第06章-模糊规则

第六章

模糊规则CompanyLogo目录由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库CompanyLogo由数值变量到语言变量在日常生活中，变量常用词语来描述，如，当说"今天热"，或者说"今天的气温高"时，就是用词语"高"来描述变量"今天的气温"。也就是说，变量"今天的气温"取值为"高"。当然，变量"今天的气温"也可以取值为250C、190C等。当一个变量取数值时，己经有一个完善的数学体系对其进行描述。而当一个变量取语言值时，在经典数学理论中并没有一个正式的体系可对其进行描述。为了提供这样一种正式体系，引入了语言变量的概念。粗略地讲，如果一个变量取自然语言中的词语为值，则称其为语言变量。现在，问题是怎样用数学术语来描述这些词语。这里用模糊集来描述这些词语。于是，有下面的定义:

定义6.1如果一个变量能够取普通语言中的词语为值，则称该变量为语言变量。这里，词语由定义在论域上的模糊集合来描述，变量也是在论域上定义的。CompanyLogo由数值变量到语言变量例6.1 汽车速度是一个变量χ，其取值范围为区间忡，V缸]，这里，V缸是汽车的最快速度。在[0，Vov]内定义如图6.1所示的三个模糊集"慢速"、"中速"、"快速"。如果把x看作一个语言变量，则它可取"慢速"、"中速"和"快速"为值，即"x为慢速"、"x为中速"、"x为快速"。当然，χ 图6.1 汽车的速度作为一个语言变量也可取区间[0，VmaJ上的数值为值，如x=50mph，35mph等。

图6.1CompanyLogo由数值变量到语言变量定义6.2 语言变量可表征为四元组(X，T，U，M)，其中• X为语言变量名称;在例6.1中，X指汽车的速度。• T为语言变量X取值的术语集合;在例6.1中，T{慢速，中速，快速}。• U是语言变量X取值的论域;在例6.1中，U=[O，Vmax]。•M是研究X取值的语义规则，即将T中的每个语言值和U中的模糊集连接起来的语义规则;在例6.1中，M将"慢速"、"中速"、"快速"同图6.1中的隶属度函数连接起来。CompanyLogo由数值变量到语言变量比较定义6.1和定义6.2，可以看出，这两种定义实际上是等价的。定义6.1更直观些，而定义6.2则更正式些。由定义可以看出，语言变量某种意义上是数值变量的一种扩展，即允许语言变量取模糊集为值(见图6.2)。

由数值变量到语言变量CompanyLogo由数值变量到语言变量

为什么语言变量的概念重要呢?这是因为，语言变量是人类知识表达中最基本的元素，当用传感器测量一个变量时，传感器会给出一个数值;而当征求专家对一个变量的评价时，专家会给出语言。例如，当使用雷达枪来测量汽车速度时，雷达枪会给出诸如39mph，42mph等数字;而当让某个人告诉我们汽车速度时，他/她通常会说如"它开得慢"、"它开得快"等话语。因此，引入语言变量的概念就会使自然语言的模糊描述形成精确的数学描述，这是人类知识系统有效地嵌入工程系统的第一步。CompanyLogo目录由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库CompanyLogo语言限定词根据语言变量的概念，我们可以将词语赋给语言变量。在日常生活中，我们常用一个单词以上的词语来描述一个变量。例如，如果将汽车速度看做一个语言变量，则它的值可能为“不慢”，“非常慢”，“稍快”，“差不多中速”等等。一般说来，一个语言变量的取值是一个合成术语X=X1，X2…,xn，即为元辞X1，X2…,xn串接。这些元辞可以分成三类:

•基本术语，它是模糊集的说明性短语;如例6.1中，基本术语就是"慢速"、"中速"和"快速"。

•连接词，"非"、"且"和"或"。

•限定词，如"非常"、"稍微"、"差不多"等等。CompanyLogo语言限定词

定义6.3令A为U上的一个模糊集合，则非常A也是一个U上的模糊集合，它可用如下隶属度函数未定义:

μ非常A(χ)=[μA(χ)](6.1)差不多A也是U上的一个模糊集合，它可用如下隶属度函数未定义:

μ差不多(χ)=[μA(X)](6.2)例6.2令U= {1，2，…，引，则模糊集合"小"可定义为

小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5(6.3)然后，由式(5.1)和式(5.2)，可得

非常小=1/1+0.64/2+0.36/3+0.16/4+0.04/5 (6.4)

非常非常小=非常(非常小)=1/1+0.4096/2+O.1296/3+0.0256/4+0.0016/5(6.5)

差不多小=1/1+0.8944/2+0.7746/3+0.6325/4+0.4472/5

(6.6)21/2CompanyLogo目录由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库CompanyLogo模糊IF-THEN规则在模糊系统与模糊控制中，人类知识可以用模糊IFTHEN规则来表述。一条模糊IF-THEN规则就是一个条件陈述句，它可以表述为IF<模糊命题)，THEN<模糊命题)因此，要想理解模糊IF-THEN规则，就必须先知道什么是模糊命题。CompanyLogo模糊命题有两种类型的模糊命题(FuzzyPropositions):子模糊命题和复合模糊命题。子模糊命题是一个单独的陈述句x为A (6.8)

这里，χ是语言变量，A是语言变量x的值(即4是一个定义在x 的论域上的模糊集合)。子模糊命题通过连接词"且"、"或"、"非"连接起来而构成的命题叫做复合模糊命题，这里"且"、"或"、"非"分别表示模糊交、模糊并和模糊补。如例5.1中，如果用x表示汽车的速度，则有以下模糊命题(前三个为子模糊命题，后三个为复合模糊命题):x为s(6.9)x为M(6.10)x为F(6.11)x为5或x非M(6.12)x非S或x非F(6.13)(x为5且x非F)或x为M(6.14)

这里，5、M和F分别表示模糊集"慢速"、"中速"和"快速"。CompanyLogo模糊命题

应注意，在一个复合模糊命题中，子模糊命题是独立的。即，对于命题(6.12)~命题(6.14)中的同一个变量x而言，X的取值可能是不同的。实际上，在复合模糊命题中的语言变量一般也是不同的。例如，令χ表示汽车速度，y=x表示汽车的加速度，如果将加速度取值为模糊集合大(L)，则有如下复合模糊命题:x为F且y为L

所以，复合模糊命题应该被理解为一种模糊关系。那么，怎样确定这些模糊关系的隶属度函数呢?·CompanyLogo模糊命题•用模糊交表示连接词"且"。具体地讲，令x和y分别为定义域U和V上的语言变量，A和B分别为U和V上的模糊集合，则下面的复合模糊命题x为A且y为B(6.15)

可以解释为UxV中的模糊关系A∩B①，其隶属度函数为μA∩B(x，y)=t[μA(x)，μB(y)](6.16)其中，t:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意t-范数。•用模糊并表示连接词"或"。具体地讲，下面的复合模糊命题x为A或y为B(6.17)可以解释为UxV中的模糊关系AUB，其隶属度函数为μAUB(x，y)=s[μA(x)，μB(y)](6.18)其中，s:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意s-范数•用模糊补表示连接词"非"。即，把非A用A来替代_CompanyLogo模糊命题例6.3模糊命题(6.14)，即FP=(X为5且x非F)或x为M(6.19)

是乘积空间[0，Vmax]中的一个模糊关系，其隶属度函数为μFP(x1,x2,x3)=s{t[μS(x1)，c(μF(x2))],μM(x3)}(6.20)

其中，s、t和c分别表示s-范数、t-范数和模糊补算子，模糊集(其定义见图5.1)5=慢速，M=中速，F=快速，x1=x2=x3=x解释形如式(6.7)的模糊IF-THEN规则的准备工作己经就绪。3CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释

由于模糊命题是用模糊关系未解释的，所以剩下的关键问题是怎样解释IF-THEN的运算。在经典命题运算中，表达式IFpTHENq可以写成p→q，→可以看做是由表6.1所定义的一种连接，这里p和q都是命题变量，其值为真(T)或为假(F)。

表6.1CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释如果p和q的值都为真或都为假，则p→q为真;如果p的值为真，q的值为假，则p→q为假;如果p的值为假，q的值为真，则p→q为真。因此，认为p→q等价于pVq (6.21)

和(p∧q)Vp (6.22)即式(6.21)和式(6.22)与p→q都符合真值表(表6.1)的规律，这里-、∧、V和别代表(经典)逻辑运算符"非"、"或"和"与"。__CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释由于模糊IF-THEN规则可以解释为用模糊命题取代了p和q，所以，模糊IF-THEN规则也可以解释为用模糊补、模糊并和模糊交来分别取代式(6.21)和式(6.22)中的-,

∨和∧算子。因为模糊补、模糊并和模糊交算子有很多种，所以文献中提出的模糊IF-THEN规则也就有很多种不同的解释。下面列举了其中的一部分。将式(6.7)重写为IF<FP1>THEN<FP2>，用FP1 和FP2来分别取代式(6.21)和式(6.22)中的p和q，这里FP1 和FP2都是模糊命题。假设FP1是一个定义在U=U1×…×Un上的模糊关系，FP2是一个定义在V=V1×…×Vm上的模糊关系，χ和y分别是U和V上的语言变量(向量)。CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释•Dienes-Rescher含义:把式(6.21)中的逻辑运算符和V分别用基本模糊补和基本模糊并未取代，就可得到Dienes-Rescher含义。具体地讲，模糊IF-THEN规则IF<FP]>THEN<FP2>，可以解释为UxV中的一个模糊关系。D'其隶属度函数为μQD(x,y)=max[1-μFP1(x)，μFP2(y)](6.23)•Lukasiewicz含义:。具体地讲，模糊IF-THEN规则IF<FP1>THEN<FP2>，可以解释为UxV中的一个模糊关系，其隶属度函数为μQZ(x,y)=max[1-μFP1(x)，min(μFP1(x),μFP2(y))] (6.24)•Zadeh含义:这里的模糊IF-THEN规则IF<FP1>THEN<FP2>可以解释为UxV中的一个模糊关系。z'其隶属度函数为μQZ(X，y)=max[min(μFP1(χ)，μFP2(y))，1一μFP1(χ)] (6.25)CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释Gödel含义:Gödel含义是经典逻辑中一个众所周知的含义公式。通过将其推广至模糊命题，得到的模糊IF-THEN规则IF<FP1>THEN<FP2>可以解释为UxV中的一个模糊关系QG，其隶属度函数为

μQG（x,y）=(5.26)1

μFP1(x)≤

μFP1(x)

μFP1(y)其他

CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释Mamdani含义:模糊IF-THEN规则IF<FP1>THEN<FP2>可以解释为U×V中的一个模糊关系QMM

或QMP

其隶属度函数为μQMM

（x,y）=min[μFPl(x)，μFP2(y)] (5.27)μQMP(x.y)=μFPl(x)μFP2(y) (5.28)Mamdani含义是在模糊系统与模糊控制中使用最广泛的含义。其成立的论据是，模糊IF-THEN规则为局部含义。尽管，也许有一些人不同意这一观点。如，有人可能认为，当说"速度快则阻力很大"时，其内在含义是"速度慢则阻力小"。从这个意义上讲，模糊 IF-THEN规则又是非局部的。这种争论表明，当用模糊IF-THEN规则来表述人类的知识时，不同的人会有不同的解释。因此，要求用不同的含义来处理不同的问题。例如，如果专家认为其规则是局部的，则会使用Mamdani含义;否则就会考虑全局含义式(5.23) 式(5.26)CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释例令U= {1，2，3，4}，V= {1，2，3}。假设己知x∈U是y∈V的逆命题。为描述这

一知识，可以使用下面的模糊IF-THEN规则:如果x为大，则y为小(1)这里，模糊集"大"和"小"的定义如下:

大=0/1+0.1/2+0.5/3+1/4 (2)小=1/1+0.5/2+0.1/3 (3)如果使用Dienes-Rescher含义，则模糊IF-THEN规则(1)就可以表述为如下UxV中的模糊关系QD

QD=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)0.9/(2，2)+0.9/(2，3)+1/(3，1)+0.5/(3，2)+0.5/(3，3)+1/(4，1+)0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (4)CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释如果使用Lukasiewicz含义，则规则(1)就变成了QL=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2,1+)1/(2,2)+1/(2,3)+1/(3,1)+1/(3,2)+0.6/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3) (5)如果使用Zadeh含义和Gödel含义，则有Qz=l/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+0.9/(2,1)+0.9/(2,2)+0.9/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.5/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(6)QG=l/( 1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)1/(2，2)+1/(2，3)+1/(3，1)+1/(3，2)+0.1/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (7)

最后，如果使用Mamdani含义，则模糊IF-THEN规则(1)就变成了QMM=0/(1,1)+0/(1,2)+0/(1,3)+0.1/(2,1)+0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.1/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(8)

QMP=0/(1,1)+0/(1，2)+0/(1，3)+0.1/(2，1)+0.05/(2，2)+0.01/(2，3)+0.5/(3，1+)0.25/(3，2)+0.05/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4,3) (9)CompanyLogo模糊IF-THEN规则的解释由式(4)式(9)可以看出，对于不包含在规则式(1)之内的数据对，即(1，1)，(1，2)和(1，3)(因为μ大(1)=0)，QD，QL，Qz和Qc给出的隶属度值是1，而QMM

和QMP

给出的隶属度值是0。这同前面的结论，Dienes-Rescher含义、Lukasiewicz含义，Zadeh含义以及Gödel含义为全局含义，而Mamdani含义为局部含义的结论是一致的。CompanyLogo目录由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库CompanyLogo模糊规则库-结构模糊规则库是由模糊IF-THEN规则集合组成的。它是模糊系统的核心，从这个意义上讲，模糊系统的其他组成部分都是以一种合理而有效的方式来执行这些规则的。具体地讲，模糊规则库是由以下模糊IF-THEN规则组成的:Rμ:如果X1为A1; 且…且xn为An，则y为B (7.1)其中，Ai;和B分别是UiCR和VCR上的模糊集合，X=(x1，x2，…，Xn)∈U和y∈V分别是模糊系统的输入和输出(语言)变量。令M为模糊规则库式(7.1)中的规则数目，即l=1，2，…，M。将形如式(7.1)的规则叫做标准模糊IF-THEN规则，因为正如下面的引理所表明的那样，它包含了许多其他类型的模糊规则及特殊的模糊命题。（l）lllllTCompanyLogo模糊规则库-结构引理7形如式(7.1)的标准模糊IF-THEN规则包含了下列特例:(a)"不完整规则"

如果x1为A1;且…且Xm

为Am

，则y为B(7.2)其中，m<n(b)"或规则"如果x1为A1;且…且Xm

为Am

或Xm+1或Am+1且…且Xn为An，则y为B

(7.3)

llllllllllCompanyLogo模糊规则库-结构(c)单一模糊陈述y为B(7.4)(d)"逐级变化规则"x越小，则y越大(7.5)(e)非模糊规则(即传统的扩展规则)lCompanyLogo模糊规则库-特性

因为模糊规则库是由规则集合组成的，所以这些规则之间的关系及规则整体都蕴涵着有趣的问题。如，这些规则涵盖了模糊系统所有可能面对的情况了吗?这些规则之间有冲突吗?为回答这些问题，引入下列概念定义7.1 如果对任意x∈U，在模糊规则库中都至少存在一条规则，称之为规则Ru[形如规则(7.1)]，对于所有i=1，2，…，n都满足

μAl(xi)≠0。

则称这个模糊IF-THEN规则集合是完备的。直观地讲，一个规则集合的完备性表明，输入空间中的任意点上都至少存在一条可用规则。也就是说，规则的IF部分的隶属度值在这一点上是非零的

(l)CompanyLogo模糊规则库-特性例7.1考虑U=U1xU2=[0，1J]x[0，1]和V=[0，1]上的一个二维输入一维输出模糊系统。在U1

上定义三个模糊集合同S1，M1

，L1

，在U2上定义两个模糊集合S2，L2(见图7.2)。为了保证模糊规则库的完备性，该模糊规则库必须