度函数：为X的边缘密度函数；为Y的边缘密度函数；4）二维随机变量的独立性：若对于任意的x,y，满足如下关系：

则可称随机变量X与Y相互独立。判断独立性：例6、若(X,Y)的联合密度函数为：1）求;解：1）2)X

与Y

是否相互独立?解：先分别求X与Y的边缘密度函数：因：，所以X

与Y

不相互独立。五、随机变量的数字特征：1、一维随机变量的数学期望：设离散型随机变量X的分布列为：如果级数收敛，则称级数：

为离散型随机变量X的数学期望。函数变换的数学期望：设连续型随机变量X的密度函数为,若收敛，则称：为连续型随机变量X的数学期望。随机变量的方差：2、二维随机变量的数学期望：3、数学期望和方差的性质：1）c为常数，则，；2），3），4）若X与Y独立，则：5）常见分布的数学期望和方差；例7、设随机变量X的密度函数为：求：数学期望E(X)和方差D(X)。解：例8、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生故障一次仍可获利润5万元；发生2次故障所获利润为0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：设X为机器一周内发发生故障的次数，则：X的取值为：0,1,2,3,4,5；显然：X～B(n,p)=B(5,0.2)故X

的分布列为：则可求出S(X

)的分布列为：p0.32770.40960.20480.05120.00640.0003X012345

又设关于X的利润函数为S(X

)：E(S(X))=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048+(-2)×0.0512+(-2)×0.0064+(-2)×0.0003=5.209(万元)

即为一周内期望利润。p0.32770.40960.20480.05120.00640.0003X012345

S(X)1050-2-2-24）协方差、相关系数和矩：（1）X

和Y

协方差：（2）X

和Y

相关系数：（3）性质：P16～P17。（4）矩:

称为X

的k

阶原点矩；称为X

的k

阶中心矩；六、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式：随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)存在，则对任意的实数ε大于0，有：,i＝1,2,…,n，