国培计划数学的魅力

国培计划班2010年11月16日数学的魅力提纲一、数学是什么二、数学的特点三、数学与其他学科的关系四、数学问题五、数学中的美六、数学语言

一个人不识字可以生活，但若不识数就很难生活了！一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量！

----拉奥（A.N.Rao）著名科学家、X射线的发现者伦琴在被问到科学工作者必须具备什么素养时，他回答说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”数学是思维的体操！——苏联科学家加里宁数学是学习其他知识的基础！恩格斯：数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的一门科学。一、数学是什么数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”.在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创新能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以代替的。一、数学是什么数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”。一、数学是什么数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。数学素质：通俗说法，把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。

例如：从数学的角度看问题的出发点；有条理的思维，严密的思考、求证；简洁、明晰、准确地表达；在解决问题、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理的量化和简化，周到到地运筹帷幄等。一、数学是什么数学的哲学说：数学是一种哲学。亚里士多德:“新的思想家把数学与哲学看作是相同的”。牛顿：“在哲学范围内尽量把数学呈现出来”。一、数学是什么“科学说”：数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。“艺术说”：“数学是一门艺术”。“工具说”：“数学是其他所有知识工具的源泉”。一、数学是什么三个特点：

1.抽象性

2.精确性

3.应用的广泛性二、数学的特点1、抽象性第一、数学的研究对象本身就是抽象的第二、数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式第三、数学的抽象程度大大超过了其他学科第四、核心数学主要处理抽象概念以及概念之间的抽象关系二、数学的特点2、精确性

数学的精确性，表现在数学推理的严格和数学结论的确定两方面。数学科学是依靠逻辑推理展开的，而逻辑推理的严格性是大家公认的。所以，只要数学推理的前提是正确的，推理的过程又没有错误，那么得到的数学结论一定是确定无疑的。并不是说其他学科缺乏精确性，而是说，数学的这种精确性，是与其他学科不同的，是其他学科难以企及的。二、数学的特点3、应用的广泛性数学高度的抽象性，带来了应用的极其广泛性。事物越抽象，其外延就越广泛。华罗庚（1910-1985）先生当年说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。凡是出现“量”的关系的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。二、数学的特点二、数学的特点第一个例子:哈雷彗星的发现

英国天文学家哈雷（EdmondHalley，1656-1742）通过计算发现1682年、1607年、1531年出现的彗星有类似的轨道。他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，彗星的轨道可能不是抛物线而是很扁的椭圆。这样彗星就会返回太阳系。哈雷预言上述彗星将在1758年底或1759年初再次出现。1759年这颗彗星果然出现了。二、数学的特点第二个例子:海王星的发现

如果把冥王星排除在外的话,海王星是太阳系最远的行星了。它也是1846年在数学计算的基础上被发现的。天文学家观察到，1781年发现的第七个行星--天王星的运动轨道,总是同根据万有引力定律计算出来的有一定的偏离,当时有人推测,在天王星轨道外还有一个未发现的行星,是它对天王星的引力引起的偏离.英国剑桥大学学生亚当斯和法国年轻天文爱好者勒维列根据天王星观测资料,各自独立地用万有引力定律计算出来了这颗新行星的轨道,并于1846年9月23日晚,德国的加勒在勒维列的预演位置发现了这颗行星,后来命名为海王星。二、数学的特点第三个例子:电磁波的发现电磁波在现代的生产、生活中无处不在，是人们熟知的词汇，但很少有人知道电磁波的发现本质上依赖于数学。英国物理学家麦克斯韦（JamesClerkMaxwell,1831-1879）1864年概括了从实验中总结的电磁现象规律，用数学方程组的形式表述出来，由此推导出可能存在现在称为“电磁波”的物质，并且应该以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，把光、电、磁统一起来。24年以后，德国物理学家赫兹（HeinrichRudolfHertz,1857-1894）用实验证实了电磁波的存在性，不久，意大利的马可尼和俄国的波波夫又在此基础上各自独立的发明了无线电报。从此电磁波走进了千家万户。中国科学院数学物理学部有一个“今日数学及其应用”课题的结题报告，其中说：“数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高技术）水平的推进和提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维和文化素质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科不能比拟的。”二、数学的特点数学的许多高深理论与方法正广泛深入的渗透到自然科学的各个领域中。高科技往往在本质上是一种数学技术。事实上，从医学上的CT技术到印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油勘探的数据处理到信息安全技术等等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。美国国家自然科学基金委员会最近指出：当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势。美国国家研究委员会在一份报告中把数学与能源、材料等并列为必须优先发展的基础研究领域。二、数学的特点数学已广泛地应用到社会科学的各个领域。如用数学模型研究宏观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资等等，在许多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济和金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。在诺贝尔经济学奖的获得者中，数学家或有研究数学经历的经济学家占一半以上。总之，数学在当代科学、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。二、数学的特点

数学与几乎所有的领域都有关系，这一点现在已经公认。数学与物理、化学、生物、天文等领域的联系，大家都比较了解。实际上，数学与教育，数学与文学，数学与史学，数学与哲学，数学与经济，数学与社会学等学科都有联系。三、数学与其他学科的关系下面我仅说说数学与文学的联系。

用数学方法对作品进行写作风格分析、词汇相关程度分析和句型频谱分析例:《红楼梦》前八十回与后四十回的作者是否相同？1980年6月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届《红楼梦》研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇《从词汇上的统计论〈红楼梦〉的作者问题》的博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。

三、数学与其他学科的关系1986年，陈炳藻公开发表了《电脑在文学上的应用：〈红楼梦〉与〈儿女英雄传〉两书作者》的专著，利用计算机对《红楼梦》前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发，探讨《红楼梦》前后用字的相关度。他将《红楼梦》的一百二十回分为三组，每组四十回，并将《儿女英雄传》作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑出名词、动词、形容词、副词、虚词这五组词汇，运用数理统计学，通过计算机程序对这些词进行编排、统计、比较、处理，进而找出各组相关程度。结果发现《红楼梦》前八十回与后四十回的词汇相关程度达到78.57%，而《红楼梦》与《儿女英雄传》的词汇相关程度是32.14%。由此他推断《红楼梦》的作者为一个人的结论。三、数学与其他学科的关系这个结论是否被红学界所接受，还存在一定的争论。但这种方法却给许多人留下深刻的印象。前苏联的著名长篇小说《静静的顿河》，也曾有过关于作者的争论，有人认为该书是肖洛霍夫(M.A.Sholokhov,1905-1984)剽窃了一名无名作者的作品后加工而成。后来，用上述方法类似的数学方法，还了肖洛霍夫的清白。三、数学与其他学科的关系能展示数学魅力的有趣数学问题很多，这里我举几个例子。（1）渔网的几何规律你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数（V），网眼数（F），边数（E）都必须符合下面的公式：

V+F-E=1四、数学问题

网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，数学是不是具有某种魅力？

四、数学问题事实上，这种规律在三维的情形，就是多面体的欧拉公式：V+F-E=2这里，V

表示凸多面体的顶点数，F表示凸多面体的面数，E表示凸多面体的棱数。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。四、数学问题

数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律!四、数学问题（2）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多标题中给出的问题在数学上是一个存在性问题。对于存在性问题，通常有两类证明方法：一类是构造性证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。四、数学问题这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我们先形象的介绍一个“抽屉原理”：四个苹果放在三个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；n个苹果放在少于n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。现在我们来证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个事实：任何一个人的头发根数都不会多于20万根。省会城市中的人数则远远大于20万，例如50万人。现在把头发根数为1至头发根数为20万分别当作20万个抽屉，把50万人放到20万个抽屉里，根据“抽屉原理”，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一样多的人。于是便证明了“任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样多的人”。这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推理的力量！四、数学问题

（3）四色问题四色问题也称为“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生古色利（FrancisGuthrie）提出。他在为一张英国地图着色时发现，为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但他证明不了这个猜想。四、数学问题

100多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。但都没有最终证明。直到1972年，美国依利诺大学的哈肯（W.Haken）和阿佩尔（K.Appel）在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月，他们终于获得成功。他们使用3台IBM360型超高速电子计算机，耗时1200小时，终于证明了四色猜想。四、数学问题

（4）素数的奥秘“每一个足够大的偶数都是两个素数的和（简称1+1）（“哥德巴赫猜想”）”，“每一个足够大的奇数都是三个素数的和（简称1+1+1）”。四、数学问题

（1）黄金分割

定义：把任意一线段分割成两段，使大段/全段=小段/大段(=0.618)，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。设黄金比为x,不妨设全段长为1，则大段长为x,小段长为1-x，固有：x/1=(1-x)/x,即：。解得：

x=0.618.五、数学中的美11-xx

黄金分割之所以称为“黄金分割”，“黄金比”之所以称为黄金比，是比喻这一“分割”和这种“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵！“黄金比”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，认为它表现了恰到好处的“和谐”。

五、数学中的美

（a）人体各部分的

人体是美的，是因为人体的许多部分存在黄金分割、黄金比。肚脐分割头和脚；印堂穴分割口和头顶；肘关节分割肩和中指，膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。五、数学中的美

(b)著名建筑物各部分的比如埃及胡夫金字塔塔高（137m）与底边长（227m）之比为0.629；古希腊巴特农神殿，其大理石石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618,都是黄金比值的近似值。五、数学中的美（c）美观矩形的宽长比以黄金比为宽长比的矩形称为黄金矩形，给人和谐、愉悦的美感，常常在建筑、家具中采用。如多数国家的国旗，均采用接近黄金矩形的矩形。五、数学中的美（d）风景照片中地平线的位置、人在照片中的位置风景照片中的地平线的位置，并不是安排在中间最好，往往安排在黄金分割的位置比较美观。当然有上下两种安排，都可以构成黄金分割。五、数学中的美（e）舞台报幕者的最佳站位在整个舞台宽度的0.618处较美，小说、戏剧的高潮出现在整个作品的0.618处较好。五、数学中的美（2）兔子问题与斐波拉契数列（a）兔子问题：意大利数学家斐波拉契（L.Fibonacci,1170-1250）在《算盘书》（1202年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题---兔子问题，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设每次生的兔子都是一雌一雄，且所有的兔子都不病不死。那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对成熟兔子呢？五、数学中的美五、数学中的美

“斐波拉契数列”也可以定义为：若一个数列，前两项都等于1，从第三项起，每一项都是其前两项的和，则称该数列为“斐波拉契数列”。1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...五、数学中的美自然界中的斐波拉契数：大多数植物的花，其花瓣数都恰好是斐波拉契数，如兰花、茉莉花、百合花有3个花瓣。五、数学中的美兰花茉莉花百合花毛莨属植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣等。五、数学中的美毛莨翠雀万寿菊

树杈的数目是斐波拉契数；向日葵花盘内葵花子排列的螺线数，松果种子的排列、菜花表面排列的螺线数等，也都是斐波拉契数。五、数学中的美向日葵松果菜花

（3）圆，三角形内角之和

圆是非常美丽的图形，圆又非常有用，其魅力来自多方面。圆上任何一点到圆心的距离都是定长。这使得车轮能不停的平稳转动，使坐在车上的人没有上下起伏的感觉。另外，无论大圆还是小圆，圆的周长与直径之比总是一个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，并记作π。五、数学中的美三角形内角之和三角形三内角之和等于180度；n边形n个“内”角之和等于180乘以（n-2）度；n边形n个“外”角之和等于360度。

五、数学中的美客观事物都是运动和变化的。在这种运动和变化中，事物的大多性质也会随之变化；但有些性质却相对稳定，并不改变，这就是“变中有不变”。这种变中有不变的性质，在事物变化时具有相对稳定性，说明他反映了事物的某种本质，值得我们加以专门的研究。

数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中的“变中有不变”的性质，善于抓住事物的本质!五、数学中的美

在数学上，“变中有不变”的性质在许多场合出现：如不管直角三角形怎么变，但“两直角边的平方和等于斜边的平方”（及勾股定理）的性质不变；线性代数中向量组中可能有许多向量，但是可以在其中找到“极大线性无关向量组”，他们可以把向量组中所有其他向量线性表示出来。极大