现代信号处理03-4-5

第三章

随机信号的功率谱估计Wednesday,February1,20231四、MA模型谱估计2MA模型谱估计MA谱估计以全零点模型为基础，将其用于估计窄带谱时得不到高分辨率，但用于MA随机过程时，由于MA随机过程的功率谱本身具有宽峰窄谷的特点，故能得到精确估计。对于ARMA模型差分方程其中，输入激励u(n)是均值为0、方差为的白噪声序列。输出功率谱和输入功率谱之间存在下列关系(1)3MA模型谱估计由式(1)可得对上式两端取逆Z变换，分别得到这里，假设h(n)是实序列。由上两式得到h(n)是因果序列，即n<0时h(n)＝0，故上式右端有(2)(3)4MA模型谱估计将式(3)代入式(2)，得这就是ARMA模型参数与自相关函数之间的关系式。当a0=1且ak=0(k=1,2,…,p)时，由式(4)可得出MA模型参数与信号的自相关函数之间的关系式。注意此时h(k)=bk,故有(4)(5)BACKBACK5MA模型谱估计另一方面，对于MA(q)模型，有考虑到式(5)及，故上式可写成这意味着，MA(q)模型谱估计实际上不需要估计模型参数bk，只要根据已知数据估计出时的自相关函数，即可得到功率谱估计(6)(7)BACK6五、ARMA模型谱估计7ARMA模型谱估计当采用AR模型谱估计方法，特别是采用Burg法时，能得到可靠的高分辨率估计。但当噪声污染了数据时，只有采用ARMA模型才能获得良好的谱估计。采用ARMA模型，以较少的模型参数就能改善AR谱估计的性能。ARMA模型参数与自相关函数间的关系由式(4)确定，将其中的第二个方程写成如下展开形式：利用上式，如知道一定范围的自相关函数可求出自回归系数{ak}，但无助于求取滑动平均系数{bk}，k＝1,2,…,q.(8)8ARMA模型谱估计一个可靠的解法是：构造一个m>q的超定线性方程组，然后利用最小二乘方法来解这个超定方程组。为此，写出方程式中，是估计得到的自相关序列，可以是有偏估计也可以是无偏估计。然后按均方误差最小准则来确定自回归系数，即解此最小二乘方问题，便可得到一组以作为未知数的线性方程。这种方法称为最小二乘方修正Y-W方法。如何解决{bk}的问题？9ARMA模型谱估计自回归系数估计出来后，得到一个系统序列x(n)经过这个FIR系统滤波，得到一个输出序列ARMA(p,q)模型与系统级联，近似于模型B(z)。因此，可以利用输出序列v(n)估计其自相关序列，并按MA(q)模型谱估计的公式(7)来得到MA谱，即这里估计MA谱并不要求计算{bk}参数。是MA模型的自相关函数式(5)的一种估计。如何解决{bk}的问题？10ARMA模型谱估计得到MA谱估计后，利用下式即可求得ARMA谱估计或11首先计算AR模型参数。利用AR模型对x(n)滤波得到v(n)利用v(n)计算MA模型功率谱。ARMA模型的功率谱估计总结12五、基于子空间特征值分析的功率谱估计13基于子空间特征值分析的功率谱估计目标信号：已知在白噪声中的M个负指数序列和的N个采样值

和需要估计.

whereareuncorrelatedrandomvariablesthatuniformlydistributedovertheinterval14白噪声中单个复指数序列SignalautocorrelationmatrixNoiseautocorrelationmatrix15信号矢量：信号的自相关矩阵：因为矩阵的秩为1，所以仅有一个非零特征值16

的非零特征值:-对应的特征向量-的非零特征值是厄米共轭矩阵，所以其他的特征向量与e1正交。17噪声自相关矩阵是个满秩矩阵18设为信号自相关矩阵的特征值，则

的特征值:-的特征值-的最大特征值-的其他特征值的特征向量与的相同，为19从的特征值和特征向量中提取信号参数的计算步骤:对自相关矩阵进行特征值分解。其最大特征值等于

，其他特征值等于使用这些特征值计算功率和噪声方差计算步骤203.从最大特征值所对应特征矢量确定信号频率例如，21令为自相关矩阵的噪声特征矢量，即具有特征值的一个特征矢量；并且令为特征矢量的第i个成份。频率估计方程:正交条件:频率估计方程求取不同频率点处的上述方程值。22分母在处将趋于0。因此频率方程在处将趋于无穷大。这样，理论上讲频率方程的峰值位置可以用来估计指数序列的频率。然而，由于这个方法仅使用了一个特征向量，因此可能对于矩阵的估计误差比较敏感。我们可以使用对所有噪声特征矢量的加权平均来代替单个特征矢量。23例2:白噪声中两个复指数序列24为更精确描述上面分解，可以使用矩阵形式：P1,P2分别为第一个和第二个复正弦波的功率。25令和为矩阵的特征向量和特征值，并且把特征值按照降序排列：因,所以为特征值of26由于信号自相关矩阵秩为2，所以只有两个非零特征值，并且他们都大于零（因为非负定）。这样矩阵的特征向量和特征值可以分为两个部分：第一部分包含大于的两个特征值和对应的特征向量（称为信号特征向量）。两个向量张成一个子空间—信号子空间。第二部分包含那些等于的两个特征值和对应的特征向量（称为噪声特征向量）。噪声特征向量张成一个N-2维子空间—噪声子空间。上面的定义有一点误导：因为噪声成份同时影响信号子空间和噪声子空间27因厄米共轭，特征向量相互正交。因此，信号空间和噪声空间是正交子空间。也就是说，对信号子空间中的任一向量和噪声子空间中的任一向量有下面成立：28不像单个复指数序列的例子，这里信号特征向量通常不再等于和.然而，和同样位于由和张成的信号子空间内。由于信号子空间和噪声子空间正交，那么和同样与噪声特征矢量正交。（i>2）29我们仍然可以使用上面的频率方程得到对两个频率值的估计。30通用情况:一个广义平稳过程，在白噪声中包含M个不同的复指数序列M个线性独立的向量信号向量组成的N×M矩阵关于各个信号能量的对角阵31这里为矩阵的特征值。由于矩阵的秩为M，所以前M个特征值将大于，后个特征值将等于。因矩阵的特征值为32矩阵的特征值和特征向量可以分为两个部分：2.噪声特征向量1.信号特征向量有共同的对应的特征值包含信号和噪声二者的空间,所以白噪声在无噪声情况下对信号子空间的特征矢量的权值(特征值)产生影响.33假设特征向量已经被模归一化,我们可以以下面形式对矩阵进行分解：34所有信号向量都位于信号子空间内。由信号子空间和噪声子空间的正交性可以推出，信号向量正交于任何一个噪声特征向量：这是噪声子空间频率的估计基础35信号的频率值可以使用频率估计方程进行估计：有两种不同类型的频率估计方法基于以上的频率估计方程:

Pisarenko

谐波分解

MUltiple

SIgnalClassification（MUSIC）(2)基于频率估计方程的方法36思想：信号频率值可以从自相关矩阵的对应于最小特征值的特征向量处估计得到。PisarenkoHarmonicDecomposition

(PHD方法)37PHD方法缺点在于对于噪声敏感（由于仅使用了一个特征向量），这限制了它的广泛使用.假设:

信号中复指数序列的数目M为已知

M+1个自相关序列的采样已知或者可以被估计出来当不知道复指数序列的确切数目时，使用这个方法需要格外小心。38对于一个M+1×M+1维的自相关矩阵，噪声子空间的维数显然为1，噪声子空间是被对应于最小特征值的特征向量所张成。将与每一个信号向量正交：39这样对这个特征向量系数的傅利叶变换在每一个复指数序列的频率点处取值为0.相应的，噪声矢量的z变换具有M个零点在单位圆上40与求取的零点相似，也可使用这是频率估计方程的一个特殊形式，且和.峰值点所对应的频率被作为复指数序列的频率估计.41尽管写为功率谱的形式，被叫做伪谱（或特征谱）。因为它不包含任何关于复指数序列或者噪声功率的信息。如何估计噪声和复指数序列的功率呢？42假设:信号子空间的特征向量已经被规范化即功率估计对下式两边都左乘一个矢量得到4344Equation*注意，除P1,P2,…,PM之外，其他参数如各个频率，以及噪声方差都已经求得。求解这个方程即可得到各个复指数序列的功率。45Step1:对于给定的一个白噪声中M个复指数序列的随机过程，找到其自相关矩阵的最小特征值和对应的特征向量。Step2:令白噪声功率为最小特征值。令复指数序列频率等于特征向量的z变换计算步骤最靠近单位圆的M个零点的角度46或者下面频率估计方程的M个峰点所对应的频率Step3:计算复指数序列的功率。求解现行方程组