八年级数学下册 第1章 单元综合测试卷（北师版 2025年春）

八年级数学下册第1章单元综合测试卷（北师版2025年春）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．若一个等腰三角形的顶角为30°，则这个等腰三角形的底角为()A．30°B．50°C．65°D．75°2．下列长度的线段中，能构成直角三角形的是()A．1，2，3B．1，eq\r(3)，eq\r(2)C．eq\r(3)，2，eq\r(5)D．5，6，73．某房屋示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则点A到地面的距离为()A．5.5mB．6mC．6.5mD．7m4．苏州素有“园林之城”的美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林被誉为“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰三角形ABC，其中AB＝AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是()A．点D到AB，AC的距离相等B．∠ADB＝∠ADCC．BD＝CDD．AD＝eq\f(1,2)BC5．下列命题的逆命题是真命题的是()A．对顶角相等B．等边三角形是轴对称图形C．全等三角形的对应角相等D．全等三角形的对应边相等6．如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB于点E，若BE＝3，则△ABC的边长为()A．3B．4C．5D．无法确定7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线BF，CG分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB＋EC的值为()A．3B．4C．5D．88．把两个大小相同的含30°角的三角尺如图放置，D，B，C三点共线，若AD＝6eq\r(6)，则BC的长为()A．6B．6eq\r(3)C．2eq\r(3)D．29．在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C；②∠A＝∠B－∠C；③∠A：∠B：∠C＝3:4:5；④a：b：c＝2：3：eq\r(5).其中，能确定△ABC是直角三角形的条件为()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③10．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为()A．8B．16C．24D．32二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”，应先假设__________________________________________________________________．12．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A处往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一条直线上时，电线杆DE就垂直于地面BC，工程人员这种操作方法的依据是____________________．13．如图，在△ABC中，F是边AB，AC的垂直平分线的交点，连接BF，CF，若∠BFC＝110°，则∠A＝________．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝15cm，P是到△ABC三边距离都相等的点，则点P到△ABC三边的距离为________．15．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA.若AE＝3cm，BE＝4cm，则四边形ABCD的面积是________．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F，若点D为BC的中点，点M为EF上一动点，则BM＋DM的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共66分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.(1)求证：△ACE≌△BDF；(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长．18．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm.(1)作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；(2)在(1)的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．19．(10分)如图，已知BC＝CD＝4，CD⊥BC，垂足为点C，AD＝eq\r(17)，AB＝7，求∠ADC的度数．20．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速运动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？21．(14分)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)22．(16分)【问题情境】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在直线BC上运动，以AD为边作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝90°，连接CE.当点D在BC边上时，试判断线段CE，CD及BC之间的数量关系．【探究展示】勤奋小组发现，BC＝CE＋CD，并展示了如下证明过程：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△DAB和△EAC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△DAB≌△EAC(依据1)．∴BD＝CE(依据2)．∵BC＝BD＋DC，∴BC＝CE＋CD.【反思交流】(1)上面的证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？(2)如图②，缜密小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现当点D在CB的延长线上时，线段CE，CD及BC之间的数量关系是BC＝CD－CE，且CE与BD的位置关系是CE⊥BD.请判断缜密小组的发现是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请把你发现的结果写出并说明理由．(3)如图③，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(2)中BC，CE，CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BC，CE，CD之间存在的数量关系，并证明．

答案一、1.D2.B3.B4.D5.D6.B7.B8.A9.C10.D二、11.直角三角形中没有一个锐角小于或等于45°12．等腰三角形的三线合一13.55°14.3cm15．12cm216.eq\r(21)三、17.(1)证明：在△ACE和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠BDF，,∠A＝∠B，,AE＝BF，))∴△ACE≌△BDF(AAS)．(2)解：∵△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，又∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4.18．解：(1)如图，直线MN即为所求．(2)如图．∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵△MBC的周长是14cm，∴MB＋MC＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC＝14cm，又∵AC＝8cm，∴BC＝6cm.19．解：连接BD.∵BC＝CD＝4，CD⊥BC，∴∠BDC＝45°，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)，又∵AD＝eq\r(17)，AB＝7，∴AD2＋BD2＝17＋32＝49＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝45°＋90°＝135°.20．解：(1)在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，∴∠B＝60°，BC＝30cm.∵60÷2＝30(s)，∴0≤t≤30.由题意得BP＝(60－2t)cm，BQ＝tcm.易知当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，即60－2t＝t，解得t＝20，∴当t＝20时，△PBQ为等边三角形．(2)①当∠BQP＝90°时，易得BP＝2BQ，即60－2t＝2t，解得t＝15.②当∠BPQ＝90°时，易得BQ＝2BP，即t＝2(60－2t)，解得t＝24.∴当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．21．(1)证明：在△BCD和△FCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CF，,∠BCD＝∠FCE，,CD＝CE，))∴△BCD≌△FCE(SAS)．∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.(2)解：由题意补全图形如图所示．CD＝CH.证明：如图，延长BC到点G，使CG＝BC，连接AG，EG.∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BG.又∵BC＝CG，∴AB＝AG.由(1)可得△BCD≌△GCE，BD∥EG，∴BD＝EG.∵AB2＝AE2＋BD2，∴AG2＝AE2＋EG2.∴∠AEG＝90°，即AE⊥EG.∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.22．解：(1)依据1是SAS；依据2是全等三角形的对应边相等．(2)正确．理由如下：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.在△DAB和△EAC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△DAB≌△EAC(SAS)．∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CE.∵∠ACE＝∠ABD＝18